1
00:00:00,620 --> 00:00:03,410
בשיעור הקודם ניסינו למצוא את הערכים העצמיים

2
00:00:03,410 --> 00:00:05,830
של המטריצה 3X3 הזו, A.

3
00:00:05,830 --> 00:00:08,280
ואמרנו, שערך עצמי הוא כל ערך

4
00:00:08,280 --> 00:00:11,410
למדה, שמקיים את משוואה זו, אם v

5
00:00:11,410 --> 00:00:13,280
אינו וקטור האפס.

6
00:00:13,280 --> 00:00:17,300
וזה בעצם אומר, כל ערך, למדה, שמקיים

7
00:00:17,300 --> 00:00:20,390
את משוואה זו עבור וקטור v שאינו שווה לוקטור האפס.

8
00:00:20,390 --> 00:00:22,760
לאחר מכן פשוט עשינו מעט, ניתן לקרוא לזה

9
00:00:22,760 --> 00:00:25,370
"אלגברה וקטורית" פה כדי למצוא את מה שמופיע פה.

10
00:00:25,370 --> 00:00:26,890
אתם יכולים לראות את השיעור הקודם אם תרצו.

11
00:00:26,890 --> 00:00:29,700
ואז קבענו שהדרך היחידה שזה

12
00:00:29,700 --> 00:00:33,710
הולך לתת פתרון שהוא לא אפס תהיה אם למטריצה הזו יש

13
00:00:33,710 --> 00:00:36,320
בסיס גרעין לא טריוויאלי (קרנל עם לפחות וקטור אחד).

14
00:00:36,320 --> 00:00:39,790
ורק למטריצות בלתי-הפיכות יש

15
00:00:39,790 --> 00:00:40,970
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.

16
00:00:40,970 --> 00:00:45,020
או שניתן לומר, רק למטריצות שהדטרמיננט שלהן שווה לאפס יש

17
00:00:45,020 --> 00:00:46,770
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.

18
00:00:46,770 --> 00:00:49,510
אז עושים את זה, מקבלים את הפולינום האופייני,

19
00:00:49,510 --> 00:00:50,680
ופתרנו אותו.

20
00:00:50,680 --> 00:00:55,000
עכשיו קיבלנו את הערכים העצמיים שבהם הלמדה שווה ל-3

21
00:00:55,000 --> 00:00:58,370
ול 3-

22
00:00:58,370 --> 00:01:01,050
אז עכשיו, בואו נעשה משהו, לדעתי, יותר מעניין

23
00:01:01,050 --> 00:01:03,840
וזה, למצוא את הוקטורים העצמיים או

24
00:01:03,840 --> 00:01:05,530
את המרחבים העצמיים

25
00:01:05,530 --> 00:01:08,800
אנחנו יכולים לחזור אל המשוואה הזו, לכל ערך עצמי

26
00:01:08,800 --> 00:01:09,570
זה בהכרח מתקיים.

27
00:01:09,570 --> 00:01:12,300
זה בהכרח מתקיים אבל יהיה קל יותר לעבוד עם זה.

28
00:01:12,300 --> 00:01:18,140
וכשזה נאמר, המטריצה הזו כאן, כפול הוקטור העצמי חייב להיות

29
00:01:18,140 --> 00:01:21,100
שווה לאפס עבור כל ערך עצמי נתון.

30
00:01:21,100 --> 00:01:23,720
המטריצה הזו שכרגע העתקתי

31
00:01:23,720 --> 00:01:24,740
והדבקתי מלמעלה

32
00:01:24,740 --> 00:01:27,120
סימנתי אותה לפי חוק סארוס אז אתם יכולים,

33
00:01:27,120 --> 00:01:28,870
פשוט להתעלם מהסימונים, זו פשוט אותה מטריצה

34
00:01:28,870 --> 00:01:30,430
עבור כל למדה.

35
00:01:30,430 --> 00:01:32,810
למדה כפול מטריצת הזהות פחות מטריצה A

36
00:01:32,810 --> 00:01:34,330
נותן לנו את זה

37
00:01:34,330 --> 00:01:37,600
אז בואו ניקח את המטריצה הזו עבור כל אחת מערכי הלמדה שקיבלנו ואז

38
00:01:37,600 --> 00:01:42,190
נפתור עבור הוקטורים או המרחבים העצמיים.

39
00:01:42,190 --> 00:01:47,390
תחילה, ניקח את המקרה בו למדה שווה ל-3

40
00:01:47,390 --> 00:01:52,290
אם למדה שווה ל-3, המטריצה שווה ללמדה ועוד 1

41
00:01:52,290 --> 00:01:58,900
שזה שווה ל-4. למדה מינוס 2 שווה 1. למדה מינוס 2 שווה 1.

42
00:01:58,900 --> 00:02:02,590
בעוד שכל שאר הערכים נשארים אותם ערכים, מינוס 2

43
00:02:02,590 --> 00:02:08,380
מינוס 2, מינוס 2, 1, מינוס 2 ו-1.

44
00:02:08,380 --> 00:02:12,390
ואז ניתן לומר שכל זה כפול הוקטור, v, או הוקטור העצמי

45
00:02:12,390 --> 00:02:15,010
שווה לאפס

46
00:02:15,010 --> 00:02:19,070
או שניתן לומר שהמרחב העצמי עבור הערך העצמי

47
00:02:19,070 --> 00:02:21,990
3, הוא הגרעין של המטריצה הזו.

48
00:02:21,990 --> 00:02:23,230
וזו לא המטריצה הזו.

49
00:02:23,230 --> 00:02:25,690
זה שווה ללמדה כפול מטריצה הזהות פחות המטריצה A

50
00:02:25,690 --> 00:02:29,060
אז הגרעין של המטריצה הזו הוא המרחב העצמי.

51
00:02:29,060 --> 00:02:32,510
כל הערכים שמקיימים את זה מרכיבים

52
00:02:32,510 --> 00:02:36,540
את הוקטורים העצמיים של המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3.

53
00:02:36,540 --> 00:02:37,400
בואו פשוט נפתור עבור זה.

54
00:02:37,400 --> 00:02:39,940
אז הגרעין של זה. אפשר פשוט להציג

55
00:02:39,940 --> 00:02:42,750
את זה בצורה מדורגת. הגרעין של מה שיש לנו פה

56
00:02:42,750 --> 00:02:44,580
זה אותו הגרעין של הצורה

57
00:02:44,580 --> 00:02:45,560
המדורגת שלו

58
00:02:45,560 --> 00:02:48,310
אז בואו נגיע לצורה מדורגת.

59
00:02:48,310 --> 00:02:51,650
הדבר הראשון שאני רוצה לעשות, תנו לי רק

60
00:02:51,650 --> 00:02:54,070
לעשות את זה פה למטה.

61
00:02:54,070 --> 00:02:58,940
אני אשמור את השורה הראשונה כמו שהיא בינתיים.

62
00:02:58,940 --> 00:03:02,200
4 מינוס 2, מינוס 2

63
00:03:02,200 --> 00:03:07,250
עכשיו נחליף את השורה הראשונה בשורה השניה כפול 2

64
00:03:07,250 --> 00:03:08,150
ועוד השורה הראשונה.

65
00:03:08,150 --> 00:03:12,970
זה יוצא מינוס 2 כפול 2 פלוס 1 שווה אפס.

66
00:03:12,970 --> 00:03:16,270
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.

67
00:03:16,270 --> 00:03:19,190
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.

68
00:03:19,190 --> 00:03:20,900
השורה הזו זהה לשורה הזו.

69
00:03:20,900 --> 00:03:22,180
אני עומד לעשות את אותו הדבר

70
00:03:22,180 --> 00:03:25,360
מינוס 2 כפול 2 ועוד 4 שווה אפס.

71
00:03:25,360 --> 00:03:27,860
1 כפול 2 ועוד 2 שווה אפס.

72
00:03:27,860 --> 00:03:31,570
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.

73
00:03:31,570 --> 00:03:33,840
ניתן לראות שהפתרונות של משוואה זו זהים

74
00:03:33,840 --> 00:03:35,270
לפתרונות של משוואה זו.

75
00:03:35,270 --> 00:03:37,250
אני אכתוב את זה כך

76
00:03:37,250 --> 00:03:38,470
במקום פשוט לרשום את הוקטור V

77
00:03:38,470 --> 00:03:40,700
אני ארשום אותו כך

78
00:03:40,700 --> 00:03:47,570
אז, V1, V2, V3, שווים לוקטור האפס.

79
00:03:47,570 --> 00:03:48,300
0,0.

80
00:03:48,300 --> 00:03:50,180
נכתוב את זה בצורה מעט שונה.

81
00:03:50,180 --> 00:03:53,010
ולכן, שתי השורות האלו, או, שתי המשוואות האלו

82
00:03:53,010 --> 00:03:53,700
לא נותנות לנו מידע נוסף.

83
00:03:53,700 --> 00:03:58,490
השורה היחידה היא העליונה, שאומרת ש-4 כפול V1

84
00:03:58,490 --> 00:04:04,560
מינוס 2 כפול V2...למען האמת זה לא היה

85
00:04:04,560 --> 00:04:06,820
דירוג מושלם של המטריצה אבל זה קרוב מספיק.

86
00:04:06,820 --> 00:04:10,050
קל מאד עבורנו לעבוד בצורה הזו. 4 כפול V1 פחות 2

87
00:04:10,050 --> 00:04:17,920
כפול V2 פחות 2 כפול V3 שווה לאפס.

88
00:04:17,920 --> 00:04:20,050
נחלק ב-4

89
00:04:20,050 --> 00:04:22,830
יכולתי לחלק פה ב-4, שהיה עושה את אותו הדבר

90
00:04:22,830 --> 00:04:23,970
דילגתי על שלב.

91
00:04:23,970 --> 00:04:30,210
אבל אם תחלקו ב-4 תקבלו V1 פחות חצי V2 פחות חצי V3

92
00:04:30,210 --> 00:04:31,620
כל זה שווה לאפס.

93
00:04:31,620 --> 00:04:36,490
או, V1 שווה לחצי V2 ועוד חצי V3.

94
00:04:36,490 --> 00:04:39,400
פשוט הוספתי את שני אלה לשני צדדי המשוואה.

95
00:04:39,400 --> 00:04:45,770
ניתן גם לומר, בואו נגיד שV2 שווה ל...

96
00:04:45,770 --> 00:04:50,180
נשים פה מספר אקראי a

97
00:04:50,180 --> 00:04:55,830
ו-V3 יהיה שווה לb אז נוכל לומר שV1

98
00:04:55,830 --> 00:05:00,200
שווה לחצי a ועוד חצי b.

99
00:05:00,200 --> 00:05:07,020
ניתן לומר שהמרחב העצמי כאשר למדה שווה ל-3

100
00:05:07,020 --> 00:05:14,900
הוא הקבוצה של כל הוקטורים, V1,V2,V3, השווים ל-a

101
00:05:14,900 --> 00:05:18,350
כפול.... V2 זה a, נכון?

102
00:05:18,350 --> 00:05:21,200
אז V2 שווה לa כפול 1

103
00:05:21,200 --> 00:05:22,810
וV3 לא תלוי ב-a

104
00:05:22,810 --> 00:05:26,020
אז זה 0 כפול a

105
00:05:26,020 --> 00:05:30,950
ועוד b כפול....V2 זה רק a.

106
00:05:30,950 --> 00:05:32,490
ל-V2 אין תלות ב-b.

107
00:05:32,490 --> 00:05:33,640
אז הוא שווה לאפס

108
00:05:33,640 --> 00:05:39,290
וV3 שווה לאחד כפול אפס ועוד b כפול אחד.

109
00:05:39,290 --> 00:05:43,745
וזה אומר ש V1 שווה לחצי ועוד חצי b.

110
00:05:48,260 --> 00:05:52,800
עבור כל a ו-b, כך ש-a ו-b

111
00:05:52,800 --> 00:05:54,600
מספרים ממשיים

112
00:05:54,600 --> 00:05:56,660
רק כדי להיות קצת יותר רשמי.

113
00:05:56,660 --> 00:06:02,180
אז....כל וקטור שמקיים את זה

114
00:06:02,180 --> 00:06:03,320
הוא וקטור עצמי.

115
00:06:03,320 --> 00:06:05,260
והם הוקטורים העצמיים שמייצגים את הערכים העצמיים.

116
00:06:05,260 --> 00:06:07,190
למדה שווה ל-3.

117
00:06:07,190 --> 00:06:10,200
אז אם מיישמים את טרנספורציית המטריצה לכל אחד

118
00:06:10,200 --> 00:06:14,450
מהוקטורים האלו, פשוט מגדילים אותם פי 3.

119
00:06:14,450 --> 00:06:16,800
בואו פשוט נכתוב אז בצורה אחרת.

120
00:06:16,800 --> 00:06:20,220
המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3, שווה

121
00:06:20,220 --> 00:06:23,950
לקבוצה הפורשת. כל הקומבינציות הלינאריות של

122
00:06:23,950 --> 00:06:25,290
האחד הזה והאחד הזה.

123
00:06:25,290 --> 00:06:28,710
אז, חצי, אחד, אפס.

124
00:06:28,710 --> 00:06:36,430
וחצי, אפס, אחד.

125
00:06:36,430 --> 00:06:39,640
וזה רק אחד מהמרחבים העצמיים.

126
00:06:39,640 --> 00:06:40,750
המרחב הזה נכון

127
00:06:40,750 --> 00:06:41,640
רק כאשר למדה שווה ל-3.

128
00:06:41,640 --> 00:06:43,290
בואו נעשה אותו הדבר כאשר למדה

129
00:06:43,290 --> 00:06:45,060
שווה ל 3-

130
00:06:45,060 --> 00:06:47,420
אז אם למדה שווה ל 3-. נעשה את זה פה...

131
00:06:47,420 --> 00:06:50,410
אני חושב שיש מספיק מקום....למדה שווה למינוס 3.

132
00:06:50,410 --> 00:06:57,850
המטריצה הזו הופכת...אני אחשב את האלכסון....מינוס 3 ועוד 1

133
00:06:57,850 --> 00:06:59,300
זה מינוס 2

134
00:06:59,300 --> 00:07:02,950
מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5

135
00:07:02,950 --> 00:07:05,960
מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5

136
00:07:05,960 --> 00:07:08,160
וכל השאר נשארים ללא שינוי

137
00:07:08,160 --> 00:07:11,520
מינוס 2, מינוס 2, 1.

138
00:07:11,520 --> 00:07:15,110
מינוס 2, מינוס 2 ו-1.