Ilk videomuza hoşgeldiniz.Bu diferansiyel denklemleri anlatan
video listesinin gerçekten ilk videosu.
Daha önce sizinle harmonik hareketi işlerken bu konuya
değindiğimi hatırlıyorum.Zannedersem başka bazı konularda
da değinmiş olabilirim.
Fakat şimdi sizden gelen istek üzerıne bu konuda
bütün bir liste işleyeceğiz.
Ve bu da sizin yararınıza olacak.neden mi?Çünkü diferansiyel
denklemler birçok değişik alanda
karşımıza çıkabilir.
Ben bu konuda ekonomi doktorası yapacak birisinden
talep aldım.Fizik konusunda eğitim görecek
ya da mühendislik okuyacaklar da
istekde bulundu.
Bu nedenle geniş bir uygulama alanı olan bır konu.
Daha başka luzumsuz konulara dalmadan
başlayalım.
Eveeet.Diferansiyel denklemler.
İlk sorumuz şu olacak: Diferansiyel denklem nedir?
Denklem nedir biliyorsunuz.
Diferansiyel denklem nedir?
Şimdiii diferansiyel denklem demek bilinmeyen bir fonksiyon
ve onun türevlerini kapsayan denklem demektir.
Şimdi bununla ne demek istiyorum?
Şimdi farzedelim ki y üstü(y') artı y eşittir
x artı 3.
Burda bilinmeyen fonksiyon y dir.
Bunu y(x) xin ydeki değeri ya da
dydx, ynin x'e göre türevi artı
bu bilinmeyen fonksiyon y eşittir x artı 3.
biz bu denklemi x'in f üstündeki değeri artı x'in f'deki değeri
eşittir x artı 3.
Bunların hepsi aynı şeyi ifade eden
geçerli denklemlerdir.
Burda enteresan olan şu ki bu konuda
normal denklemlerden ayrılırlar
size nasıl olduklarını hatırlatmak için bir normal
denklem yazayım
Normal bir denklem eğer tek değişkenli ise
şöyle bişidir.
Ne bileyim x kare artı kosinüs x eşittir
karekökü x.
Bunu şimdi uydurdum.
Burda cevap bir sayıdır ya da
sayılar kümesidir.
Bazen birden fazla cevap vardır dimi?
Eğer bir polinomnuz varsa birden fazla
x değeri bu denklemin çözümüdür.
burda diferansiyel denklemlerde çözüm
bir fonksiyondur.
Burdaki amacımız x'in hangi fonksiyonu ki burda
x'in f fonksiyonunu açık olarak yazdım,x'ın hangi fonksiyonu
bu denklemi ya da bu ilişkiyi doğrular.
Bununla ne demek istediğimi göstereyim.
Bende kolejden kalma diferansiyel denklemler kitabı var
konuyu işlerken onu kullanacağım.
Eveeet,şöle diyelim şimdi yazıyorum
Bakın böyle bir diferansiyel denklem var
Ama size nasıl çözüleceklerini daha göstermicem
çünkü bazı püf noktalarını öğrenmeniz gerek önce.
Bu noktada başlamanın iyi olduğunu düşünüyorum ki böylece
diferansiyel denklemlerin ne olduğunu anlar ve
geleneksel denklemlerle karıştırmazsınız.
Evet şimdi ellerinde y üstü üstünün diferansiyeli(?türevi)
var.
Şimdiii y'nin x'e göre ikinci türevi artı
iki çarpı y 'nin x'e göre birinci türevi eksi üç y
eşittir sıfır.
Ve bize çözümleri de veriyorlar.Bizden yapmamızı istediklerı
bu çözümlerin doğruluğunu kanıtlamamızdır.
Bence bu nokta diferansiyel denklem ne demek ve çözümü
ne demek anlayabileceğimiz iyi bir
noktadır.
Eveet ynin ılk değeri e üzeri eksi üç x miş.
Bunun denklemin çözümü olduğunu
söylüyorlar.
Ben de size bunun doğru olduğunu göstericem.
Eveet şimdi y1 y neydi eveet şimdi
sadece y1 yazayım.
y1 üstü nedir?
Bunun türevi nedir?
Şimdii gelin zincir kuralını uygulayalım.
tüm fonsiyonun bu kısma göre türevi
sadece e üzeri eksi üç x dir.
Sonra iç kısmın türevini alıyorsun.
Dış kısmın türevi e üzeri
eksi üç x.
Vee iç kısmın türevi eksi üç tür.
Veee y1 in ikinci dereceden türevi eşittir sadecebunun
türevini alıcaz ve bu eşittir artı
dokuz eksi üç çarpı eksi üç e üzeri eksi üç x.
Şimdi y1 ve türevlerini bu
diferansiyel denkleme yerleştirirsek, eşitlik olacağını
göreceğiz.
y üstü üstü bu.
Böylece elimizde olan dokuz e üzeri eksi üç x artı iki y üstü
artı iki çarpı y üstü.
Evet bu y üstü
Böylece iki kere eksi üç e üzeri eksi üç x artı oh özür dilerim
eksi üç çarpı y.
Eveeet,y budur.
Eksi üç kere e üzeri eksi üç x.
Güzeeel şimdi bu neye eşittir?
Dokuz e üzeri eksi üç x eksi 6 e üzeri eksi üç x
eksi üç e üzeri eksi üç x.
Tamam.Şimdi bu neye eşittir?
Elimizde bir şeyden dokuz tane eksi altı tane
eksi üç tane var.
Bu eşittir sıfır.
Neyin sıfırı olduğu mühim değil.
Evet sıfıra eşittir.
Böylece bu diferansiyel denklem için y1 eşittir e üzeri eksi üç x
bir çözümdür.
Şimdi burda enteresan bir durum var ki
biz buna normal denklemlerde de değinmiştik
bu yegane çözüm olmayabilir.
Aslında bir kaç video sonra görücez ki genellikle
çözüm tek bi fonksiyon olmayabilir.
Çözüm bir fonksiyonlar sınıfı olabilir ki
bunlar hemen hemen aynı fonksiyonlar olup
sabitleri farklıdır.
Size bunu bi saniye içinde göstericem.
Fakat burda bize bir çözüm daha veriyorlar,bu denkleme
uygun olan,
x in y2 değeri sadece
e üzeri x'e eşittir.
Biz de bunu ispat edebiliriz dimi?
e üzeri x'in birinci ve ikinci dereceden türevleri nedir?
Sadece e üst'dir.ü x
Ve y2 nin ikinci dereceden türevi eşittir e üzeri x artı
iki çarpı birinci dereceden türev neye eşittir?
e üzeri x in birinci dereceden türevi hala e üzeri xdir,
iki e üzeri x ,eksi üç çarpı bir fonksiyon.
Eksi üç e üzeri x.
Eveeet bir artı iki eksi üç ,bu da eşittir sıfır.
Bu da denklemin bir çözümüymüş demekki.
Şimdi devam etmeden önce ,bir sonraki örnekte size bazı
karmaşık olmayan diferansiyel denklemler i çözmeniz için
vereceğim.
Bunun iyi bir zamanlama olduğunu düşünüyorum.Ümit ederim ki şimdiye kadar
diferansiyel denklemler ve çö zümleri hakkında
bir fikriniz olmuştur.
Veee çözüm bir sayı değildir,çözüm bir fonksiyondur
yada fonksiyonlar kümesidir
ya da bir fonksiyon sınıfıdır.
Biraz da terminolojiyi tekrar etmenin tam
zamanıdır.
Şimdiii iki büyük sınıf var.
Aslında ilk bir tane büyük grup var,adi ve kısmi
diferansiyel denklemler.
Bunun ne demek olduğunu tahmin edersiniz sanırım.
Adi differansiyel denklem benim y azdığım gibidir.
Bir değişkene göre başka bir değişken,ya da
bir değişken x ve onun türevlerine göre bir fonksiyon.
Kısmi diferansiyel denklemlerden daha sonra bahsedeceğiz.
Onlar daha karmaşık.
Onlarda bir fonksiyon birden fazla değişkenin
fonksiyonu olabilir.
Ve x'e göre y'ye göre ve z'ye göre türev
almanız gerekebilir.
Şimdilik bunları kafaya takmayacağız.
Eğer fonksiyonlarınız ve onların türevleri sadece
tek değişkenin fonksiyonu ise elimizdeki
adi diferansiyel denklemdir
Biz burda adi diferansiyel denklemleri
işleyeceğiz.
Adi diferansiyel denklemleri iki
şekilde sınıflandırabiliriz ki
bunlar biraz da kesişmektedir.
Derecemiz var,evet benim diferansiyel denklemimin
derecesi nedir?
Bi de linear olup olmadığı
var.
Bunu anlatmanın en iyi yolu bazı
örnekler yazmaktır.
Bir tane yazalım bakalım.
Bu örneği yine kolejdeki
kitabımdan alıcam.
x kare çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi,
artı x çarpı ynin x e göre birinci dereceden türevi,
artı iki y eşittir x in sinüsü.
Şimdi ilk sorumuz :Derece nedir?
Denklemin derecesi denklemde yer alan türevlerden
en yüksek dereceli olanın derecesidir.
Yazdığımız denklemdeki en yüksek türev
derecesini arıyoruz di mi
Ç özüm bu denkleme uyan bir x e bağlı
y fonksiyonudur.
Derece de o fonsiyonun en yüksek türev derecesidir.
Bu örnekte en yüksek dereceli türev ikinci derecedir.
Bu nedenle denklemin derecesi de ikidir.
Biz bu denkleme ikinci dereceden adi diferansiyel denklem
diyebiliriz.
İkinci olarak yapacağımız bu denklem doğrusal mı
değil mi bulmak.
Eveet,bir diferansiyel denklemin doğrusal olması demek
tüm fonksiyonlarının ve türevlerinin doğrusal olması
demektir.Daha iyi bir kelime maalesef yok.
Bu ne demek?
Demek istediğim bir y kare ok,ya da dy bölü dx in karesi
ya da y çarpı
y nin ikinci dereceden türevi.
Burda yazdığım örneğe bakalım.Bu ikinci dereceden
doğrusal bir denklem çünkü ikinci dereceden türev ,birinci
dereceden türev ve var ama bunlar fonksiyonla veya onun
türevleri ile çarpılmamış.
Eğer bu denklem şöyle olsaydı eğer şöyle yazsaydım x kare d,
y nin x e göre ikinci dereceden türevinin karesi,eşittir
x in sinüsü,ve bunun birde karesini alsaydım
Şimdi birdenbire doğrusal olmayan bir
diferansiyel denklemimiz olur.
Bu doğrusal değil.
Bu doğrusal.
Çünkü karesini aldım.y nin x e göre ikinci dereceden türevini
kendisi ile çarptım.
Bir başka doğrusal olmayan denklem örneği eğer şöyle dersem
çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi
eşittir x in sinüsü.
Bu da doğrusal değil çünkü bir fonksiyonu onun
ikinci dereceden türevi ile çarptım.
Bakın burda da birşeyi ikinci dereceden türevi ile çarptım
fakat bu çarptığım bağımsız değişken
x idi.
Neyse zamanım doldu ama ümit ederim ki
bu size diferansiyel denklemler hakkında genel bir
izlenim vermiştir.
Bir sonraki videoda denklemleri çözmeye başlayacağız.
Yakında görüşmek üzere