Sine Taylor Series at 0 (Maclaurin)

No último vídeo, nós calculamos a Série de Maclaurin do Coseno de x

nós o aproximamos usando esse polinômio

e nós vimos esse padrão bem interessante

Vamos ver se nós conseguimos achar um padrão parecido se tentarmos

aproximar o Seno de x usando a Série de Maclaurin

E, novamente, a Série de Maclaurin é a mesma coisa que

a Série de Taylor onde nós estamos centrando nossa aproximação

em torno de x é igual a 0. Então esse é um caso especial da Série de Taylor

então vamos calcular f de x nesta situação para ser igual ao seno de x

f de x agora é igual ao seno de x e vamos fazer a mesma coisa

que nós fizemos com o coseno de x. Vamos só pegar as diferentes

derivadas de seno de x. Então, se você tem a primeira

derivada de seno de x é apenas o cosseno de x. A derivada segunda

de seno de x é a derivada de cos x, que é o seno negativo de x

A terceira derivada será a derivada disso,

entao eu vou escrever 3 entre parênteses aqui em vez de fazer

todas as linhas. Então a derivada terceira é

a derivada disto, que é o cosseno negativo de x. A quarta

derivada é a derivada disto,

que é o seno positivo de x novamente. Então você pode ver que é como o cosseno de x

Esse padrão meio que se repete depois que você calcula as derivadas por tempo o suficiente

e, para calcular a Série de Maclaurin, nós nos importamos em

calcular a função e cada uma dessas derivadas em x=0,

então vamos fazer isso. Então, para isso, deixe-me fazer isso em uma

cor diferente, não o mesmo azul, então eu vou fazer isso em roxo

Entao f (isso é meio dificil de se ver, vamos fazer isso em

outro tom de azul). Então f de 0, nessa situação, é 0 e a derivada

de f em 0 é 1. Coseno de 0 é 1

o seno negativo de 0 será 0, então f linha linha

(a derivada segunda) em 0 será 0.

a derivada terceira em 0 é -1.

Cosseno de 0 é 1, mas você tem um negativo lá fora, então é

-1, e a derivada quarta em 0 será

0 novamente. Nós poderiamos continuar indo, mas parece que

há um padrão 0 1 -1 0 então você voltará

para 1 positivo e assim por diante, então vamos encontrar sua

representação polinomial usando a Série de Maclaurin.

só um lembrete, isso aqui em cima era aproximadamente

o cosseno de x e você chegará cada vez mais perto

do cosseno de x (eu não estou mostrando-lhe rigorosamente o quão próximo)

e isso é definitivamente exatamente a mesma coisa que o cosseno de x

mas você chega cada vez mais perto do cosseno de x

à medida que você continua adicionando termos aqui e você vai chegar bem perto do cosseno de x

à medida que você chega mais perto de um número infinito de termos.

Agora, vamos fazer a mesma coisa para o seno de x. Então vamos pegar

uma nova cor. Esse verde parece ser bom. Então este é

o nosso novo p de x. Então esse será aproximadamente

o seno de x à medida que colocamos mais e mais termos

e então o primeiro termo aqui f de 0, isso é apenas 0

então nós não vamos nem incluir ele. O próximo termo

será f linha de 0, que é 1 vezes x. Então isso será x

O próximo termo é f linha linha, a derivada segunda, em 0

que será 0.(deixe-me abaixar um pouco isso)

isso é 0, então nós não teremos o segundo termo

o terceiro termo bem aqui é a derivada terceira de seno de x

avaliada em 0, que é -1, então nós teremos agora

um 1 negativo. (deixe-me abaixar isso um pouco mais para que você possa ver)

1 negativo, isso é 1 negativo neste caso vezes x ao cubo

sobre 3 fatorial. Então x negativo ao cubo sobre 3 fatorial

e o próximo termo será 0, porque essa é

a derivada quarta. Essa é a derivada quarta avaliada

em 0 é o proximo coeficiente. Nós vemos que isso será 0

então vai zerar o termo e o que você verá aqui

e talvez eu ainda não tenha feito termos suficientes

para você. Para que você se sinta bem com isso, deixe-me fazer

mais um termo aqui só para que fique claro

a derivada quinta de x será o cosseno de x

novamente. A derivada quinta (deixe-me eu fazer isso na mesma cor

só para que fique consistente) a derivada quinta

avaliada em 0 será 1

então a derivada quarta avaliada em 0 é 0, então você

vai para a derivada quinta avaliada em 0 será

1 positive, e se eu continuasse fazendo isso, isso seria 1 positivo vezes,

eu teria que escrever 1 como o coeficiente vezes x à quinta

sobre 5 fatorial, então há uma cuisa bem interessante acontecendo

aqui e para o cosseno de x eu tinha1 essencialmente 1 vezes

x elevado a 0, então eu não tenho x à primeira potência

eu não tenho x elevado aos númenos ímpares, na verdade, então eu

tenho x elevado a todas as potências pares e, qualquer que seja esse expoente,

eu estou dividindo isso pelo fatorial daquele expoente, e então o sinal

continua trocando e isso é, eu não deveria dizer que isto é uma

potência par poque 0 não é realmente, bem, eu acho que você

pode ver isso como um número par porque... eu não vou entrar em

nisso mas é essencialmente 0 2 4 6 e assim por diante

então isto é interessante, especialmente quando você compara

com isto. Isto são todas as potências ímpares, isto é x à primeira

sobre 1 fatorial, eu não escrevi isto aqui, há x à

terceira sobre 3 fatorial mais x à quinta sobre

5 fatorial, e zero seria um número par, de qualquer modo

eu não... quase... meu cérebro está em outro lugar agora

e você poderia continuar se nós refizessemos o processo

você continuaria trocando os sinais. x à sétima

sobre 7 fatorial mais x à 9 sobre 9 fatorial

e há algo interessante aqui uma vez que,

mais uma vez, vê essa espécie de natureza complementar entre

seno e cosseno aqui. Você vê quase... Eles meios que

eles se completam os espaços do outro. Aqui o cosseno de x

é todas as potências ímpares de x divididas pelo fatorial daquele expoente

seno de x, quando você faz a sua representação polinomial,

são todas as potências ímpares de x divididas pelo fatorial do seu expoente

e você troca os sinais. No próximo vídeo eu vou fazer e elevado a x

e o que é realmente facinante é que e elevado a x começa

a parecer um pouco como a combinação aqui, mas não exatamente,

e você realmente consegue a combinação quando você envolve

números imaginários, e é aí que começa a ficar

mesmo, mesmo impressionante