Diferansiyel denklemlere giriş

Diferansiyel denklem nedir ve bazı terimler.

Ilk videomuza hoşgeldiniz.Bu diferansiyel denklemleri anlatan

video listesinin gerçekten ilk videosu.

Daha önce sizinle harmonik hareketi işlerken bu konuya

değindiğimi hatırlıyorum.Zannedersem başka bazı konularda

da değinmiş olabilirim.

Fakat şimdi sizden gelen istek üzerıne bu konuda

bütün bir liste işleyeceğiz.

Ve bu da sizin yararınıza olacak.neden mi?Çünkü diferansiyel

denklemler birçok değişik alanda

karşımıza çıkabilir.

Ben bu konuda ekonomi doktorası yapacak birisinden

talep aldım.Fizik konusunda eğitim görecek

ya da mühendislik okuyacaklar da

istekde bulundu.

Bu nedenle geniş bir uygulama alanı olan bır konu.

Daha başka luzumsuz konulara dalmadan

başlayalım.

Eveeet.Diferansiyel denklemler.

İlk sorumuz şu olacak: Diferansiyel denklem nedir?

Denklem nedir biliyorsunuz.

Diferansiyel denklem nedir?

Şimdiii diferansiyel denklem demek bilinmeyen bir fonksiyon

ve onun türevlerini kapsayan denklem demektir.

Şimdi bununla ne demek istiyorum?

Şimdi farzedelim ki y üstü(y') artı y eşittir

x artı 3.

Burda bilinmeyen fonksiyon y dir.

Bunu y(x) xin ydeki değeri ya da

dydx, ynin x'e göre türevi artı

bu bilinmeyen fonksiyon y eşittir x artı 3.

biz bu denklemi x'in f üstündeki değeri artı x'in f'deki değeri

eşittir x artı 3.

Bunların hepsi aynı şeyi ifade eden

geçerli denklemlerdir.

Burda enteresan olan şu ki bu konuda

normal denklemlerden ayrılırlar

size nasıl olduklarını hatırlatmak için bir normal

denklem yazayım

Normal bir denklem eğer tek değişkenli ise

şöyle bişidir.

Ne bileyim x kare artı kosinüs x eşittir

karekökü x.

Bunu şimdi uydurdum.

Burda cevap bir sayıdır ya da

sayılar kümesidir.

Bazen birden fazla cevap vardır dimi?

Eğer bir polinomnuz varsa birden fazla

x değeri bu denklemin çözümüdür.

burda diferansiyel denklemlerde çözüm

bir fonksiyondur.

Burdaki amacımız x'in hangi fonksiyonu ki burda

x'in f fonksiyonunu açık olarak yazdım,x'ın hangi fonksiyonu

bu denklemi ya da bu ilişkiyi doğrular.

Bununla ne demek istediğimi göstereyim.

Bende kolejden kalma diferansiyel denklemler kitabı var

konuyu işlerken onu kullanacağım.

Eveeet,şöle diyelim şimdi yazıyorum

Bakın böyle bir diferansiyel denklem var

Ama size nasıl çözüleceklerini daha göstermicem

çünkü bazı püf noktalarını öğrenmeniz gerek önce.

Bu noktada başlamanın iyi olduğunu düşünüyorum ki böylece

diferansiyel denklemlerin ne olduğunu anlar ve

geleneksel denklemlerle karıştırmazsınız.

Evet şimdi ellerinde y üstü üstünün diferansiyeli(?türevi)

var.

Şimdiii y'nin x'e göre ikinci türevi artı

iki çarpı y 'nin x'e göre birinci türevi eksi üç y

eşittir sıfır.

Ve bize çözümleri de veriyorlar.Bizden yapmamızı istediklerı

bu çözümlerin doğruluğunu kanıtlamamızdır.

Bence bu nokta diferansiyel denklem ne demek ve çözümü

ne demek anlayabileceğimiz iyi bir

noktadır.

Eveet ynin ılk değeri e üzeri eksi üç x miş.

Bunun denklemin çözümü olduğunu

söylüyorlar.

Ben de size bunun doğru olduğunu göstericem.

Eveet şimdi y1 y neydi eveet şimdi

sadece y1 yazayım.

y1 üstü nedir?

Bunun türevi nedir?

Şimdii gelin zincir kuralını uygulayalım.

tüm fonsiyonun bu kısma göre türevi

sadece e üzeri eksi üç x dir.

Sonra iç kısmın türevini alıyorsun.

Dış kısmın türevi e üzeri

eksi üç x.

Vee iç kısmın türevi eksi üç tür.

Veee y1 in ikinci dereceden türevi eşittir sadecebunun

türevini alıcaz ve bu eşittir artı

dokuz eksi üç çarpı eksi üç e üzeri eksi üç x.

Şimdi y1 ve türevlerini bu

diferansiyel denkleme yerleştirirsek, eşitlik olacağını

göreceğiz.

y üstü üstü bu.

Böylece elimizde olan dokuz e üzeri eksi üç x artı iki y üstü

artı iki çarpı y üstü.

Evet bu y üstü

Böylece iki kere eksi üç e üzeri eksi üç x artı oh özür dilerim

eksi üç çarpı y.

Eveeet,y budur.

Eksi üç kere e üzeri eksi üç x.

Güzeeel şimdi bu neye eşittir?

Dokuz e üzeri eksi üç x eksi 6 e üzeri eksi üç x

eksi üç e üzeri eksi üç x.

Tamam.Şimdi bu neye eşittir?

Elimizde bir şeyden dokuz tane eksi altı tane

eksi üç tane var.

Bu eşittir sıfır.

Neyin sıfırı olduğu mühim değil.

Evet sıfıra eşittir.

Böylece bu diferansiyel denklem için y1 eşittir e üzeri eksi üç x

bir çözümdür.

Şimdi burda enteresan bir durum var ki

biz buna normal denklemlerde de değinmiştik

bu yegane çözüm olmayabilir.

Aslında bir kaç video sonra görücez ki genellikle

çözüm tek bi fonksiyon olmayabilir.

Çözüm bir fonksiyonlar sınıfı olabilir ki

bunlar hemen hemen aynı fonksiyonlar olup

sabitleri farklıdır.

Size bunu bi saniye içinde göstericem.

Fakat burda bize bir çözüm daha veriyorlar,bu denkleme

uygun olan,

x in y2 değeri sadece

e üzeri x'e eşittir.

Biz de bunu ispat edebiliriz dimi?

e üzeri x'in birinci ve ikinci dereceden türevleri nedir?

Sadece e üst'dir.ü x

Ve y2 nin ikinci dereceden türevi eşittir e üzeri x artı

iki çarpı birinci dereceden türev neye eşittir?

e üzeri x in birinci dereceden türevi hala e üzeri xdir,

iki e üzeri x ,eksi üç çarpı bir fonksiyon.

Eksi üç e üzeri x.

Eveeet bir artı iki eksi üç ,bu da eşittir sıfır.

Bu da denklemin bir çözümüymüş demekki.

Şimdi devam etmeden önce ,bir sonraki örnekte size bazı

karmaşık olmayan diferansiyel denklemler i çözmeniz için

vereceğim.

Bunun iyi bir zamanlama olduğunu düşünüyorum.Ümit ederim ki şimdiye kadar

diferansiyel denklemler ve çö zümleri hakkında

bir fikriniz olmuştur.

Veee çözüm bir sayı değildir,çözüm bir fonksiyondur

yada fonksiyonlar kümesidir

ya da bir fonksiyon sınıfıdır.

Biraz da terminolojiyi tekrar etmenin tam

zamanıdır.

Şimdiii iki büyük sınıf var.

Aslında ilk bir tane büyük grup var,adi ve kısmi

diferansiyel denklemler.

Bunun ne demek olduğunu tahmin edersiniz sanırım.

Adi differansiyel denklem benim y azdığım gibidir.

Bir değişkene göre başka bir değişken,ya da

bir değişken x ve onun türevlerine göre bir fonksiyon.

Kısmi diferansiyel denklemlerden daha sonra bahsedeceğiz.

Onlar daha karmaşık.

Onlarda bir fonksiyon birden fazla değişkenin

fonksiyonu olabilir.

Ve x'e göre y'ye göre ve z'ye göre türev

almanız gerekebilir.

Şimdilik bunları kafaya takmayacağız.

Eğer fonksiyonlarınız ve onların türevleri sadece

tek değişkenin fonksiyonu ise elimizdeki

adi diferansiyel denklemdir

Biz burda adi diferansiyel denklemleri

işleyeceğiz.

Adi diferansiyel denklemleri iki

şekilde sınıflandırabiliriz ki

bunlar biraz da kesişmektedir.

Derecemiz var,evet benim diferansiyel denklemimin

derecesi nedir?

Bi de linear olup olmadığı

var.

Bunu anlatmanın en iyi yolu bazı

örnekler yazmaktır.

Bir tane yazalım bakalım.

Bu örneği yine kolejdeki

kitabımdan alıcam.

x kare çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi,

artı x çarpı ynin x e göre birinci dereceden türevi,

artı iki y eşittir x in sinüsü.

Şimdi ilk sorumuz :Derece nedir?

Denklemin derecesi denklemde yer alan türevlerden

en yüksek dereceli olanın derecesidir.

Yazdığımız denklemdeki en yüksek türev

derecesini arıyoruz di mi

Ç özüm bu denkleme uyan bir x e bağlı

y fonksiyonudur.

Derece de o fonsiyonun en yüksek türev derecesidir.

Bu örnekte en yüksek dereceli türev ikinci derecedir.

Bu nedenle denklemin derecesi de ikidir.

Biz bu denkleme ikinci dereceden adi diferansiyel denklem

diyebiliriz.

İkinci olarak yapacağımız bu denklem doğrusal mı

değil mi bulmak.

Eveet,bir diferansiyel denklemin doğrusal olması demek

tüm fonksiyonlarının ve türevlerinin doğrusal olması

demektir.Daha iyi bir kelime maalesef yok.

Bu ne demek?

Demek istediğim bir y kare ok,ya da dy bölü dx in karesi

ya da y çarpı

y nin ikinci dereceden türevi.

Burda yazdığım örneğe bakalım.Bu ikinci dereceden

doğrusal bir denklem çünkü ikinci dereceden türev ,birinci

dereceden türev ve var ama bunlar fonksiyonla veya onun

türevleri ile çarpılmamış.

Eğer bu denklem şöyle olsaydı eğer şöyle yazsaydım x kare d,

y nin x e göre ikinci dereceden türevinin karesi,eşittir

x in sinüsü,ve bunun birde karesini alsaydım

Şimdi birdenbire doğrusal olmayan bir

diferansiyel denklemimiz olur.

Bu doğrusal değil.

Bu doğrusal.

Çünkü karesini aldım.y nin x e göre ikinci dereceden türevini

kendisi ile çarptım.

Bir başka doğrusal olmayan denklem örneği eğer şöyle dersem

çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi

eşittir x in sinüsü.

Bu da doğrusal değil çünkü bir fonksiyonu onun

ikinci dereceden türevi ile çarptım.

Bakın burda da birşeyi ikinci dereceden türevi ile çarptım

fakat bu çarptığım bağımsız değişken

x idi.

Neyse zamanım doldu ama ümit ederim ki

bu size diferansiyel denklemler hakkında genel bir

izlenim vermiştir.

Bir sonraki videoda denklemleri çözmeye başlayacağız.

Yakında görüşmek üzere