在0点的正弦泰勒级数（麦克劳林级数）

用麦克劳林级数逼近sin(x)（类似于以x=0为中心的泰勒多项式，具有无限多项）。事实证明，这个级数与函数本身完全相同！由萨尔·汗创作。

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在上一个视频中，我们取了

cos(x)的麦克劳林级数。

我们用这个多项式来逼近它。

我们看到了一个非常有趣的模式。

让我们看看，如果我们尝试用

麦克劳林级数来逼近sin(x)，是否能找到类似的模式。

再一次，麦克劳林级数

实际上与泰勒级数是一样的，

只不过我们将近似中心

设在x=0。

所以它只是泰勒级数的一种特殊情况。

那么在这种情况下，

我们取f(x)等于sin(x)。

让我们做与cos(x)相同的事情。

快速取sin(x)

的不同导数。

如果你有sin(x)的一阶导数，

就是cos(x)。

sin(x)的二阶导数

是cos(x)的导数，即负的sin(x)。

三阶导数将是这个的导数。

所以我会在这里写一个3在括号里，

而不是做三个撇号。

三阶导数是这个的导数，

即负的cos(x)。

四阶导数是这个的导数，

即再次为正的sin(x)。

所以你看，就像cos(x)一样，

经过足够多次的导数后，它会循环。

我们关心的是–为了做麦克劳林级数–我们关心的是

在x等于0时

评估函数及其每个导数。

所以让我们来做这个。

为了这个，我用不同的颜色，

不是同样的蓝色。

我会用这个紫色。

f–我觉得这很难看清。

所以让我们用这个其他的蓝色。

所以在这种情况下，f(0)是0。

f，第一导数在0处的值是1。

cos(0)是1。

负的sin(0)是0。

所以f’'，第二导数在0处的值是0。

第三导数在0处的值是负1。

cos(0)是1。

你有一个负号在外面。

它是负1。

然后第四导数在0处的值

将再次是0。

我们可以继续，

但再次看起来有一个模式。

0，1，0，负1，0，然后

你会回到正1。

如此等等。

所以让我们用麦克劳林级数

找到它的多项式表示。

再提醒一下，这上面的这个，

大约是cos(x)。

你会越来越接近cos(x)。

我没有严格地向你展示

它与cos(x)完全相同，

但随着你在这里不断添加项

你会越来越接近cos(x)。

如果你取到无穷大，

你将非常接近cos(x)。

现在让我们对sin(x)做同样的事情。

所以我会选择一个新的颜色。

这个绿色应该不错。

所以这是我们的新p(x)。

随着我们添加越来越多的项，

这大约会是sin(x)。

所以这里的第一项，f(0)，将是0。

所以我们甚至不需要包括它。

下一项将是f’(0)，

即1，乘以x。

所以它将是x。

然后下一项是f’'(0)，

我们在这里看到是0。

让我向下滚动一点。

它是0。

所以我们不会有第二项。

这里的第三项，

sin(x)在0处的三阶导数是负1。

所以我们现在将有一个负1。

让我向下滚动以便你能看到这个。

负1–在这种情况下是负1–

乘以x的三次方除以3的阶乘。

然后下一项将是0，

因为那是第四导数。

第四导数在0处的值是下一个系数。

我们看到那将是0，所以它将被省略。

你会看到这里–

实际上也许我还没有做足够多的项，

让你对此感到满意。

让我在这里再做一项。

这样就清楚了。

f的第五导数

将再次是cos(x)。

第五导数–我们用相同的颜色，

这样就一致了–第五导数在0处的值

将是1。

所以第四导数在0处的值是0，

然后你到第五导数在0处的值，

将是正1。

如果我继续做下去，它将是正1–

我必须写1作为系数–乘以

x的五次方除以5的阶乘。

所以这里有一些有趣的事情发生。

对于cos(x)，我有1，本质上是1乘以x的0次方。

然后我没有x的一次方。

我实际上没有x的奇数次方。

然后我基本上有x的所有偶数次方。

无论是什么次方，我都将它除以那个阶乘。

然后符号不断变化。

我不应该说这是一个偶数次方，因为0实际上不是。

嗯，我想你可以把它看作一个偶数，

因为–好吧，我不会深入讨论这些。

但它本质上是0，2，4，6，依此类推。

所以这很有趣，特别是

当你与这个比较时。

这是所有的奇数次方。

这是x的一次方除以1的阶乘。

我没有在这里写。

这是x的三次方除以3的阶乘

加上x的五次方除以5的阶乘。

是的，0将是一个偶数。

无论如何，我的大脑现在在另一个地方。

你可以继续。

如果我们继续这个过程，

你将不断切换符号。

x的七次方除以7的阶乘加上

x的九次方除以9的阶乘。

所以这里有一些有趣的事情。

你再次看到这里正弦和余弦

的互补性质。

你几乎看到–

它们在这里填补彼此的空白。

cos(x)是所有x的偶数次方

除以那个次方的阶乘。

当你取sin(x)的多项式表示时，

它是所有x的奇数次方除以它的阶乘，

并且你切换符号。

在下一个视频中，我将讨论e的x次方。

真正令人着迷的是，

e的x次方开始看起来像这里的一点组合，

但不完全是。

当你涉及虚数时，

你确实得到了组合。

那时它开始变得非常非常令人震惊。