Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix

Eigenvectors and eigenspaces for a 3x3 matrix

حددنا في الفيدو السابق قيم القيم الذاتية لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة A

وقلما أن أي قيمة ذاتية هي أقية قيمة لامدا التي تحقق هذه المعادلة V تساوي متجه لا صفري

وقلنا أن أي قيمة , لامدا, التي تحقق هذه المعادلة للمتجه v تساوي متجه لاصفري

أظن أننا قمنا بما نستطيع تسميته جبر المتجه هنا في الأعلى كي تأتي بهذا

يمكنك مراجعة الفيديو إن أحببت

ثم قلنا أن الطريقة الوحيدة التي من خلالها يمكن أن يكون لهذا العنصر حل غير صفري هي إذا كان لهذه المصفوفة فضاء فارغ غير بسيط

حيث أن المصفوفات الغير قلابلة للعكس هي وحدها تختص بالفضاء الفارغ الغير بسيط

أو أي يمكن أن يكون لأية مصفوفة لها محدد صفري فضائات فراغية غير بسيطة

بإمكانك القيام بذلك لتحصل على خاصية تعدد الحدود, حيث كان بإمكاننا أن نحلها

وحصلنا على القيم الذاتية حيث اللامدا تساوي سالب ثلاثة

والآن دعونا نقوم بما أعتبرته الجزء الأكثرأهمية وهو في الحقيقة إيجاد المتجهات الذاتية أو الفضائات الذاتية

ولهذا, نعود لهذه المعادلة, وهذا بالنسبة لأي قيمة ذاتية يجب أن يكون حقيقيا

يجب أن يكون هذا حقيقيا ولكن من الأسهل التعامل مع هذا

وبالتي, المصفوفة المتواجدة هاهنا مضروب في المتجه الذاتي يجب أن تساوي صفر بالنسبة لأي قيمة ذاتية معطاه

المصفوفة الموجودة هنا...نسخت ولصقت من الأعلى

كما أنني قمت بتحديدها يقانون ساروس لعلنا نستطيع تجاهل هذين الخطين ... هذه المصفوفة الموجودة هنا بالنسبة لأي لامدة

لامدا مضروبة في مصفوفة الوحدة وهيA- تساوي هذا

والآن دعونا نأخذ المصفوفة بالنسبة لأي من اللامدات الموجودة لدينا ومن ثم نحلها بالنسبة للمجهات الذاتية والفضائات الذاتية الموجودة لدينا

لنأخذ لامدا في حال ما كانت مساوي لثلاثة, وبالتالي إذا كانت اللامدا تساوي ثلاثة, فإن هذا المصفوفة ستساوي لامدا زائد واحد تساوي أربعة, و لامدا ناقص إثنين تساوي واحد, ولامدا ناقص إثنين تساوي واحد

وجميع القيم الأخرى تبقى كما هي وهي: سالب إثنان, سالب إثنان, سالب إثنان, واحد, سالب إثنان وواحد

ثم هذه القيمة مضروبة في المتجه V أو المتجه الذاتي الموجود V ستساوي صفر

أو بإمكاننا القول أن الفضاء الذاتي بالنسبة للقيمة الذاتية 3 يساوي الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة

و ليست لهذه المصفوفة

لامدا المصفوفة مضروبة في مصفوفة الوحدة ناقص A

وبالتالي فإن الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة يساوي الفضاء الذاتي

جميع القيم التي تحقق makeup هذه المتجهات الذاتية للفضاء الذاتي للامدا يساوي ثلاثة

دعونا نحل هذه الخطوة

الفضاء الفراغي لهذا العنصر- بإمكاننا أن نضعها على شكل نوذج صيغة الصف المخفض -

لذا, فإن الفضاء الفراغي لهذا العنصر هو نفس الفضاء الفراغي لهذا العنصر في صيغة نموذج صيغة الصف المخفض

والآن دعونا نصيغها على شكل نموذج صيغة الصف المخفض

أو ما أريد القيام به....دعوني أكتبها هنا في الأسفل

سأبقي الصف الأول كما هو لحتى الآن وهو: سالب أربعة, سالب إثنين

ودعونا نقوم بإستبدال الصف الثاني بالصف الثاني مضربا في إثنين زائد الصف الأول

سالب إثنين مضروبة في إثنين زائد واحد تساوي صفر

واحد مضروب في إثنين زائد سالب إثنين يساوي صفر

هذا الصف هو نفس هذا الصف

ولهذا, سأقوم بنفش الشئ هنا : سالب إثنين مضروبة في إثنين زائد أربعة تساوي صفر

و واحد مضروبة في إثنين زائد إثنين يساوي صفر

ثم: واحد مضروب في إثنين زائد سالب إثنين يساوي صفر

لذا, تكون حلول هذه المعادلة هي نفس حلول هذه المعادلة

سأكتبها على هذا الشكل. بدلا من كتابة المتجه V

سأكتبها بشئ من التفصيل, V1, V2 , V3, تساوي المتجه الصفري

صفر, صفر

سأكتبها بشكل مختلف قليلا

لن تعطينا هذين الصفين أو هاتين المعادلتين معلومات

لكن العنصر الوحيد الذي سيقوم بذلك هو هذا الصف الموجود هنا في الأعلى والذي يخبرنا بأن: أربعة مضروبة في v1 ناقص إثنين مضروبة في V2 ....في الواقع لم يكن نموذج صيغة الصف المخفض هذا كاملا إلا انه كان قريبا بشكل كاف

من السهل لنا التعامل مع ....أربعة مضروبة في V1 ناقص إثنين مضروبة في V2 ناقص إثنين مضروبة في V3 تساوي صفر

والآن دعونا نقسمها على أربعة

كان بإمكاني أن أقسمها على أربعة هنا وبالتي كان من الممكن أن نقفز على خطوة

ولكن إذا ما قسمتها بإستخدام أربعة ستحصل على: v1 ناقص نصف مضروبا في v2 ناقص 1 تقسيم إثنين مضروبا في v3 وهذا يساوي صفر

أو V1 تساوي نصف مضروبا في V2 زائد نصف مضربا في V3

قمت فقط بإضافة هاتين القيمتين لطرفي المعادلة

أو بإمكاني أن أقول, v2 تساوي صفر ....لا أعرف ...سأكتب حرفا عشوائيا ما...a و v3 يساوي b , لذا, بإمكاننا القول ....v1 تساوي نصف زائد نصف B

يمكننا القول أن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا يساوي ثلاثة, أو هو عبارة عن مجموعة المتجهات v1, v2, v3 ولتي تساوي a مضروبة في .....v2 تساوي a , أليس كذلك؟

وبالتالي v2 تساوي a مضروبة في واحد

لا يوجد a في v3, لذا ستكون a مضروبة في صفر ....كما لدينا: موجب be...مضروبة في .....V2 تساوي a

لا يوجد be في V2 , لذا فهي تساوي صفر

V3 تساوي واحد مضروبا في.....صفر مضروبا في موجب واحد مضروبا في B

ومن ثم, v1 تساوي نصف , موجب نصف b

بالنسبة لأي a أو b من ال a و ال b عناصر في الأرقام الحقيقية

كي نكون جادين قليلا حول هذه

أي متجه يعمل على تحقيق هذه فهو متجه ذاتي

وهم المتجهات الذاتية التي تتطابق مع القيمة الذاتية: حيث أن لامدا تساوي ثلاثة

وبالتالي إذا قمت بتطبيق تحويل المصفوفة لأي من هذه المتجهات, فإنك ستقوم بتكبيرهم بمقدار ثلاثة

لنكتبها بهذه الطريقة

الفضاء الذاتي للمدا يساوي ثلاثة , وهذا يساوي الإمتداد, أي كل التراكيب الخطية الممكنة لهذا وذاك العنصر

وهي نصف, واحد, صفر

وهذا عبارة عن فضاء ذاتي واحد وهو الذي يتطابق مع اللامدا المساوية لثلاثة

ا

لنقوم بحساب الفضاء الذاتي الذي يتطابق مع اللامدا المساوية لسالب ثلاثة

فإذا كانت اللامدا تساوي سالب ثلاثة....سأقوم بكتابتها في الأعلى هنا.....أعتقد أنه يوجد لدي مساحة كافية : لامدا تساوي سالب ثلاثة

حيث تصبح هذه المصفوفة ...سأكتب الأقطار....سالب ثلاثة زائد واحد تساوي سالب إثنان

وسالب ثلاثة ناقص إثنين تساوي سالب خمسة

وسالب ثلاثة ناقص إثنين تساوي سالب خمسة

ولا يتك تغير العناصر الاخرى . سالب إثنان, سالب إثنان, واحد

سالب إثنان, سالب إثنان و واحد

وبعدها يتم ضرب هذا في المتجهات في الفضاء الذاتي الذي ييطابق مع اللامدا تساوي سالب ثلاثة وهذا سيساوي صفر

ما أفعله الآن هو أنني أطبق هذه المعادلة الموجودة هنا والتي إشتقناها من تلك المعادلة المعادلو الموجودة هاهنا

لذا, فالفضاء الذاتي الذي يتطابق مع اللامدا يساوي سالب ثلاثة وهذا يساوي الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة الموجودة هنا, وهم المتجهات التي تحقق هذه المعادلة

الفضاء الفراغي لهذه نفس الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة الموجودة في نموذج صيغة الصف المخفض. ولهذا, دعونا نضعها في نموذج صيغة الصف المخفض

أو ما سأفعله هو إبقاء الصف الأول كما هو

سأكتب أقل بقليلا من ما كنت عادة أكتب لعدم وجود متسع من المساحة

سالب إثنان, سالب إثنان, سالب إثنان

دعوني أكتبها بهذه الطريقة, سأقفز عن بعض الخطوات

نقسم الصف الأول على إثنين

فيصبح لدينا 1,1,1

ثم نستبدل الصف الثاني هذا بالصف الثاني زائد هذه النسخة للصف الأول

فتكون, هذا العنصر زائد ذلك العنصر يساوي صفر ناقص خمسة زائد سالب....أو لنعبر عنها بهذه الطريقة

نقوم باستبدالها بالصف الأول ناقص الصف الثاني وبالتالي تصبح: سالب إثنان ناقص سالب إثنين يساوي صفر

سالب إثنان ناثص سالب خمسة تساوي ثلاثة

كما أن سالب إثنان ناقص واحد تساوي سالب ثلاثة

سأكتب الصف الأخير بلون مختلف للتميز#

سأقوم بنفس الشئ, لذا, سأقوم بطرح هذا الصف من هذا الصف: سالب إثنان ناقص سالب إثنان يساوي صفر

سالب إثنان زائد إثنان.

سالب إثنان ناقص واحد يساوي ثلاثة

لدينا هنا, سالب إثنان ناقص سالب خمسة , فهي سالب إثنان زائد خمسة تساوي ثلاثة

والآن دعونا نستبدل ...سأحلها في خطوتين

1,1,1

سأبقيها بهذا الشكل.

حسنا دعني أبقيها بهذا بهذا الشكل

و سأقوم بإستبدال الصف الثالث بالصف الثالث زائد الصف الثاني

سأساوي هذه القيم بصفر

وإذا أضفت هذه العناصر, فإن جميع هذه العناصر ستصبح صفر. كما يصبح هذا العنصر صفر

والآن سأقسم الصف الثاني على ثلاثة, وبالتالي سيكون الناتج صفر, واحد, سالب واحد

سأكتبها باللون البرتقالي

دعونا نستبدل الصف الأول بالصف الأول ناقص الصف الثاني

يصبح لدينا واحد, صفر, وثم واحد ناقص سالب واحد يساوي إثنان

كما يوجد في الصف الثاني: صفر, واحد, سالب واحد

والصف الأخير: صفر, صفر, صفر

وبالتالي فإن أي v تحقق هذه المعادلة

حيث أن الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة سيكون الفضاء الفراغي لهذه المصفوفة في نموذج صيغة الصف المخفض

فيصبح لدينا: V1,V2,V3 تساوي 0,0,0

سأحرك هذا العنصر

ولأنني قد نفذت من المساحة فعليا, دعوني أنقله هنا في الأسفل حيث لدينا free real estate

سأقوم ينقلها للأسفل

يتطابق هذا مع اللامدا تساوي سالب ثلاثة

حيث كانت عبارة عن لامدا تساوي سالب ثلاثة, من أجل...

حيث أنها ليس لها علاقة بهذه العناصر الموجودة هنا

ما هي كل من V1,V2, و V3 التي تحقق هذه

إذا إفترضنا ان V3 تساوي t...

إذا كلنت V3 تساوي t, فماذا سينتج لدينا هنا؟

لدينا....يخبرنا هذا أن V2 ناقص V3 يساوي صفر

وهذا يخبرنا أن V2ناقص V3...صفر ناقص V1 زائد V2 ناقص V3 تساوي صفر

أو أن V2 يساوي V3 وهذا يساوي t

حيث أن هذا ما تخبرنا به المعادلة الثانية

ومن ثم, تخبرنا المعادلة الثالثة أن , أو أعني أعلى المعادلة يخبرنا أن V1 مضروبا في واحد...لذا, فإن V1 زائد صفر مضروبا في V2 زائد إثنين ضرب V3 يساوي صفر

أو V1 يساوي سالب 2V3 يساوي سالب إثنين ضرب t

وبالتالي, فإن الفضاء الذاتي التي يتطابق مع اللامدا يساوي سالب ثلاثة يساوي مجموعة جميع المتجهات التي تشتمل على V1, V2 و V3 حيث... حسنا, تساوي T مضروبة في...V3 هي عبارة عن ال t

كانت الV3 عبارة عن الt

V2 تصبح t

و واحد مضروبا في t. وV1 تساوي سالب إثنين مضروبا في الt

حيث أن t تكون العدد الحقيقي

أو يمكن التعبير عنها بطريقة أخرى وهي أن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا يساوي سالب ثلاثة يساوي الإمتداد....يبدو أنني كتبت هذه بشكل غير منظم

عندما تكون اللامدا مساوية لثلاثة, فإنها تساوي إمتداد المتجه وهو: سالب إثنان, واحد, و واحد. بهذا الشكل

يبدو أنها شيقة

وذلك أنك إذا أخذت هذا العنصر وضربته ضربا قياسيا مع أي من هذه العناصر, أعتقد أنك ستحصل على صفر

هل هذه هي القضية قطعا؟

خذ سالب إثنين ضرب نصف, ستحصل على سالب واحد

ومن ثم, لديك موجب واحد. واهذا صفر

سالب إثنان ضرب نصف

إذا قمت بضربها ضربا قياسيا مع واحد من هذه العناصر, سيكون الناتج صفر

وبالتالي, سيكون هذا الخط متعامدا على ذلك المستوى

إنه مثير للإهتمام

ودعونا الآن نقوم برسمها كي يصبح لدينا تصور جيد لما نفعله

لدينا مصفوفة ثلاثة في ثلاثة A والتي تمثل تحويل ما في r3 كما أن لها قيمتين ذاتيتين

وكل منها له فضاء ذاتي مطابق

وبالتالي فإن الفضاء الذاتي الذي يتطابق مع القيمة الذاتية ثلاثة هو عبارة عن مستوى في r3

هذا هو الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا التي تساوي ثلاثة

ومن ثم فإن هذا هو الإمتداد لهذين المتجهين الموجودين هاهنا

لذلك, إذا قمت برسم هذين المتجهين, ربما يبدو هكذا

ومن ثم فإن الفضاء الذاتي بالنسبة للامدا المساوية لسالب ثلاثة هو خط

عبارة عن خط متعامد على المستوى

إنه خط هكذا. وهو إمتداد لهذا العنصر

وربما إذا رسمت المتجه, ذلك المتجه سيبدو بهذا الشكل

وهو إمتداد لذلك العنصر

لذا, ماذا يخبرنا هذا, هين أن هذا هة الفضاء الذاتي للامدا التي تساوي سالب ثلاثة

مرة أخرى, ماذا يخبرنا هذا؟... فقط كي نتأكد أننا نحلل الفضائات و القيم الذاتية بالشكل الصحيح, نقوم ب..إنظر هنا....أعطيني أي متجه ذاتي, أعطيني أي متجه ذاتي في هذا, أعطيني أي متجه هنا,,,

لنقل أن هذا هو المتجه x, وبالتالي إذا طبقنا التحويل, و إذا ضربناها ب a, سيكون لدينا ثلاثة مضروبة في هذه

ولأنها في الفضاء الذاتي حيث اللامدا تساوي ثلاثة

و لو طبقنا a مضروبة في x, a مضروبة في x تساوي 3 مضروبة في ذلك العنصر

وبالتالى هذا سيكون a مضروبة في x

حيث أن هذا ما تخبرنا إياه

وهذا سيكون حقيقيا بالنسبة لأي من هذه العناصر

وإذا كان هذا x, و أخذت a مضؤوبة في x فإن هذا سيساوي ثلاثة مضروبة على طول

والآن, بالنسبة هذه العناصر الموجودة هنا, إن كان لديك متجه ما في الفضاء الذاتي هذا والذي يتطابق مع اللامدا المساوية لثلاثة, تقوم بتطبيق التحويل

ولنقل أن هذا يساويx الموجود هنا

وإذا أخذت تحويل x, فإنها ستجعلها تساوي ثلاثة مضروبة على الطول في الإتجته المقابل

ستبقى على هذا الخط, أي أنها ستبقى متجه للأسفل بهذا الشكل

وهذا سيكون a مضروبة في x

ستكون نفس الشئ, حيث أنها ستكون ثلاثة مضروبة في هذا الطول, ولكن في الإتجاه المقابل

لأن هذه تتطابق مع اللامدا المساوية لسالب ثلاثة

وعلى أي حال! أعتقد أننا حققنا إنجاز كبير

حيث أننا لم نحدد القيم الذاتية لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة فقط و لكننا أيضا حدننا جميع المتجهات الذاتية

وهي....هناك عدد لا محدود من ...إلا أنهم يمثلون فضائين ذاتيين يتطابقان مع هاتين القيمتين الذاتيتين, أو سالب ثلاثة و ثلاثة

نراكم في الفيديو القادم