No último vídeo, nós calculamos a Série de Maclaurin do Coseno de x
nós o aproximamos usando esse polinômio
e nós vimos esse padrão bem interessante
Vamos ver se nós conseguimos achar um padrão parecido se tentarmos
aproximar o Seno de x usando a Série de Maclaurin
E, novamente, a Série de Maclaurin é a mesma coisa que
a Série de Taylor onde nós estamos centrando nossa aproximação
em torno de x é igual a 0. Então esse é um caso especial da Série de Taylor
então vamos calcular f de x nesta situação para ser igual ao seno de x
f de x agora é igual ao seno de x e vamos fazer a mesma coisa
que nós fizemos com o coseno de x. Vamos só pegar as diferentes
derivadas de seno de x. Então, se você tem a primeira
derivada de seno de x é apenas o cosseno de x. A derivada segunda
de seno de x é a derivada de cos x, que é o seno negativo de x
A terceira derivada será a derivada disso,
entao eu vou escrever 3 entre parênteses aqui em vez de fazer
todas as linhas. Então a derivada terceira é
a derivada disto, que é o cosseno negativo de x. A quarta
derivada é a derivada disto,
que é o seno positivo de x novamente. Então você pode ver que é como o cosseno de x
Esse padrão meio que se repete depois que você calcula as derivadas por tempo o suficiente
e, para calcular a Série de Maclaurin, nós nos importamos em
calcular a função e cada uma dessas derivadas em x=0,
então vamos fazer isso. Então, para isso, deixe-me fazer isso em uma
cor diferente, não o mesmo azul, então eu vou fazer isso em roxo
Entao f (isso é meio dificil de se ver, vamos fazer isso em
outro tom de azul). Então f de 0, nessa situação, é 0 e a derivada
de f em 0 é 1. Coseno de 0 é 1
o seno negativo de 0 será 0, então f linha linha
(a derivada segunda) em 0 será 0.
a derivada terceira em 0 é -1.
Cosseno de 0 é 1, mas você tem um negativo lá fora, então é
-1, e a derivada quarta em 0 será
0 novamente. Nós poderiamos continuar indo, mas parece que
há um padrão 0 1 -1 0 então você voltará
para 1 positivo e assim por diante, então vamos encontrar sua
representação polinomial usando a Série de Maclaurin.
só um lembrete, isso aqui em cima era aproximadamente
o cosseno de x e você chegará cada vez mais perto
do cosseno de x (eu não estou mostrando-lhe rigorosamente o quão próximo)
e isso é definitivamente exatamente a mesma coisa que o cosseno de x
mas você chega cada vez mais perto do cosseno de x
à medida que você continua adicionando termos aqui e você vai chegar bem perto do cosseno de x
à medida que você chega mais perto de um número infinito de termos.
Agora, vamos fazer a mesma coisa para o seno de x. Então vamos pegar
uma nova cor. Esse verde parece ser bom. Então este é
o nosso novo p de x. Então esse será aproximadamente
o seno de x à medida que colocamos mais e mais termos
e então o primeiro termo aqui f de 0, isso é apenas 0
então nós não vamos nem incluir ele. O próximo termo
será f linha de 0, que é 1 vezes x. Então isso será x
O próximo termo é f linha linha, a derivada segunda, em 0
que será 0.(deixe-me abaixar um pouco isso)
isso é 0, então nós não teremos o segundo termo
o terceiro termo bem aqui é a derivada terceira de seno de x
avaliada em 0, que é -1, então nós teremos agora
um 1 negativo. (deixe-me abaixar isso um pouco mais para que você possa ver)
1 negativo, isso é 1 negativo neste caso vezes x ao cubo
sobre 3 fatorial. Então x negativo ao cubo sobre 3 fatorial
e o próximo termo será 0, porque essa é
a derivada quarta. Essa é a derivada quarta avaliada
em 0 é o proximo coeficiente. Nós vemos que isso será 0
então vai zerar o termo e o que você verá aqui
e talvez eu ainda não tenha feito termos suficientes
para você. Para que você se sinta bem com isso, deixe-me fazer
mais um termo aqui só para que fique claro
a derivada quinta de x será o cosseno de x
novamente. A derivada quinta (deixe-me eu fazer isso na mesma cor
só para que fique consistente) a derivada quinta
avaliada em 0 será 1
então a derivada quarta avaliada em 0 é 0, então você
vai para a derivada quinta avaliada em 0 será
1 positive, e se eu continuasse fazendo isso, isso seria 1 positivo vezes,
eu teria que escrever 1 como o coeficiente vezes x à quinta
sobre 5 fatorial, então há uma cuisa bem interessante acontecendo
aqui e para o cosseno de x eu tinha1 essencialmente 1 vezes
x elevado a 0, então eu não tenho x à primeira potência
eu não tenho x elevado aos númenos ímpares, na verdade, então eu
tenho x elevado a todas as potências pares e, qualquer que seja esse expoente,
eu estou dividindo isso pelo fatorial daquele expoente, e então o sinal
continua trocando e isso é, eu não deveria dizer que isto é uma
potência par poque 0 não é realmente, bem, eu acho que você
pode ver isso como um número par porque... eu não vou entrar em
nisso mas é essencialmente 0 2 4 6 e assim por diante
então isto é interessante, especialmente quando você compara
com isto. Isto são todas as potências ímpares, isto é x à primeira
sobre 1 fatorial, eu não escrevi isto aqui, há x à
terceira sobre 3 fatorial mais x à quinta sobre
5 fatorial, e zero seria um número par, de qualquer modo
eu não... quase... meu cérebro está em outro lugar agora
e você poderia continuar se nós refizessemos o processo
você continuaria trocando os sinais. x à sétima
sobre 7 fatorial mais x à 9 sobre 9 fatorial
e há algo interessante aqui uma vez que,
mais uma vez, vê essa espécie de natureza complementar entre
seno e cosseno aqui. Você vê quase... Eles meios que
eles se completam os espaços do outro. Aqui o cosseno de x
é todas as potências ímpares de x divididas pelo fatorial daquele expoente
seno de x, quando você faz a sua representação polinomial,
são todas as potências ímpares de x divididas pelo fatorial do seu expoente
e você troca os sinais. No próximo vídeo eu vou fazer e elevado a x
e o que é realmente facinante é que e elevado a x começa
a parecer um pouco como a combinação aqui, mas não exatamente,
e você realmente consegue a combinação quando você envolve
números imaginários, e é aí que começa a ficar
mesmo, mesmo impressionante