בשיעור הקודם ניסינו למצוא את הערכים העצמיים
של המטריצה 3X3 הזו, A.
ואמרנו, שערך עצמי הוא כל ערך
למדה, שמקיים את משוואה זו, אם v
אינו וקטור האפס.
וזה בעצם אומר, כל ערך, למדה, שמקיים
את משוואה זו עבור וקטור v שאינו שווה לוקטור האפס.
לאחר מכן פשוט עשינו מעט, ניתן לקרוא לזה
"אלגברה וקטורית" פה כדי למצוא את מה שמופיע פה.
אתם יכולים לראות את השיעור הקודם אם תרצו.
ואז קבענו שהדרך היחידה שזה
הולך לתת פתרון שהוא לא אפס תהיה אם למטריצה הזו יש
בסיס גרעין לא טריוויאלי (קרנל עם לפחות וקטור אחד).
ורק למטריצות בלתי-הפיכות יש
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
או שניתן לומר, רק למטריצות שהדטרמיננט שלהן שווה לאפס יש
בסיס גרעין לא-טריוויאלי.
אז עושים את זה, מקבלים את הפולינום האופייני,
ופתרנו אותו.
עכשיו קיבלנו את הערכים העצמיים שבהם הלמדה שווה ל-3
ול 3-
אז עכשיו, בואו נעשה משהו, לדעתי, יותר מעניין
וזה, למצוא את הוקטורים העצמיים או
את המרחבים העצמיים
אנחנו יכולים לחזור אל המשוואה הזו, לכל ערך עצמי
זה בהכרח מתקיים.
זה בהכרח מתקיים אבל יהיה קל יותר לעבוד עם זה.
וכשזה נאמר, המטריצה הזו כאן, כפול הוקטור העצמי חייב להיות
שווה לאפס עבור כל ערך עצמי נתון.
המטריצה הזו שכרגע העתקתי
והדבקתי מלמעלה
סימנתי אותה לפי חוק סארוס אז אתם יכולים,
פשוט להתעלם מהסימונים, זו פשוט אותה מטריצה
עבור כל למדה.
למדה כפול מטריצת הזהות פחות מטריצה A
נותן לנו את זה
אז בואו ניקח את המטריצה הזו עבור כל אחת מערכי הלמדה שקיבלנו ואז
נפתור עבור הוקטורים או המרחבים העצמיים.
תחילה, ניקח את המקרה בו למדה שווה ל-3
אם למדה שווה ל-3, המטריצה שווה ללמדה ועוד 1
שזה שווה ל-4. למדה מינוס 2 שווה 1. למדה מינוס 2 שווה 1.
בעוד שכל שאר הערכים נשארים אותם ערכים, מינוס 2
מינוס 2, מינוס 2, 1, מינוס 2 ו-1.
ואז ניתן לומר שכל זה כפול הוקטור, v, או הוקטור העצמי
שווה לאפס
או שניתן לומר שהמרחב העצמי עבור הערך העצמי
3, הוא הגרעין של המטריצה הזו.
וזו לא המטריצה הזו.
זה שווה ללמדה כפול מטריצה הזהות פחות המטריצה A
אז הגרעין של המטריצה הזו הוא המרחב העצמי.
כל הערכים שמקיימים את זה מרכיבים
את הוקטורים העצמיים של המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3.
בואו פשוט נפתור עבור זה.
אז הגרעין של זה. אפשר פשוט להציג
את זה בצורה מדורגת. הגרעין של מה שיש לנו פה
זה אותו הגרעין של הצורה
המדורגת שלו
אז בואו נגיע לצורה מדורגת.
הדבר הראשון שאני רוצה לעשות, תנו לי רק
לעשות את זה פה למטה.
אני אשמור את השורה הראשונה כמו שהיא בינתיים.
4 מינוס 2, מינוס 2
עכשיו נחליף את השורה הראשונה בשורה השניה כפול 2
ועוד השורה הראשונה.
זה יוצא מינוס 2 כפול 2 פלוס 1 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
השורה הזו זהה לשורה הזו.
אני עומד לעשות את אותו הדבר
מינוס 2 כפול 2 ועוד 4 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד 2 שווה אפס.
1 כפול 2 ועוד מינוס 2 שווה אפס.
ניתן לראות שהפתרונות של משוואה זו זהים
לפתרונות של משוואה זו.
אני אכתוב את זה כך
במקום פשוט לרשום את הוקטור V
אני ארשום אותו כך
אז, V1, V2, V3, שווים לוקטור האפס.
0,0.
נכתוב את זה בצורה מעט שונה.
ולכן, שתי השורות האלו, או, שתי המשוואות האלו
לא נותנות לנו מידע נוסף.
השורה היחידה היא העליונה, שאומרת ש-4 כפול V1
מינוס 2 כפול V2...למען האמת זה לא היה
דירוג מושלם של המטריצה אבל זה קרוב מספיק.
קל מאד עבורנו לעבוד בצורה הזו. 4 כפול V1 פחות 2
כפול V2 פחות 2 כפול V3 שווה לאפס.
נחלק ב-4
יכולתי לחלק פה ב-4, שהיה עושה את אותו הדבר
דילגתי על שלב.
אבל אם תחלקו ב-4 תקבלו V1 פחות חצי V2 פחות חצי V3
כל זה שווה לאפס.
או, V1 שווה לחצי V2 ועוד חצי V3.
פשוט הוספתי את שני אלה לשני צדדי המשוואה.
ניתן גם לומר, בואו נגיד שV2 שווה ל...
נשים פה מספר אקראי a
ו-V3 יהיה שווה לb אז נוכל לומר שV1
שווה לחצי a ועוד חצי b.
ניתן לומר שהמרחב העצמי כאשר למדה שווה ל-3
הוא הקבוצה של כל הוקטורים, V1,V2,V3, השווים ל-a
כפול.... V2 זה a, נכון?
אז V2 שווה לa כפול 1
וV3 לא תלוי ב-a
אז זה 0 כפול a
ועוד b כפול....V2 זה רק a.
ל-V2 אין תלות ב-b.
אז הוא שווה לאפס
וV3 שווה לאחד כפול אפס ועוד b כפול אחד.
וזה אומר ש V1 שווה לחצי ועוד חצי b.
עבור כל a ו-b, כך ש-a ו-b
מספרים ממשיים
רק כדי להיות קצת יותר רשמי.
אז....כל וקטור שמקיים את זה
הוא וקטור עצמי.
והם הוקטורים העצמיים שמייצגים את הערכים העצמיים.
למדה שווה ל-3.
אז אם מיישמים את טרנספורציית המטריצה לכל אחד
מהוקטורים האלו, פשוט מגדילים אותם פי 3.
בואו פשוט נכתוב אז בצורה אחרת.
המרחב העצמי עבור למדה שווה ל-3, שווה
לקבוצה הפורשת. כל הקומבינציות הלינאריות של
האחד הזה והאחד הזה.
אז, חצי, אחד, אפס.
וחצי, אפס, אחד.
וזה רק אחד מהמרחבים העצמיים.
המרחב הזה נכון
רק כאשר למדה שווה ל-3.
בואו נעשה אותו הדבר כאשר למדה
שווה ל 3-
אז אם למדה שווה ל 3-. נעשה את זה פה...
אני חושב שיש מספיק מקום....למדה שווה למינוס 3.
המטריצה הזו הופכת...אני אחשב את האלכסון....מינוס 3 ועוד 1
זה מינוס 2
מינוס 3 פחות 2 שווה מינוס 5
וכל השאר נשארים ללא שינוי
מינוס 2, מינוס 2, 1.
מינוס 2, מינוס 2 ו-1.