1
00:00:01,380 --> 00:00:04,170
Ilk videomuza hoşgeldiniz.Bu diferansiyel denklemleri anlatan

2
00:00:04,170 --> 00:00:06,800
video listesinin gerçekten ilk videosu.

3
00:00:06,800 --> 00:00:09,810
Daha önce sizinle harmonik hareketi işlerken bu konuya

4
00:00:09,810 --> 00:00:11,170
değindiğimi hatırlıyorum.Zannedersem başka bazı konularda

5
00:00:11,170 --> 00:00:12,450
da değinmiş olabilirim.

6
00:00:12,450 --> 00:00:16,400
Fakat şimdi sizden gelen istek üzerıne bu konuda

7
00:00:16,400 --> 00:00:17,180
bütün bir liste işleyeceğiz.

8
00:00:17,180 --> 00:00:20,490
Ve bu da sizin yararınıza olacak.neden mi?Çünkü diferansiyel

9
00:00:20,490 --> 00:00:26,730
denklemler birçok değişik alanda

10
00:00:26,730 --> 00:00:27,660
karşımıza çıkabilir.

11
00:00:27,660 --> 00:00:30,490
Ben bu konuda ekonomi doktorası yapacak birisinden

12
00:00:30,490 --> 00:00:33,050
talep aldım.Fizik konusunda eğitim görecek

13
00:00:33,050 --> 00:00:35,660
ya da mühendislik okuyacaklar da

14
00:00:35,660 --> 00:00:36,180
istekde bulundu.

15
00:00:36,180 --> 00:00:40,300
Bu nedenle geniş bir uygulama alanı olan bır konu.

16
00:00:40,300 --> 00:00:43,350
Daha başka luzumsuz konulara dalmadan

17
00:00:43,350 --> 00:00:44,080
başlayalım.

18
00:00:44,080 --> 00:00:45,130
Eveeet.Diferansiyel denklemler.

19
00:00:45,130 --> 00:00:48,370
İlk sorumuz şu olacak: Diferansiyel denklem nedir?

20
00:00:48,370 --> 00:00:49,730
Denklem nedir biliyorsunuz.

21
00:00:49,730 --> 00:00:51,740
Diferansiyel denklem nedir?

22
00:00:51,740 --> 00:00:55,670
Şimdiii diferansiyel denklem demek bilinmeyen bir fonksiyon

23
00:00:55,670 --> 00:00:57,680
ve onun türevlerini kapsayan denklem demektir.

24
00:00:57,680 --> 00:00:58,590
Şimdi bununla ne demek istiyorum?

25
00:00:58,590 --> 00:01:10,290
Şimdi farzedelim ki y üstü(y') artı y eşittir

26
00:01:10,290 --> 00:01:13,180
x artı 3.

27
00:01:13,180 --> 00:01:15,010
Burda bilinmeyen fonksiyon y dir.

28
00:01:15,010 --> 00:01:18,430
Bunu y(x) xin ydeki değeri ya da

29
00:01:18,430 --> 00:01:25,100
dydx, ynin x'e göre türevi artı

30
00:01:25,100 --> 00:01:29,010
bu bilinmeyen fonksiyon y eşittir x artı 3.

31
00:01:29,010 --> 00:01:35,440
biz bu denklemi x'in f üstündeki değeri artı x'in f'deki değeri

32
00:01:35,440 --> 00:01:37,170
eşittir x artı 3.

33
00:01:37,170 --> 00:01:39,850
Bunların hepsi aynı şeyi ifade eden

34
00:01:39,850 --> 00:01:42,080
geçerli denklemlerdir.

35
00:01:42,080 --> 00:01:46,100
Burda enteresan olan şu ki bu konuda

36
00:01:46,100 --> 00:01:48,890
normal denklemlerden ayrılırlar

37
00:01:48,890 --> 00:01:51,020
size nasıl olduklarını hatırlatmak için bir normal

38
00:01:51,020 --> 00:01:52,500
denklem yazayım

39
00:01:52,500 --> 00:01:55,050
Normal bir denklem eğer tek değişkenli ise

40
00:01:55,050 --> 00:01:56,310
şöyle bişidir.

41
00:01:56,310 --> 00:02:02,480
Ne bileyim x kare artı kosinüs x eşittir

42
00:02:02,480 --> 00:02:03,570
karekökü x.

43
00:02:03,570 --> 00:02:04,970
Bunu şimdi uydurdum.

44
00:02:04,970 --> 00:02:08,110
Burda cevap bir sayıdır ya da

45
00:02:08,110 --> 00:02:08,770
sayılar kümesidir.

46
00:02:08,770 --> 00:02:10,030
Bazen birden fazla cevap vardır dimi?

47
00:02:10,030 --> 00:02:11,760
Eğer bir polinomnuz varsa birden fazla

48
00:02:11,760 --> 00:02:15,260
x değeri bu denklemin çözümüdür.

49
00:02:15,260 --> 00:02:17,870
burda diferansiyel denklemlerde çözüm

50
00:02:17,870 --> 00:02:20,290
bir fonksiyondur.

51
00:02:20,290 --> 00:02:24,600
Burdaki amacımız x'in hangi fonksiyonu ki burda

52
00:02:24,600 --> 00:02:28,400
x'in f fonksiyonunu açık olarak yazdım,x'ın hangi fonksiyonu

53
00:02:28,400 --> 00:02:32,980
bu denklemi ya da bu ilişkiyi doğrular.

54
00:02:32,980 --> 00:02:34,680
Bununla ne demek istediğimi göstereyim.

55
00:02:34,680 --> 00:02:38,380
Bende kolejden kalma diferansiyel denklemler kitabı var

56
00:02:38,380 --> 00:02:41,310
konuyu işlerken onu kullanacağım.

57
00:02:41,310 --> 00:02:44,290
Eveeet,şöle diyelim şimdi yazıyorum

58
00:02:44,290 --> 00:02:48,120
Bakın böyle bir diferansiyel denklem var

59
00:02:48,120 --> 00:02:50,710
Ama size nasıl çözüleceklerini daha göstermicem

60
00:02:50,710 --> 00:02:53,890
çünkü bazı püf noktalarını öğrenmeniz gerek önce.

61
00:02:53,890 --> 00:02:56,650
Bu noktada başlamanın iyi olduğunu düşünüyorum ki böylece

62
00:02:56,650 --> 00:02:59,620
diferansiyel denklemlerin ne olduğunu anlar ve

63
00:02:59,620 --> 00:03:01,460
geleneksel denklemlerle karıştırmazsınız.

64
00:03:01,460 --> 00:03:03,900
Evet şimdi ellerinde y üstü üstünün diferansiyeli(?türevi)

65
00:03:03,900 --> 00:03:06,050
var.

66
00:03:06,050 --> 00:03:10,280
Şimdiii y'nin x'e göre ikinci türevi artı

67
00:03:10,280 --> 00:03:16,090
iki çarpı y 'nin x'e göre birinci türevi eksi üç y

68
00:03:16,090 --> 00:03:17,910
eşittir sıfır.

69
00:03:17,910 --> 00:03:20,990
Ve bize çözümleri de veriyorlar.Bizden yapmamızı istediklerı

70
00:03:20,990 --> 00:03:22,210
bu çözümlerin doğruluğunu kanıtlamamızdır.

71
00:03:22,210 --> 00:03:24,020
Bence bu nokta diferansiyel denklem ne demek ve çözümü

72
00:03:24,020 --> 00:03:26,930
ne demek anlayabileceğimiz iyi bir

73
00:03:26,930 --> 00:03:27,970
noktadır.

74
00:03:27,970 --> 00:03:34,000
Eveet ynin ılk değeri e üzeri eksi üç x miş.

75
00:03:34,000 --> 00:03:36,310
Bunun denklemin çözümü olduğunu

76
00:03:36,310 --> 00:03:37,040
söylüyorlar.

77
00:03:37,040 --> 00:03:39,170
Ben de size bunun doğru olduğunu göstericem.

78
00:03:39,170 --> 00:03:44,590
Eveet şimdi y1 y neydi eveet şimdi

79
00:03:44,590 --> 00:03:45,570
sadece y1 yazayım.

80
00:03:45,570 --> 00:03:47,080
y1 üstü nedir?

81
00:03:47,080 --> 00:03:49,010
Bunun türevi nedir?

82
00:03:49,010 --> 00:03:50,690
Şimdii gelin zincir kuralını uygulayalım.

83
00:03:50,690 --> 00:03:55,180
tüm fonsiyonun bu kısma göre türevi

84
00:03:55,180 --> 00:03:58,420
sadece e üzeri eksi üç x dir.

85
00:03:58,420 --> 00:04:00,350
Sonra iç kısmın türevini alıyorsun.

86
00:04:00,350 --> 00:04:02,080
Dış kısmın türevi e üzeri

87
00:04:02,080 --> 00:04:02,550
eksi üç x.

88
00:04:02,550 --> 00:04:08,160
Vee iç kısmın türevi eksi üç tür.

89
00:04:08,160 --> 00:04:13,020
Veee y1 in ikinci dereceden türevi eşittir sadecebunun

90
00:04:13,020 --> 00:04:15,190
türevini alıcaz ve bu eşittir artı

91
00:04:15,190 --> 00:04:19,100
dokuz eksi üç çarpı eksi üç e üzeri eksi üç x.

92
00:04:19,100 --> 00:04:24,060
Şimdi y1 ve türevlerini bu

93
00:04:24,060 --> 00:04:27,930
diferansiyel denkleme yerleştirirsek, eşitlik olacağını

94
00:04:27,930 --> 00:04:28,520
göreceğiz.

95
00:04:28,520 --> 00:04:30,730
y üstü üstü bu.

96
00:04:30,730 --> 00:04:39,130
Böylece elimizde olan dokuz e üzeri eksi üç x artı iki y üstü

97
00:04:39,130 --> 00:04:41,110
artı iki çarpı y üstü.

98
00:04:41,110 --> 00:04:42,620
Evet bu y üstü

99
00:04:42,620 --> 00:04:49,810
Böylece iki kere eksi üç e üzeri eksi üç x artı oh özür dilerim

100
00:04:49,810 --> 00:04:52,010
eksi üç çarpı y.

101
00:04:52,010 --> 00:04:53,430
Eveeet,y budur.

102
00:04:53,430 --> 00:04:58,440
Eksi üç kere e üzeri eksi üç x.

103
00:04:58,440 --> 00:05:00,440
Güzeeel şimdi bu neye eşittir?

104
00:05:00,440 --> 00:05:09,260
Dokuz e üzeri eksi üç x eksi 6 e üzeri eksi üç x

105
00:05:09,260 --> 00:05:11,670
eksi üç e üzeri eksi üç x.

106
00:05:11,670 --> 00:05:12,980
Tamam.Şimdi bu neye eşittir?

107
00:05:12,980 --> 00:05:15,160
Elimizde bir şeyden dokuz tane eksi altı tane

108
00:05:15,160 --> 00:05:16,290
eksi üç tane var.

109
00:05:16,290 --> 00:05:17,460
Bu eşittir sıfır.

110
00:05:17,460 --> 00:05:19,550
Neyin sıfırı olduğu mühim değil.

111
00:05:19,550 --> 00:05:21,140
Evet sıfıra eşittir.

112
00:05:21,140 --> 00:05:26,780
Böylece bu diferansiyel denklem için y1 eşittir e üzeri eksi üç x

113
00:05:26,780 --> 00:05:30,870
bir çözümdür.

114
00:05:30,870 --> 00:05:33,080
Şimdi burda enteresan bir durum var ki

115
00:05:33,080 --> 00:05:35,340
biz buna normal denklemlerde de değinmiştik

116
00:05:35,340 --> 00:05:38,320
bu yegane çözüm olmayabilir.

117
00:05:38,320 --> 00:05:42,520
Aslında bir kaç video sonra görücez ki genellikle

118
00:05:42,520 --> 00:05:43,760
çözüm tek bi fonksiyon olmayabilir.

119
00:05:43,760 --> 00:05:46,210
Çözüm bir fonksiyonlar sınıfı olabilir ki

120
00:05:46,210 --> 00:05:49,900
bunlar hemen hemen aynı fonksiyonlar olup

121
00:05:49,900 --> 00:05:50,980
sabitleri farklıdır.

122
00:05:50,980 --> 00:05:52,200
Size bunu bi saniye içinde göstericem.

123
00:05:52,200 --> 00:05:53,850
Fakat burda bize bir çözüm daha veriyorlar,bu denkleme

124
00:05:53,850 --> 00:05:57,960
uygun olan,

125
00:05:57,960 --> 00:06:03,800
x in y2 değeri sadece

126
00:06:03,800 --> 00:06:06,020
e üzeri x'e eşittir.

127
00:06:06,020 --> 00:06:07,550
Biz de bunu ispat edebiliriz dimi?

128
00:06:07,550 --> 00:06:09,900
e üzeri x'in birinci ve ikinci dereceden türevleri nedir?

129
00:06:09,900 --> 00:06:11,470
Sadece e üst'dir.ü x

130
00:06:11,470 --> 00:06:16,270
Ve y2 nin ikinci dereceden türevi eşittir e üzeri x artı

131
00:06:16,270 --> 00:06:22,730
iki çarpı birinci dereceden türev neye eşittir?

132
00:06:22,730 --> 00:06:24,710
e üzeri x in birinci dereceden türevi hala e üzeri xdir,

133
00:06:24,710 --> 00:06:27,970
iki e üzeri x ,eksi üç çarpı bir fonksiyon.

134
00:06:27,970 --> 00:06:30,320
Eksi üç e üzeri x.

135
00:06:30,320 --> 00:06:34,010
Eveeet bir artı iki eksi üç ,bu da eşittir sıfır.

136
00:06:34,010 --> 00:06:41,690
Bu da denklemin bir çözümüymüş demekki.

137
00:06:41,690 --> 00:06:44,510
Şimdi devam etmeden önce ,bir sonraki örnekte size bazı

138
00:06:44,510 --> 00:06:45,920
karmaşık olmayan diferansiyel denklemler i çözmeniz için

139
00:06:45,920 --> 00:06:48,650
vereceğim.

140
00:06:48,650 --> 00:06:50,860
Bunun iyi bir zamanlama olduğunu düşünüyorum.Ümit ederim ki şimdiye kadar

141
00:06:50,860 --> 00:06:54,570
diferansiyel denklemler ve çö zümleri hakkında

142
00:06:54,570 --> 00:06:55,370
bir fikriniz olmuştur.

143
00:06:55,370 --> 00:06:57,610
Veee çözüm bir sayı değildir,çözüm bir fonksiyondur

144
00:06:57,610 --> 00:06:59,760
yada fonksiyonlar kümesidir

145
00:06:59,760 --> 00:07:01,380
ya da bir fonksiyon sınıfıdır.

146
00:07:01,380 --> 00:07:02,820
Biraz da terminolojiyi tekrar etmenin tam

147
00:07:02,820 --> 00:07:04,100
zamanıdır.

148
00:07:04,100 --> 00:07:06,820
Şimdiii iki büyük sınıf var.

149
00:07:06,820 --> 00:07:09,580
Aslında ilk bir tane büyük grup var,adi ve kısmi

150
00:07:09,580 --> 00:07:10,900
diferansiyel denklemler.

151
00:07:10,900 --> 00:07:12,590
Bunun ne demek olduğunu tahmin edersiniz sanırım.

152
00:07:12,590 --> 00:07:15,290
Adi differansiyel denklem benim y azdığım gibidir.

153
00:07:15,290 --> 00:07:19,550
Bir değişkene göre başka bir değişken,ya da

154
00:07:19,550 --> 00:07:21,990
bir değişken x ve onun türevlerine göre bir fonksiyon.

155
00:07:21,990 --> 00:07:24,350
Kısmi diferansiyel denklemlerden daha sonra bahsedeceğiz.

156
00:07:24,350 --> 00:07:25,190
Onlar daha karmaşık.

157
00:07:25,190 --> 00:07:27,700
Onlarda bir fonksiyon birden fazla değişkenin

158
00:07:27,700 --> 00:07:28,740
fonksiyonu olabilir.

159
00:07:28,740 --> 00:07:31,120
Ve x'e göre y'ye göre ve z'ye göre türev

160
00:07:31,120 --> 00:07:31,950
almanız gerekebilir.

161
00:07:31,950 --> 00:07:33,570
Şimdilik bunları kafaya takmayacağız.

162
00:07:33,570 --> 00:07:36,570
Eğer fonksiyonlarınız ve onların türevleri sadece

163
00:07:36,570 --> 00:07:38,630
tek değişkenin fonksiyonu ise elimizdeki

164
00:07:38,630 --> 00:07:39,490
adi diferansiyel denklemdir

165
00:07:39,490 --> 00:07:44,730
Biz burda adi diferansiyel denklemleri

166
00:07:44,730 --> 00:07:50,230
işleyeceğiz.

167
00:07:50,230 --> 00:07:53,620
Adi diferansiyel denklemleri iki

168
00:07:53,620 --> 00:07:55,710
şekilde sınıflandırabiliriz ki

169
00:07:55,710 --> 00:07:57,280
bunlar biraz da kesişmektedir.

170
00:07:57,280 --> 00:08:00,300
Derecemiz var,evet benim diferansiyel denklemimin

171
00:08:00,300 --> 00:08:01,180
derecesi nedir?

172
00:08:01,180 --> 00:08:05,820
Bi de linear olup olmadığı

173
00:08:05,820 --> 00:08:08,100
var.

174
00:08:08,100 --> 00:08:10,640
Bunu anlatmanın en iyi yolu bazı

175
00:08:10,640 --> 00:08:12,250
örnekler yazmaktır.

176
00:08:12,250 --> 00:08:15,735
Bir tane yazalım bakalım.

177
00:08:15,735 --> 00:08:17,760
Bu örneği yine kolejdeki

178
00:08:17,760 --> 00:08:20,060
kitabımdan alıcam.

179
00:08:20,060 --> 00:08:26,050
x kare çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi,

180
00:08:26,050 --> 00:08:33,189
artı x çarpı ynin x e göre birinci dereceden türevi,

181
00:08:33,189 --> 00:08:40,720
artı iki y eşittir x in sinüsü.

182
00:08:40,720 --> 00:08:43,250
Şimdi ilk sorumuz :Derece nedir?

183
00:08:43,250 --> 00:08:47,270
Denklemin derecesi denklemde yer alan türevlerden

184
00:08:47,270 --> 00:08:48,600
en yüksek dereceli olanın derecesidir.

185
00:08:48,600 --> 00:08:50,360
Yazdığımız denklemdeki en yüksek türev

186
00:08:50,360 --> 00:08:51,150
derecesini arıyoruz di mi

187
00:08:51,150 --> 00:08:55,650
Ç özüm bu denkleme uyan bir x e bağlı

188
00:08:55,650 --> 00:08:56,880
y fonksiyonudur.

189
00:08:56,880 --> 00:08:59,750
Derece de o fonsiyonun en yüksek türev derecesidir.

190
00:08:59,750 --> 00:09:04,080
Bu örnekte en yüksek dereceli türev ikinci derecedir.

191
00:09:04,080 --> 00:09:05,500
Bu nedenle denklemin derecesi de ikidir.

192
00:09:08,860 --> 00:09:11,960
Biz bu denkleme ikinci dereceden adi diferansiyel denklem

193
00:09:11,960 --> 00:09:13,360
diyebiliriz.

194
00:09:13,360 --> 00:09:15,780
İkinci olarak yapacağımız bu denklem doğrusal mı

195
00:09:15,780 --> 00:09:18,640
değil mi bulmak.

196
00:09:18,640 --> 00:09:23,600
Eveet,bir diferansiyel denklemin doğrusal olması demek

197
00:09:23,600 --> 00:09:28,480
tüm fonksiyonlarının ve türevlerinin doğrusal olması

198
00:09:28,480 --> 00:09:29,110
demektir.Daha iyi bir kelime maalesef yok.

199
00:09:29,110 --> 00:09:29,830
Bu ne demek?

200
00:09:29,830 --> 00:09:32,510
Demek istediğim bir y kare ok,ya da dy bölü dx in karesi

201
00:09:32,510 --> 00:09:36,750
ya da y çarpı

202
00:09:36,750 --> 00:09:38,080
y nin ikinci dereceden türevi.

203
00:09:38,080 --> 00:09:43,100
Burda yazdığım örneğe bakalım.Bu ikinci dereceden

204
00:09:43,100 --> 00:09:46,530
doğrusal bir denklem çünkü ikinci dereceden türev ,birinci

205
00:09:46,530 --> 00:09:49,580
dereceden türev ve var ama bunlar fonksiyonla veya onun

206
00:09:49,580 --> 00:09:50,910
türevleri ile çarpılmamış.

207
00:09:50,910 --> 00:09:59,600
Eğer bu denklem şöyle olsaydı eğer şöyle yazsaydım x kare d,

208
00:09:59,600 --> 00:10:06,260
y nin x e göre ikinci dereceden türevinin karesi,eşittir

209
00:10:06,260 --> 00:10:11,470
x in sinüsü,ve bunun birde karesini alsaydım

210
00:10:11,470 --> 00:10:13,660
Şimdi birdenbire doğrusal olmayan bir

211
00:10:13,660 --> 00:10:14,690
diferansiyel denklemimiz olur.

212
00:10:14,690 --> 00:10:15,860
Bu doğrusal değil.

213
00:10:15,860 --> 00:10:17,030
Bu doğrusal.

214
00:10:17,030 --> 00:10:21,190
Çünkü karesini aldım.y nin x e göre ikinci dereceden türevini

215
00:10:21,190 --> 00:10:25,410
kendisi ile çarptım.

216
00:10:25,410 --> 00:10:27,740
Bir başka doğrusal olmayan denklem örneği eğer şöyle dersem

217
00:10:27,740 --> 00:10:35,230
çarpı y nin x e göre ikinci dereceden türevi

218
00:10:35,230 --> 00:10:38,390
eşittir x in sinüsü.

219
00:10:38,390 --> 00:10:41,800
Bu da doğrusal değil çünkü bir fonksiyonu onun

220
00:10:41,800 --> 00:10:44,140
ikinci dereceden türevi ile çarptım.

221
00:10:44,140 --> 00:10:46,340
Bakın burda da birşeyi ikinci dereceden türevi ile çarptım

222
00:10:46,340 --> 00:10:49,010
fakat bu çarptığım bağımsız değişken

223
00:10:49,010 --> 00:10:50,200
x idi.

224
00:10:50,200 --> 00:10:52,690
Neyse zamanım doldu ama ümit ederim ki

225
00:10:52,690 --> 00:10:54,690
bu size diferansiyel denklemler hakkında genel bir

226
00:10:54,690 --> 00:10:56,270
izlenim vermiştir.

227
00:10:56,270 --> 00:10:59,840
Bir sonraki videoda denklemleri çözmeye başlayacağız.

228
00:10:59,840 --> 00:11:01,090
Yakında görüşmek üzere