WEBVTT

00:00:01.380 --> 00:00:04.170
Ilk videomuza hoşgeldiniz.Bu diferansiyel denklemleri anlatan

00:00:04.170 --> 00:00:06.800
video listesinin gerçekten ilk videosu.

00:00:06.800 --> 00:00:09.810
Daha önce sizinle harmonik hareketi işlerken bu konuya

00:00:09.810 --> 00:00:11.170
değindiğimi hatırlıyorum.Zannedersem başka bazı konularda

00:00:11.170 --> 00:00:12.450
da değinmiş olabilirim.

00:00:12.450 --> 00:00:16.400
Fakat şimdi sizden gelen istek üzerıne bu konuda

00:00:16.400 --> 00:00:17.180
bütün bir liste işleyeceğiz.

00:00:17.180 --> 00:00:20.490
Ve bu da sizin yararınıza olacak.neden mi?Çünkü diferansiyel

00:00:20.490 --> 00:00:26.730
denklemler birçok değişik alanda

00:00:26.730 --> 00:00:27.660
karşımıza çıkabilir.

00:00:27.660 --> 00:00:30.490
Ben bu konuda ekonomi doktorası yapacak birisinden

00:00:30.490 --> 00:00:33.050
talep aldım.Fizik konusunda eğitim görecek

00:00:33.050 --> 00:00:35.660
ya da mühendislik okuyacaklar da

00:00:35.660 --> 00:00:36.180
istekde bulundu.

00:00:36.180 --> 00:00:40.300
Bu nedenle geniş bir uygulama alanı olan bır konu.

00:00:40.300 --> 00:00:43.350
Daha başka luzumsuz konulara dalmadan

00:00:43.350 --> 00:00:44.080
başlayalım.

00:00:44.080 --> 00:00:45.130
Eveeet.Diferansiyel denklemler.

00:00:45.130 --> 00:00:48.370
İlk sorumuz şu olacak: Diferansiyel denklem nedir?

00:00:48.370 --> 00:00:49.730
Denklem nedir biliyorsunuz.

00:00:49.730 --> 00:00:51.740
Diferansiyel denklem nedir?

00:00:51.740 --> 00:00:55.670
Şimdiii diferansiyel denklem demek bilinmeyen bir fonksiyon

00:00:55.670 --> 00:00:57.680
ve onun türevlerini kapsayan denklem demektir.

00:00:57.680 --> 00:00:58.590
Şimdi bununla ne demek istiyorum?

00:00:58.590 --> 00:01:10.290
Şimdi farzedelim ki y üstü(y') artı y eşittir

00:01:10.290 --> 00:01:13.180
x artı 3.

00:01:13.180 --> 00:01:15.010
Burda bilinmeyen fonksiyon y dir.

00:01:15.010 --> 00:01:18.430
Bunu y(x) xin ydeki değeri ya da

00:01:18.430 --> 00:01:25.100
dydx, ynin x'e göre türevi artı

00:01:25.100 --> 00:01:29.010
bu bilinmeyen fonksiyon y eşittir x artı 3.

00:01:29.010 --> 00:01:35.440
biz bu denklemi x'in f üstündeki değeri artı x'in f'deki değeri

00:01:35.440 --> 00:01:37.170
eşittir x artı 3.

00:01:37.170 --> 00:01:39.850
Bunların hepsi aynı şeyi ifade eden

00:01:39.850 --> 00:01:42.080
geçerli denklemlerdir.

00:01:42.080 --> 00:01:46.100
Burda enteresan olan şu ki bu konuda

00:01:46.100 --> 00:01:48.890
normal denklemlerden ayrılırlar

00:01:48.890 --> 00:01:51.020
size nasıl olduklarını hatırlatmak için bir normal

00:01:51.020 --> 00:01:52.500
denklem yazayım

00:01:52.500 --> 00:01:55.050
Normal bir denklem eğer tek değişkenli ise

00:01:55.050 --> 00:01:56.310
şöyle bişidir.

00:01:56.310 --> 00:02:02.480
Ne bileyim x kare artı kosinüs x eşittir

00:02:02.480 --> 00:02:03.570
karekökü x.

00:02:03.570 --> 00:02:04.970
Bunu şimdi uydurdum.

00:02:04.970 --> 00:02:08.110
Burda cevap bir sayıdır ya da

00:02:08.110 --> 00:02:08.770
sayılar kümesidir.

00:02:08.770 --> 00:02:10.030
Bazen birden fazla cevap vardır dimi?

00:02:10.030 --> 00:02:11.760
Eğer bir polinomnuz varsa birden fazla

00:02:11.760 --> 00:02:15.260
x değeri bu denklemin çözümüdür.

00:02:15.260 --> 00:02:17.870
burda diferansiyel denklemlerde çözüm

00:02:17.870 --> 00:02:20.290
bir fonksiyondur.

00:02:20.290 --> 00:02:24.600
Burdaki amacımız x'in hangi fonksiyonu ki burda

00:02:24.600 --> 00:02:28.400
x'in f fonksiyonunu açık olarak yazdım,x'ın hangi fonksiyonu

00:02:28.400 --> 00:02:32.980
bu denklemi ya da bu ilişkiyi doğrular.

00:02:32.980 --> 00:02:34.680
Bununla ne demek istediğimi göstereyim.

00:02:34.680 --> 00:02:38.380
Bende kolejden kalma diferansiyel denklemler kitabı var

00:02:38.380 --> 00:02:41.310
konuyu işlerken onu kullanacağım.

00:02:41.310 --> 00:02:44.290
Eveeet,şöle diyelim şimdi yazıyorum

00:02:44.290 --> 00:02:48.120
Bakın böyle bir diferansiyel denklem var

00:02:48.120 --> 00:02:50.710
Ama size nasıl çözüleceklerini daha göstermicem

00:02:50.710 --> 00:02:53.890
çünkü bazı püf noktalarını öğrenmeniz gerek önce.

00:02:53.890 --> 00:02:56.650
Bu noktada başlamanın iyi olduğunu düşünüyorum ki böylece

00:02:56.650 --> 00:02:59.620
diferansiyel denklemlerin ne olduğunu anlar ve

00:02:59.620 --> 00:03:01.460
geleneksel denklemlerle karıştırmazsınız.

00:03:01.460 --> 00:03:03.900
Evet şimdi ellerinde y üstü üstünün diferansiyeli(?türevi)

00:03:03.900 --> 00:03:06.050
var.

00:03:06.050 --> 00:03:10.280
Şimdiii y'nin x'e göre ikinci türevi artı

00:03:10.280 --> 00:03:16.090
iki çarpı y 'nin x'e göre birinci türevi eksi üç y

00:03:16.090 --> 00:03:17.910
eşittir sıfır.

00:03:17.910 --> 00:03:20.990
Ve bize çözümleri de veriyorlar.Bizden yapmamızı istediklerı

00:03:20.990 --> 00:03:22.210
bu çözümlerin doğruluğunu kanıtlamamızdır.

00:03:22.210 --> 00:03:24.020
Bence bu nokta diferansiyel denklem ne demek ve çözümü

00:03:24.020 --> 00:03:26.930
ne demek anlayabileceğimiz iyi bir

00:03:26.930 --> 00:03:27.970
noktadır.

00:03:27.970 --> 00:03:34.000
Eveet ynin ılk değeri e üzeri eksi üç x miş.

00:03:34.000 --> 00:03:36.310
Bunun denklemin çözümü olduğunu

00:03:36.310 --> 00:03:37.040
söylüyorlar.

00:03:37.040 --> 00:03:39.170
Ben de size bunun doğru olduğunu göstericem.

00:03:39.170 --> 00:03:44.590
Eveet şimdi y1 y neydi eveet şimdi

00:03:44.590 --> 00:03:45.570
sadece y1 yazayım.

00:03:45.570 --> 00:03:47.080
y1 üstü nedir?

00:03:47.080 --> 00:03:49.010
Bunun türevi nedir?

00:03:49.010 --> 00:03:50.690
Şimdii gelin zincir kuralını uygulayalım.

00:03:50.690 --> 00:03:55.180
tüm fonsiyonun bu kısma göre türevi

00:03:55.180 --> 00:03:58.420
sadece e üzeri eksi üç x dir.

00:03:58.420 --> 00:04:00.350
Sonra iç kısmın türevini alıyorsun.

00:04:00.350 --> 00:04:02.080
Dış kısmın türevi e üzeri

00:04:02.080 --> 00:04:02.550
eksi üç x.

00:04:02.550 --> 00:04:08.160
Vee iç kısmın türevi eksi üç tür.

00:04:08.160 --> 00:04:13.020
Veee y1 in ikinci dereceden türevi eşittir sadecebunun

00:04:13.020 --> 00:04:15.190
türevini alıcaz ve bu eşittir artı

00:04:15.190 --> 00:04:19.100
dokuz eksi üç çarpı eksi üç e üzeri eksi üç x.

00:04:19.100 --> 00:04:24.060
Şimdi y1 ve türevlerini bu

00:04:24.060 --> 00:04:27.930
diferansiyel denkleme yerleştirirsek, eşitlik olacağını

00:04:27.930 --> 00:04:28.520
göreceğiz.

00:04:28.520 --> 00:04:30.730
y üstü üstü bu.

00:04:30.730 --> 00:04:39.130
Böylece elimizde olan dokuz e üzeri eksi üç x artı iki y üstü

00:04:39.130 --> 00:04:41.110
artı iki çarpı y üstü.

00:04:41.110 --> 00:04:42.620
Evet bu y üstü

00:04:42.620 --> 00:04:49.810
Böylece iki kere eksi üç e üzeri eksi üç x artı oh özür dilerim

00:04:49.810 --> 00:04:52.010
eksi üç çarpı y.

00:04:52.010 --> 00:04:53.430
Eveeet,y budur.

00:04:53.430 --> 00:04:58.440
Eksi üç kere e üzeri eksi üç x.

00:04:58.440 --> 00:05:00.440
Güzeeel şimdi bu neye eşittir?

00:05:00.440 --> 00:05:09.260
Dokuz e üzeri eksi üç x eksi 6 e üzeri eksi üç x

00:05:09.260 --> 00:05:11.670
eksi üç e üzeri eksi üç x.

00:05:11.670 --> 00:05:12.980
Tamam.Şimdi bu neye eşittir?

00:05:12.980 --> 00:05:15.160
Elimizde bir şeyden dokuz tane eksi altı tane

00:05:15.160 --> 00:05:16.290
eksi üç tane var.

00:05:16.290 --> 00:05:17.460
Bu eşittir sıfır.

00:05:17.460 --> 00:05:19.550
Neyin sıfırı olduğu mühim değil.

00:05:19.550 --> 00:05:21.140
Evet sıfıra eşittir.

00:05:21.140 --> 00:05:26.780
Böylece bu diferansiyel denklem için y1 eşittir e üzeri eksi üç x

00:05:26.780 --> 00:05:30.870
bir çözümdür.

00:05:30.870 --> 00:05:33.080
Şimdi burda enteresan bir durum var ki

00:05:33.080 --> 00:05:35.340
biz buna normal denklemlerde de değinmiştik

00:05:35.340 --> 00:05:38.320
bu yegane çözüm olmayabilir.

00:05:38.320 --> 00:05:42.520
Aslında bir kaç video sonra görücez ki genellikle

00:05:42.520 --> 00:05:43.760
çözüm tek bi fonksiyon olmayabilir.

00:05:43.760 --> 00:05:46.210
Çözüm bir fonksiyonlar sınıfı olabilir ki

00:05:46.210 --> 00:05:49.900
bunlar hemen hemen aynı fonksiyonlar olup

00:05:49.900 --> 00:05:50.980
sabitleri farklıdır.

00:05:50.980 --> 00:05:52.200
Size bunu bi saniye içinde göstericem.

00:05:52.200 --> 00:05:53.850
Fakat burda bize bir çözüm daha veriyorlar,bu denkleme

00:05:53.850 --> 00:05:57.960
uygun olan,

00:05:57.960 --> 00:06:03.800
x in y2 değeri sadece

00:06:03.800 --> 00:06:06.020
e üzeri x'e eşittir.

00:06:06.020 --> 00:06:07.550
Biz de bunu ispat edebiliriz dimi?

00:06:07.550 --> 00:06:09.900
e üzeri x'in birinci ve ikinci dereceden türevleri nedir?

00:06:09.900 --> 00:06:11.470
Sadece e üst'dir.ü x

00:06:11.470 --> 00:06:16.270
Ve y2 nin ikinci dereceden türevi eşittir e üzeri x artı

00:06:16.270 --> 00:06:22.730
iki çarpı birinci dereceden türev neye eşittir?

00:06:22.730 --> 00:06:24.710
e üzeri x in birinci dereceden türevi hala e üzeri xdir,

00:06:24.710 --> 00:06:27.970
iki e üzeri x ,eksi üç çarpı bir fonksiyon.

00:06:27.970 --> 00:06:30.320
Eksi üç e üzeri x.

00:06:30.320 --> 00:06:34.010
Eveeet bir artı iki eksi üç ,bu da eşittir sıfır.

00:06:34.010 --> 00:06:41.690
Bu da denklemin bir çözümüymüş demekki.

00:06:41.690 --> 00:06:44.510
Şimdi devam etmeden önce ,bir sonraki örnekte size bazı

00:06:44.510 --> 00:06:45.920
karmaşık olmayan diferansiyel denklemler i çözmeniz için

00:06:45.920 --> 00:06:48.650
vereceğim.

00:06:48.650 --> 00:06:50.860
Bunun iyi bir zamanlama olduğunu düşünüyorum.Ümit ederim ki şimdiye kadar

00:06:50.860 --> 00:06:54.570
diferansiyel denklemler ve çö zümleri hakkında

00:06:54.570 --> 00:06:55.370
bir fikriniz olmuştur.

00:06:55.370 --> 00:06:57.610
Veee çözüm bir sayı değildir,çözüm bir fonksiyondur

00:06:57.610 --> 00:06:59.760
yada fonksiyonlar kümesidir

00:06:59.760 --> 00:07:01.380
ya da bir fonksiyon sınıfıdır.

00:07:01.380 --> 00:07:02.820
Biraz da terminolojiyi tekrar etmenin tam

00:07:02.820 --> 00:07:04.100
zamanıdır.

00:07:04.100 --> 00:07:06.820
Şimdiii iki büyük sınıf var.

00:07:06.820 --> 00:07:09.580
Aslında ilk bir tane büyük grup var,adi ve kısmi

00:07:09.580 --> 00:07:10.900
diferansiyel denklemler.

00:07:10.900 --> 00:07:12.590
Bunun ne demek olduğunu tahmin edersiniz sanırım.

00:07:12.590 --> 00:07:15.290
Adi differansiyel denklem benim y azdığım gibidir.

00:07:15.290 --> 00:07:19.550
Bir değişkene göre başka bir değişken,ya da

00:07:19.550 --> 00:07:21.990
bir değişken x ve onun türevlerine göre bir fonksiyon.

00:07:21.990 --> 00:07:24.350
Kısmi diferansiyel denklemlerden daha sonra bahsedeceğiz.

00:07:24.350 --> 00:07:25.190
Onlar daha karmaşık.

00:07:25.190 --> 00:07:27.700
Onlarda bir fonksiyon birden fazla değişkenin

00:07:27.700 --> 00:07:28.740
fonksiyonu olabilir.

00:07:28.740 --> 00:07:31.120
Ve x'e göre y'ye göre ve z'ye göre türev

00:07:31.120 --> 00:07:31.950
almanız gerekebilir.

00:07:31.950 --> 00:07:33.570
Şimdilik bunları kafaya takmayacağız.

00:07:33.570 --> 00:07:36.570
Eğer fonksiyonlarınız ve onların türevleri sadece

00:07:36.570 --> 00:07:38.630
tek değişkenin fonksiyonu ise elimizdeki

00:07:38.630 --> 00:07:39.490
adi diferansiyel denklemdir

00:07:39.490 --> 00:07:44.730
Biz burda adi diferansiyel denklemleri

00:07:44.730 --> 00:07:50.230
işleyeceğiz.

00:07:50.230 --> 00:07:53.620
Adi diferansiyel denklemleri iki

00:07:53.620 --> 00:07:55.710
şekilde sınıflandırabiliriz ki

00:07:55.710 --> 00:07:57.280
bunlar biraz da kesişmektedir.

00:07:57.280 --> 00:08:00.300
Derecemiz var,evet benim diferansiyel denklemimin

00:08:00.300 --> 00:08:01.180
derecesi nedir?

00:08:01.180 --> 00:08:05.820
Bi de linear olup olmadığı

00:08:05.820 --> 00:08:08.100
var.

00:08:08.100 --> 00:08:10.640
Bunu anlatmanın en iyi yolu bazı

00:08:10.640 --> 00:08:12.250
örnekler yazmaktır.

00:08:12.250 --> 00:08:15.735
Bir tane yazalım bakalım.

00:08:15.735 --> 00:08:17.760
Bu örneği yine kolejdeki

00:08:17.760 --> 00:08:20.060
kitabımdan alıcam.

00:08:20.060 --> 00:08:26.050
x kare çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi,

00:08:26.050 --> 00:08:33.189
artı x çarpı ynin x e göre birinci dereceden türevi,

00:08:33.189 --> 00:08:40.720
artı iki y eşittir x in sinüsü.

00:08:40.720 --> 00:08:43.250
Şimdi ilk sorumuz :Derece nedir?

00:08:43.250 --> 00:08:47.270
Denklemin derecesi denklemde yer alan türevlerden

00:08:47.270 --> 00:08:48.600
en yüksek dereceli olanın derecesidir.

00:08:48.600 --> 00:08:50.360
Yazdığımız denklemdeki en yüksek türev

00:08:50.360 --> 00:08:51.150
derecesini arıyoruz di mi

00:08:51.150 --> 00:08:55.650
Ç özüm bu denkleme uyan bir x e bağlı

00:08:55.650 --> 00:08:56.880
y fonksiyonudur.

00:08:56.880 --> 00:08:59.750
Derece de o fonsiyonun en yüksek türev derecesidir.

00:08:59.750 --> 00:09:04.080
Bu örnekte en yüksek dereceli türev ikinci derecedir.

00:09:04.080 --> 00:09:05.500
Bu nedenle denklemin derecesi de ikidir.

00:09:08.860 --> 00:09:11.960
Biz bu denkleme ikinci dereceden adi diferansiyel denklem

00:09:11.960 --> 00:09:13.360
diyebiliriz.

00:09:13.360 --> 00:09:15.780
İkinci olarak yapacağımız bu denklem doğrusal mı

00:09:15.780 --> 00:09:18.640
değil mi bulmak.

00:09:18.640 --> 00:09:23.600
Eveet,bir diferansiyel denklemin doğrusal olması demek

00:09:23.600 --> 00:09:28.480
tüm fonksiyonlarının ve türevlerinin doğrusal olması

00:09:28.480 --> 00:09:29.110
demektir.Daha iyi bir kelime maalesef yok.

00:09:29.110 --> 00:09:29.830
Bu ne demek?

00:09:29.830 --> 00:09:32.510
Demek istediğim bir y kare ok,ya da dy bölü dx in karesi

00:09:32.510 --> 00:09:36.750
ya da y çarpı

00:09:36.750 --> 00:09:38.080
y nin ikinci dereceden türevi.

00:09:38.080 --> 00:09:43.100
Burda yazdığım örneğe bakalım.Bu ikinci dereceden

00:09:43.100 --> 00:09:46.530
doğrusal bir denklem çünkü ikinci dereceden türev ,birinci

00:09:46.530 --> 00:09:49.580
dereceden türev ve var ama bunlar fonksiyonla veya onun

00:09:49.580 --> 00:09:50.910
türevleri ile çarpılmamış.

00:09:50.910 --> 00:09:59.600
Eğer bu denklem şöyle olsaydı eğer şöyle yazsaydım x kare d,

00:09:59.600 --> 00:10:06.260
y nin x e göre ikinci dereceden türevinin karesi,eşittir

00:10:06.260 --> 00:10:11.470
x in sinüsü,ve bunun birde karesini alsaydım

00:10:11.470 --> 00:10:13.660
Şimdi birdenbire doğrusal olmayan bir

00:10:13.660 --> 00:10:14.690
diferansiyel denklemimiz olur.

00:10:14.690 --> 00:10:15.860
Bu doğrusal değil.

00:10:15.860 --> 00:10:17.030
Bu doğrusal.

00:10:17.030 --> 00:10:21.190
Çünkü karesini aldım.y nin x e göre ikinci dereceden türevini

00:10:21.190 --> 00:10:25.410
kendisi ile çarptım.

00:10:25.410 --> 00:10:27.740
Bir başka doğrusal olmayan denklem örneği eğer şöyle dersem

00:10:27.740 --> 00:10:35.230
çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi

00:10:35.230 --> 00:10:38.390
eşittir x in sinüsü.

00:10:38.390 --> 00:10:41.800
Bu da doğrusal değil çünkü bir fonksiyonu onun

00:10:41.800 --> 00:10:44.140
ikinci dereceden türevi ile çarptım.

00:10:44.140 --> 00:10:46.340
Bakın burda da birşeyi ikinci dereceden türevi ile çarptım

00:10:46.340 --> 00:10:49.010
fakat bu çarptığım bağımsız değişken

00:10:49.010 --> 00:10:50.200
x idi.

00:10:50.200 --> 00:10:52.690
Neyse zamanım doldu ama ümit ederim ki

00:10:52.690 --> 00:10:54.690
bu size diferansiyel denklemler hakkında genel bir

00:10:54.690 --> 00:10:56.270
izlenim vermiştir.

00:10:56.270 --> 00:10:59.840
Bir sonraki videoda denklemleri çözmeye başlayacağız.

00:10:59.840 --> 00:11:01.090
Yakında görüşmek üzere