Ред на Маклорен за sin(x)

В последното видео разгледахме
ред на Макларън за cos(х).

Апроксимирахме го с
този полином.

И видяхме тази много
интересна закономерност.

Да видим дали можем
да намерим подобна закономерност,

ако опитаме да апроксимираме
синус от х с ред на Маклорен.

Повтарям, редът на Маклорен

е същото нещо като
ред на Тейлър,

когато центрираме
апроксимацията около х = 0.

Това е частен случай
на ред на Телър.

Нека сега f(х) да е равно
на sin(х).

Да направим същото, което
направихме с cos(х).

Да намерим различните
производни на sin(х) много бързо.

Първата производна на
sin(х) е просто cos(х).

Втората производна
на sin(х)

е производната на cos(х),
което е –sin(х).

Третата производна е
равна на производната на това.

Ще запиша 3 в скоби тук,

вместо три пъти прим.

Третата производна на това
е минус cos(х).

Четвъртата производна
е производната на това,

което е +sin(х) отново.

Виждаш, че както и за cos(х),
тук се получава нещо циклично,

след като намерим
достатъчен брой производни.

За да съставим ред
на Маклорен,

трябва да изчислим функцията,
и всяка от тези производни

за х = 0.

Да го направим.

Значи досега... ще
го направя в различен цвят,

същото това синьо.

Ще го направя
в този виолетов цвят.

Това не се вижда добре,
ще премина на друго синьо.

Значи f(0) в този случай, е 0.

Първата производна,
изчислена за 0, е 1.

Косинус от 0 е 1.

Минус синус от нула е нула.

Значи f'', втората производна,
изчислена за нула, е нула.

Третата производна, изчислена
за нула, е –1.

Косинус от 0 е 1.

Тук е минус 1.

После четвъртата производна,
изчислена за 0,

ще бъде отново 0.

Можем да продължим,
но отново,

тук изглежда има
закономерност.

0, 1, 0, –1, после пак
се връщаме до +1.

И така нататък.

Да намерим представянето
като полином с ред на Маклорен.

И само да напомня, това ето тук,

това е апроксимация
на косинус от х.

И се доближаваме все повече
и повече до косинус от х.

Не казвам, че
идеално се приближаваме,

че това е съвсем същото
като косинус от х,

но се приближаваме
все повече и повече

до косинус х, когато
добавяме нови членове.

И когато наближим безкрайност,
това е много близко до косинус от х.

Сега да видим същото
за синус от х.

Ще избера нов цвят.

Това зелено е чудесно.

Това е новото р(х).

Това ще бъде
приблизително равно на

синус от х, когато добавяме
все повече и повече членове.

Първият член тук, f(0),
ще бъде нула.

Няма нужда даже да
го включваме.

Следващият член ще бъде
f'(0), което е 1, по х.

Значи това ще бъде х.

Следващият член, f'',
втората производна за нула,

виждаме, че ще е нула.

Ще превъртя малко надолу.

Това е нула.

Няма да го има втория член.

Този трети член тук,
третата производна

от sin(х), изчислена за 0,
дава –1.

Значи имаме –1.

Ще превъртя още малко,
за да можем да виждаме.

В този случай е –1,

по х^3 върху 3!

После следващият
член е нула,

това е четвъртата производна.

Четвъртата производна, изчислена
за нула, е следващият коефициент.

Това е нула, така че
го пропускаме..

И сега виждаме...

Може би не направих
достатъчно членове,

за да можеш да се убедиш.

Ще направя още
един член, за да е по-ясно.

Петата производна на х
ще бъде косинус от х отново.

Петата производна...
ще използвам същия цвят,

за да има последователност –
петата производна, изчислена за нула,

ще бъде 1.

Значи четвъртата производна,
изчислена за 0, е 0,

после петата производна,
изчислена за 0,

ще бъде +1.

Ако продължа така,
това ще бъде +1...

трябва да запиша 1 като коефициент,

по х^5 върху 5!

Тук се случва нещо интересно.

За косинус от х, имах 1,
1 по х на нулева степен.

После нямах х на първа степен.

Нямах х на нечетни степени.

После имам х на
всички четни степени.

И за всяка степен
деля на същия факториел.

И знакът непрекъснато
се сменя.

Не трябваше да казвам, че това е
четна степен, защото нулата не е четно.

Можеш да я разглеждаш
като четно число, защото...

но сега няма да се
занимавам с това.

Но това са принципно
0, 2, 4, 6 и така нататък.

Това е интересно, особено
като го сравним с това.

Всички тук са на нечетна степен.

Това е х^1 върху 1!.

Не съм го написал тук.

После имаме х^3 върху 3!

плюс х^5 върху 5!

Да, 0 е четно число.

Както и да е, сега
мисля за друго.

И можем да продължим така.

Ако продължим по този начин,
продължаваме да сменяме знака.

х^7 върху 7! плюс
х^9 върху 9!

Тук има нещо интересно.

Отново виждаме как
един вид се допълват

синусът и косинусът.

Виждаме, че това почти...

те сякаш запълват един
на друг празнините.

Косинус от х има всички
четни степени

на х, делено на факториела,
равен на степента.

Синус от х, когато го
представим като полином,

има всички нечетни степени на х,
делени на съответния факториел,

и сменяме знаците.

В следващото видео
ще го разгледаме за е^х.

Изумителното там е, че

е^х започва да изглежда
малко като комбинация от тези,

но не съвсем.

Но наистина получаваш
комбинация,

когато използваш
имагинерни числа.

И тогава става
наистина изумително.