Laplaceova transformace 1

Úvod do Laplaceovy transformace

Nyní vám představím pojem

Laplaceovy transformace

A je to skutečně jeden z nejužitečnějších pojmů,

které se naučíte, nejen ohledně diferenciálních rovnic,

ale v matematice jako takové.

Obzvláště pokud se chystáte na technickou školu,

zjistíte, že Laplaceova transformace, kromě toho, že pomáhá

řešit diferenciální rovnice, také umožňuje převést

signál z jeho reprezentace jako funkce času do jeho

reprezentace jako funkce frekvence a studovat a chápat

celou řadu jevů.

Ale tohle všechno zatím nechme stranou.

Nejprve vám vysvětlím, co to je.

Laplaceova transformace

Naučím vás, co to je, vyzkoušíme si, jak funguje

po matematické stránce a po několika videích

vám pak skutečně ukážu, jak je užitečná pro řešení

diferenciálních rovnic.

Ve skutečnosti vyřešíme některé z diferenciálních rovnic,

které jsme vyřešili dříve jinými metodami.

Budeme ale pokračovat dál a vyřešíme více

a obtížnějších problémů.

Takže co je to Laplaceova transformace?

Laplaceova transformace se značí se krouceným L,

jako v logu sitcomu Laverne and Shirley.

Mnozí z vás asi ještě tenkrát nebyli na světě,

ale já jsem na něm vyrostl.

Ve skutečnosti to už tenkrát nejspíš byly reprízy.

Takže máme Laplaceovu transformaci nějaké funkce.

Běžná konvence je taková, že místo funkce proměnné x,

se obvykle píše funkce proměnné t.

Důvodem je, že v mnoha diferenciálních rovnicích

a zejména v jejich technických aplikacích ve skutečnosti

převádíte funkci času

na funkci frekvence.

Ale s tím se zatím netrapte,

pokud tomu úplně nerozumíte.

Takže Laplaceova transformace funkce proměnné t

převádí tuto funkci na nějakou jinou funkci proměnné s.

Jak to tedy dělá?

Napíšu nejdřív pár matematických symbolů,

které vám nejspíš nebudou nic říkat.

Takže co znamená to slovo transformace?

Já si ji představuji jako určitý druh

funkce na funkcích.

Funkce zobrazuje z jedné množiny, v tom, co jsme zatím

dělali většinou množiny čísel, do jiné množiny

čísel.

Transformace zobrazuje z jedné množiny funkcí

do jiné množiny funkcí.

Pojďme si to tedy definovat.

Pro naše účely je Laplaceova transformace definována jako

nevlastní integrál.

Vím, že jsem zatím ještě o nevlastních integrálech nemluvil,

ale za pár vteřin je vysvětlím.

Nevlastní integrál od nuly do nekonečna z e na mínus

st krát f od t - tedy to, co je ve složené závorce

od Laplaceovy transformace - dt.

Možná vás to teď malinko vyděsilo nebo úplně

zmátlo, ale uvidíme, jak to funguje na příkladech.

Takže co je to Laplaceova transformace?

Řekněme, že f od t je rovná 1.

Takže co je Laplaceova transformace od 1?

Takže když f od t je rovná 1 - což je prostě konstantní funkce

času - pojďme to prostě přepsat, respektive dosadit

do toho, co máme nahoře.

Takže to je nevlastní integrál od 0 do nekonečna

z e na mínus st krát jednička.

Tu jedničku tam ani nebudu přepisovat.

Nejspíš vás tam znervózňuje to nekonečno,

ale s tím se za chvíli vypořádáme.

Vlastně pojďme se s tím vypořádat hned.

Je to zkrátka limita,

když A jde do nekonečna, z integrálu

od 0 do A z e na mínus st dt.

Čistě abyste s tím byli víc v pohodě,

nejspíš byste sami uhodli, že je to totéž.

Protože samozřejmě nemůžete dosadit nekonečno,

ale můžete určit limitu, když se něco k nekonečnu blíží.

Dobrá, takže vezměme primitivní funkci

a vyhodnoťme tento nevlastní určitý integrál, čili

tento nevlastní integrál

Takže čemu se rovná primitivní funkce k e na mínus st

vzhledem k dt?

Rovná se mínus 1/s e na mínus st, že?

Pokud mi nevěříte, tak to zderivujte.

Dostanete mínus s krát to samé

Tady se to zkrátí a zbyde e na mínus st

Takže to sedí.

Já tady smažu to rovnítko.

Protože se mi vlastně ještě bude hodit, co jsem napsal.

Spočítáme limitu, když A jde do nekonečna.

Nemusíte to vždycky dělat takhle, ale je to poprvé,

kdy počítáme nevlastní integrál.

Takže jsem považoval za dobré zdůraznit,

že počítáme limitu.

Takže jsme spočítali primitivní funkci

a teď ji musíme vyhodnotit v A a odečíst

primitivní funkci v 0,

a pak spočítat limitu a zjistit, čemu se to bude blížit,

když A pošleme do nekonečna.

Takže se to rovná limitě pro A jdoucí nekonečna,

OK,

když dosadíme A nejprve sem, dostaneme mínus 1/s

Uvědomte si, že dosazujeme za t,

protože jsme počítali integrál vzhledem k t,

krát e na mínus sA, že ano?

Tak to dopadne, když dosadíme A sem.

Mínus

Co se stane, když t se bude rovnat 0 tady?

Když t se rovná 0, dostáváme e na mínus s krát 0.

Takže celé se to rovná jedné.

A zbude mínus 1/s.

To bychom měli.

Teď si to kousek posunu.

Psal jsem trochu větším písmem než jsem chtěl.

ale to přežijem.

Takže je to limita pro A jdoucí k nekonečnu

z mínus 1/s e na mínus sA mínus mínus 1/s.

Čili plus 1/s.

Takže čemu se rovná limita, když A jde k nekonečnu?

Co udělá tenhle člen?

Když A jde k nekonečnu a předpokládáme, že s je větší

než nula - což je předpoklad, který právě teď uděláme.

Já to radši napíšu explicitně:

Předpokládáme, že s je větší než 0.

Takže když předpokládáme, že s je větší než nula, pak

když A jde k nekonečnu, co se stane?

Celý tenhle člen jde do nuly, že? e na mínus

oooobrovské číslo je malilililinkaté číslo.

A e na mínus OOOOOOOObrovské číslo je ještě menší.

Takže pak tohle e na mínus nekonečno jde k 0, tedy

tento člen jde k 0.

Tento člen se nemění, protože neobsahuje A, takže

nám zbyde 1/s

Tak to bychom měli.

Toto je významný okamžik vašeho života.

Poprvé jste se setkali s Laplaceovou transformací.

Za několik videí vám ukážu, že jsou celé tabulky

Laplaceových transformací a nakonec

si v nich všechny položky dokážeme.

Ale pro začátek se pojďme podívat

na pár těch základních.

Tohle může být první položka

v naší tabulce Laplaceových transformací.

Laplaceova transformace z funkce f od t rovné jedné

je rovna funkci 1/s

Všimněte si, že jsme dostali z funkce proměnné t - ačkoliv

ve skutečnosti na t nezávisela - funkci proměnné s.

Zbývají mi asi tak 3 minuty, což myslím není

dost času na další Laplaceovu transformaci.

Takže si ji necháme na další video.

Čágo belo šílenci.