1
00:00:00,000 --> 00:00:00,660


2
00:00:00,660 --> 00:00:04,040
В последното видео разгледахме
ред на Макларън за cos(х).

3
00:00:04,180 --> 00:00:06,670
Апроксимирахме го с
този полином.

4
00:00:06,670 --> 00:00:08,560
И видяхме тази много 
интересна закономерност.

5
00:00:08,560 --> 00:00:10,310
Да видим дали можем
да намерим подобна закономерност,

6
00:00:10,310 --> 00:00:14,360
ако опитаме да апроксимираме
синус от х с ред на Маклорен.

7
00:00:14,360 --> 00:00:16,000
Повтарям, редът на Маклорен

8
00:00:16,000 --> 00:00:18,240
е същото нещо като
ред на Тейлър,

9
00:00:18,240 --> 00:00:23,580
когато центрираме
апроксимацията около х = 0.

10
00:00:23,740 --> 00:00:26,830
Това е частен случай
на ред на Телър.

11
00:00:26,830 --> 00:00:36,320
Нека сега f(х) да е равно
на sin(х).

12
00:00:36,380 --> 00:00:38,890
Да направим същото, което
направихме с cos(х).

13
00:00:38,890 --> 00:00:42,260
Да намерим различните
производни на sin(х) много бързо.

14
00:00:42,440 --> 00:00:48,100
Първата производна на
sin(х) е просто cos(х).

15
00:00:48,480 --> 00:00:51,160
Втората производна 
на sin(х)

16
00:00:51,160 --> 00:00:55,880
е производната на cos(х),
което е –sin(х).

17
00:00:55,880 --> 00:00:58,790
Третата производна е
равна на производната на това.

18
00:00:58,790 --> 00:01:00,437
Ще запиша 3 в скоби тук,

19
00:01:00,437 --> 00:01:02,270
вместо три пъти прим.

20
00:01:02,270 --> 00:01:07,480
Третата производна на това
е минус cos(х).

21
00:01:07,780 --> 00:01:11,560
Четвъртата производна
е производната на това,

22
00:01:11,570 --> 00:01:15,020
което е +sin(х) отново.

23
00:01:15,020 --> 00:01:17,950
Виждаш, че както и за cos(х),
тук се получава нещо циклично,

24
00:01:17,950 --> 00:01:19,990
след като намерим
достатъчен брой производни.

25
00:01:19,990 --> 00:01:22,550
За да съставим ред 
на Маклорен,

26
00:01:22,550 --> 00:01:26,840
трябва да изчислим функцията,
и всяка от тези производни

27
00:01:26,840 --> 00:01:28,450
за х = 0.

28
00:01:28,450 --> 00:01:30,220
Да го направим.

29
00:01:30,220 --> 00:01:32,510
Значи досега... ще
го направя в различен цвят,

30
00:01:32,510 --> 00:01:34,030
същото това синьо.

31
00:01:34,030 --> 00:01:36,320
Ще го направя 
в този виолетов цвят.

32
00:01:36,320 --> 00:01:40,740
Това не се вижда добре,
ще премина на друго синьо.

33
00:01:40,920 --> 00:01:45,620
Значи f(0) в този случай, е 0.

34
00:01:45,620 --> 00:01:50,280
Първата производна,
изчислена за 0, е 1.

35
00:01:50,280 --> 00:01:52,880
Косинус от 0 е 1.

36
00:01:52,880 --> 00:01:57,300
Минус синус от нула е нула.

37
00:01:57,300 --> 00:02:01,210
Значи f'', втората производна, 
изчислена за нула, е нула.

38
00:02:01,210 --> 00:02:06,335
Третата производна, изчислена
за нула, е –1.

39
00:02:06,335 --> 00:02:08,411
Косинус от 0 е 1.

40
00:02:08,420 --> 00:02:10,680
Тук е минус 1.

41
00:02:10,840 --> 00:02:14,840
После четвъртата производна,
изчислена за 0,

42
00:02:14,850 --> 00:02:16,594
ще бъде отново 0.

43
00:02:16,594 --> 00:02:18,385
Можем да продължим,
но отново,

44
00:02:18,385 --> 00:02:19,593
тук изглежда има
закономерност.

45
00:02:19,600 --> 00:02:22,860
0, 1, 0, –1, после пак
се връщаме до +1.

46
00:02:22,920 --> 00:02:24,750
И така нататък.

47
00:02:24,750 --> 00:02:29,380
Да намерим представянето
като полином с ред на Маклорен.

48
00:02:29,500 --> 00:02:31,380
И само да напомня, това ето тук,

49
00:02:31,380 --> 00:02:34,210
това е апроксимация
на косинус от х.

50
00:02:34,210 --> 00:02:36,220
И се доближаваме все повече
и повече до косинус от х.

51
00:02:36,220 --> 00:02:37,960
Не казвам, че
идеално се приближаваме,

52
00:02:37,960 --> 00:02:40,760
че това е съвсем същото
като косинус от х,

53
00:02:40,760 --> 00:02:42,710
но се приближаваме 
все повече и повече

54
00:02:42,710 --> 00:02:44,975
до косинус х, когато
добавяме нови членове.

55
00:02:44,980 --> 00:02:48,800
И когато наближим безкрайност,
това е много близко до косинус от х.

56
00:02:48,920 --> 00:02:51,490
Сега да видим същото
за синус от х.

57
00:02:51,490 --> 00:02:52,960
Ще избера нов цвят.

58
00:02:52,960 --> 00:02:54,980
Това зелено е чудесно.

59
00:02:54,980 --> 00:02:56,820
Това е новото р(х).

60
00:02:56,820 --> 00:02:58,590
Това ще бъде
приблизително равно на

61
00:02:58,590 --> 00:03:01,600
синус от х, когато добавяме
все повече и повече членове.

62
00:03:01,600 --> 00:03:06,820
Първият член тук, f(0),
ще бъде нула.

63
00:03:06,820 --> 00:03:09,050
Няма нужда даже да
го включваме.

64
00:03:09,050 --> 00:03:13,680
Следващият член ще бъде
f'(0), което е 1, по х.

65
00:03:13,800 --> 00:03:15,880
Значи това ще бъде х.

66
00:03:15,880 --> 00:03:18,450
Следващият член, f'',
втората производна за нула,

67
00:03:18,450 --> 00:03:21,220
виждаме, че ще е нула.

68
00:03:21,220 --> 00:03:23,020
Ще превъртя малко надолу.

69
00:03:23,020 --> 00:03:24,340
Това е нула.

70
00:03:24,340 --> 00:03:26,610
Няма да го има втория член.

71
00:03:26,610 --> 00:03:29,590
Този трети член тук,
третата производна

72
00:03:29,590 --> 00:03:32,920
от sin(х), изчислена за 0,
дава –1.

73
00:03:32,920 --> 00:03:36,830
Значи имаме –1.

74
00:03:36,830 --> 00:03:39,490
Ще превъртя още малко,
за да можем да виждаме.

75
00:03:39,490 --> 00:03:42,240
В този случай е –1,

76
00:03:42,240 --> 00:03:50,600
по х^3 върху 3!

77
00:03:50,880 --> 00:03:52,860
После следващият
член е нула,

78
00:03:52,860 --> 00:03:55,850
това е четвъртата производна.

79
00:03:55,850 --> 00:03:59,660
Четвъртата производна, изчислена 
за нула, е следващият коефициент.

80
00:03:59,660 --> 00:04:03,052
Това е нула, така че 
го пропускаме..

81
00:04:03,052 --> 00:04:04,510
И сега виждаме...

82
00:04:04,510 --> 00:04:06,825
Може би не направих
достатъчно членове,

83
00:04:06,825 --> 00:04:08,300
за да можеш да се убедиш.

84
00:04:08,300 --> 00:04:12,540
Ще направя още
един член, за да е по-ясно.

85
00:04:12,560 --> 00:04:17,380
Петата производна на х
ще бъде косинус от х отново.

86
00:04:17,440 --> 00:04:20,200
Петата производна...
ще използвам същия цвят,

87
00:04:20,209 --> 00:04:27,180
за да има последователност –
петата производна, изчислена за нула,

88
00:04:27,180 --> 00:04:29,570
ще бъде 1.

89
00:04:29,570 --> 00:04:33,470
Значи четвъртата производна,
изчислена за 0, е 0,

90
00:04:33,470 --> 00:04:36,860
после петата производна,
изчислена за 0,

91
00:04:36,860 --> 00:04:38,814
ще бъде +1.

92
00:04:38,814 --> 00:04:40,730
Ако продължа така,
това ще бъде +1...

93
00:04:40,730 --> 00:04:43,660
трябва да запиша 1 като коефициент,

94
00:04:43,660 --> 00:04:47,760
по х^5 върху 5!

95
00:04:47,770 --> 00:04:50,530
Тук се случва нещо интересно.

96
00:04:50,530 --> 00:04:55,500
За косинус от х, имах 1,
1 по х на нулева степен.

97
00:04:55,500 --> 00:04:58,420
После нямах х на първа степен.

98
00:04:58,420 --> 00:05:00,240
Нямах х на нечетни степени.

99
00:05:00,240 --> 00:05:02,830
После имам х на
всички четни степени.

100
00:05:02,830 --> 00:05:06,650
И за всяка степен 
деля на същия факториел.

101
00:05:06,650 --> 00:05:09,400
И знакът непрекъснато 
се сменя.

102
00:05:09,400 --> 00:05:12,300
Не трябваше да казвам, че това е 
четна степен, защото нулата не е четно.

103
00:05:12,300 --> 00:05:15,200
Можеш да я разглеждаш
като четно число, защото...

104
00:05:15,200 --> 00:05:17,540
но сега няма да се
занимавам с това.

105
00:05:17,540 --> 00:05:22,440
Но това са принципно
0, 2, 4, 6 и така нататък.

106
00:05:22,440 --> 00:05:25,260
Това е интересно, особено
като го сравним с това.

107
00:05:25,440 --> 00:05:26,760
Всички тук са на нечетна степен.

108
00:05:26,760 --> 00:05:29,060
Това е х^1 върху 1!.

109
00:05:29,060 --> 00:05:30,300
Не съм го написал тук.

110
00:05:30,300 --> 00:05:32,580
После имаме х^3 върху 3!

111
00:05:32,580 --> 00:05:34,477
плюс х^5 върху 5!

112
00:05:34,477 --> 00:05:35,810
Да, 0 е четно число.

113
00:05:35,810 --> 00:05:39,830
Както и да е, сега
мисля за друго.

114
00:05:39,830 --> 00:05:40,890
И можем да продължим така.

115
00:05:40,890 --> 00:05:44,120
Ако продължим по този начин, 
продължаваме да сменяме знака.

116
00:05:44,280 --> 00:05:49,440
х^7 върху 7! плюс
х^9 върху 9!

117
00:05:49,520 --> 00:05:51,100
Тук има нещо интересно.

118
00:05:51,110 --> 00:05:55,280
Отново виждаме как
един вид се допълват

119
00:05:55,280 --> 00:05:56,930
синусът и косинусът.

120
00:05:56,930 --> 00:05:58,630
Виждаме, че това почти...

121
00:05:58,630 --> 00:06:00,960
те сякаш запълват един 
на друг празнините.

122
00:06:00,960 --> 00:06:03,220
Косинус от х има всички
четни степени

123
00:06:03,220 --> 00:06:05,680
на х, делено на факториела,
равен на степента.

124
00:06:05,680 --> 00:06:08,310
Синус от х, когато го 
представим като полином,

125
00:06:08,310 --> 00:06:12,470
има всички нечетни степени на х,
делени на съответния факториел,

126
00:06:12,470 --> 00:06:14,100
и сменяме знаците.

127
00:06:14,100 --> 00:06:16,640
В следващото видео
ще го разгледаме за е^х.

128
00:06:16,640 --> 00:06:18,660
Изумителното там е, че

129
00:06:18,660 --> 00:06:22,310
е^х започва да изглежда
малко като комбинация от тези,

130
00:06:22,310 --> 00:06:24,050
но не съвсем.

131
00:06:24,050 --> 00:06:25,790
Но наистина получаваш 
комбинация,

132
00:06:25,790 --> 00:06:28,310
когато използваш
имагинерни числа.

133
00:06:28,310 --> 00:06:32,860
И тогава става 
наистина изумително.