0:00:00.660,0:00:02.930
在上一个视频中，我们取了

0:00:02.930,0:00:04.180
cos(x)的麦克劳林级数。

0:00:04.180,0:00:06.670
我们用这个多项式来逼近它。

0:00:06.670,0:00:08.560
我们看到了一个非常有趣的模式。

0:00:08.560,0:00:10.310
让我们看看，如果我们尝试用

0:00:10.310,0:00:14.360
麦克劳林级数来逼近sin(x)，是否能找到类似的模式。

0:00:14.360,0:00:16.000
再一次，麦克劳林级数

0:00:16.000,0:00:18.240
实际上与泰勒级数是一样的，

0:00:18.240,0:00:20.800
只不过我们将近似中心

0:00:20.800,0:00:23.740
设在x=0。

0:00:23.740,0:00:26.830
所以它只是泰勒级数的一种特殊情况。

0:00:26.830,0:00:29.870
那么在这种情况下，

0:00:29.870,0:00:31.410
我们取f(x)等于sin(x)。

0:00:36.380,0:00:38.890
让我们做与cos(x)相同的事情。

0:00:38.890,0:00:40.598
快速取sin(x)

0:00:40.598,0:00:42.450
的不同导数。

0:00:42.450,0:00:46.240
如果你有sin(x)的一阶导数，

0:00:46.240,0:00:48.490
就是cos(x)。

0:00:48.490,0:00:51.160
sin(x)的二阶导数

0:00:51.160,0:00:55.880
是cos(x)的导数，即负的sin(x)。

0:00:55.880,0:00:58.790
三阶导数将是这个的导数。

0:00:58.790,0:01:00.437
所以我会在这里写一个3在括号里，

0:01:00.437,0:01:02.270
而不是做三个撇号。

0:01:02.270,0:01:04.310
三阶导数是这个的导数，

0:01:04.310,0:01:07.790
即负的cos(x)。

0:01:07.790,0:01:11.570
四阶导数是这个的导数，

0:01:11.570,0:01:15.020
即再次为正的sin(x)。

0:01:15.020,0:01:17.950
所以你看，就像cos(x)一样，

0:01:17.950,0:01:19.990
经过足够多次的导数后，它会循环。

0:01:19.990,0:01:22.550
我们关心的是–为了做麦克劳林级数–我们关心的是

0:01:22.550,0:01:26.840
在x等于0时

0:01:26.840,0:01:28.450
评估函数及其每个导数。

0:01:28.450,0:01:30.220
所以让我们来做这个。

0:01:30.220,0:01:32.510
为了这个，我用不同的颜色，

0:01:32.510,0:01:34.030
不是同样的蓝色。

0:01:34.030,0:01:36.320
我会用这个紫色。

0:01:36.320,0:01:38.810
f–我觉得这很难看清。

0:01:38.810,0:01:40.930
所以让我们用这个其他的蓝色。

0:01:40.930,0:01:45.620
所以在这种情况下，f(0)是0。

0:01:45.620,0:01:50.280
f，第一导数在0处的值是1。

0:01:50.280,0:01:52.880
cos(0)是1。

0:01:52.880,0:01:57.300
负的sin(0)是0。

0:01:57.300,0:02:01.210
所以f’'，第二导数在0处的值是0。

0:02:01.210,0:02:06.335
第三导数在0处的值是负1。

0:02:06.335,0:02:08.411
cos(0)是1。

0:02:08.411,0:02:09.660
你有一个负号在外面。

0:02:09.660,0:02:10.850
它是负1。

0:02:10.850,0:02:14.850
然后第四导数在0处的值

0:02:14.850,0:02:16.594
将再次是0。

0:02:16.594,0:02:18.385
我们可以继续，

0:02:18.385,0:02:19.593
但再次看起来有一个模式。

0:02:19.593,0:02:21.130
0，1，0，负1，0，然后

0:02:21.130,0:02:22.920
你会回到正1。

0:02:22.920,0:02:24.750
如此等等。

0:02:24.750,0:02:28.230
所以让我们用麦克劳林级数

0:02:28.230,0:02:29.510
找到它的多项式表示。

0:02:29.510,0:02:31.380
再提醒一下，这上面的这个，

0:02:31.380,0:02:34.210
大约是cos(x)。

0:02:34.210,0:02:36.220
你会越来越接近cos(x)。

0:02:36.220,0:02:37.960
我没有严格地向你展示

0:02:37.960,0:02:40.760
它与cos(x)完全相同，

0:02:40.760,0:02:42.710
但随着你在这里不断添加项

0:02:42.710,0:02:44.975
你会越来越接近cos(x)。

0:02:44.975,0:02:46.350
如果你取到无穷大，

0:02:46.350,0:02:48.920
你将非常接近cos(x)。

0:02:48.920,0:02:51.490
现在让我们对sin(x)做同样的事情。

0:02:51.490,0:02:52.960
所以我会选择一个新的颜色。

0:02:52.960,0:02:54.980
这个绿色应该不错。

0:02:54.980,0:02:56.820
所以这是我们的新p(x)。

0:02:56.820,0:02:58.590
随着我们添加越来越多的项，

0:02:58.590,0:03:01.600
这大约会是sin(x)。

0:03:01.600,0:03:06.820
所以这里的第一项，f(0)，将是0。

0:03:06.820,0:03:09.050
所以我们甚至不需要包括它。

0:03:09.050,0:03:11.090
下一项将是f’(0)，

0:03:11.090,0:03:13.800
即1，乘以x。

0:03:13.800,0:03:15.880
所以它将是x。

0:03:15.880,0:03:18.450
然后下一项是f’'(0)，

0:03:18.450,0:03:21.220
我们在这里看到是0。

0:03:21.220,0:03:23.020
让我向下滚动一点。

0:03:23.020,0:03:24.340
它是0。

0:03:24.340,0:03:26.610
所以我们不会有第二项。

0:03:26.610,0:03:29.590
这里的第三项，

0:03:29.590,0:03:32.920
sin(x)在0处的三阶导数是负1。

0:03:32.920,0:03:36.830
所以我们现在将有一个负1。

0:03:36.830,0:03:39.490
让我向下滚动以便你能看到这个。

0:03:39.490,0:03:42.240
负1–在这种情况下是负1–

0:03:42.240,0:03:45.505
乘以x的三次方除以3的阶乘。

0:03:50.880,0:03:52.860
然后下一项将是0，

0:03:52.860,0:03:55.850
因为那是第四导数。

0:03:55.850,0:03:59.660
第四导数在0处的值是下一个系数。

0:03:59.660,0:04:03.052
我们看到那将是0，所以它将被省略。

0:04:03.052,0:04:04.510
你会看到这里–

0:04:04.510,0:04:06.825
实际上也许我还没有做足够多的项，

0:04:06.825,0:04:08.300
让你对此感到满意。

0:04:08.300,0:04:10.330
让我在这里再做一项。

0:04:10.330,0:04:12.690
这样就清楚了。

0:04:12.690,0:04:15.450
f的第五导数

0:04:15.450,0:04:17.440
将再次是cos(x)。

0:04:17.440,0:04:20.209
第五导数–我们用相同的颜色，

0:04:20.209,0:04:27.180
这样就一致了–第五导数在0处的值

0:04:27.180,0:04:29.570
将是1。

0:04:29.570,0:04:33.470
所以第四导数在0处的值是0，

0:04:33.470,0:04:36.860
然后你到第五导数在0处的值，

0:04:36.860,0:04:38.814
将是正1。

0:04:38.814,0:04:40.730
如果我继续做下去，它将是正1–

0:04:40.730,0:04:44.440
我必须写1作为系数–乘以

0:04:44.440,0:04:47.770
x的五次方除以5的阶乘。

0:04:47.770,0:04:50.530
所以这里有一些有趣的事情发生。

0:04:50.530,0:04:55.500
对于cos(x)，我有1，本质上是1乘以x的0次方。

0:04:55.500,0:04:58.420
然后我没有x的一次方。

0:04:58.420,0:05:00.240
我实际上没有x的奇数次方。

0:05:00.240,0:05:02.830
然后我基本上有x的所有偶数次方。

0:05:02.830,0:05:06.650
无论是什么次方，我都将它除以那个阶乘。

0:05:06.650,0:05:09.400
然后符号不断变化。

0:05:09.400,0:05:12.300
我不应该说这是一个偶数次方，因为0实际上不是。

0:05:12.300,0:05:14.440
嗯，我想你可以把它看作一个偶数，

0:05:14.440,0:05:17.540
因为–好吧，我不会深入讨论这些。

0:05:17.540,0:05:22.440
但它本质上是0，2，4，6，依此类推。

0:05:22.440,0:05:24.200
所以这很有趣，特别是

0:05:24.200,0:05:25.440
当你与这个比较时。

0:05:25.440,0:05:26.760
这是所有的奇数次方。

0:05:26.760,0:05:29.060
这是x的一次方除以1的阶乘。

0:05:29.060,0:05:30.300
我没有在这里写。

0:05:30.300,0:05:32.580
这是x的三次方除以3的阶乘

0:05:32.580,0:05:34.477
加上x的五次方除以5的阶乘。

0:05:34.477,0:05:35.810
是的，0将是一个偶数。

0:05:35.810,0:05:39.830
无论如何，我的大脑现在在另一个地方。

0:05:39.830,0:05:40.890
你可以继续。

0:05:40.890,0:05:43.190
如果我们继续这个过程，

0:05:43.190,0:05:44.280
你将不断切换符号。

0:05:44.280,0:05:48.200
x的七次方除以7的阶乘加上

0:05:48.200,0:05:49.527
x的九次方除以9的阶乘。

0:05:49.527,0:05:51.110
所以这里有一些有趣的事情。

0:05:51.110,0:05:55.280
你再次看到这里正弦和余弦

0:05:55.280,0:05:56.930
的互补性质。

0:05:56.930,0:05:58.630
你几乎看到–

0:05:58.630,0:06:00.960
它们在这里填补彼此的空白。

0:06:00.960,0:06:03.220
cos(x)是所有x的偶数次方

0:06:03.220,0:06:05.680
除以那个次方的阶乘。

0:06:05.680,0:06:08.310
当你取sin(x)的多项式表示时，

0:06:08.310,0:06:12.470
它是所有x的奇数次方除以它的阶乘，

0:06:12.470,0:06:14.100
并且你切换符号。

0:06:14.100,0:06:16.640
在下一个视频中，我将讨论e的x次方。

0:06:16.640,0:06:18.660
真正令人着迷的是，

0:06:18.660,0:06:22.310
e的x次方开始看起来像这里的一点组合，

0:06:22.310,0:06:24.050
但不完全是。

0:06:24.050,0:06:25.790
当你涉及虚数时，

0:06:25.790,0:06:28.310
你确实得到了组合。

0:06:28.310,0:06:32.860
那时它开始变得非常非常令人震惊。