Nyní vám představím pojem
Laplaceovy transformace
A je to skutečně jeden z nejužitečnějších pojmů,
které se naučíte, nejen ohledně diferenciálních rovnic,
ale v matematice jako takové.
Obzvláště pokud se chystáte na technickou školu,
zjistíte, že Laplaceova transformace, kromě toho, že pomáhá
řešit diferenciální rovnice, také umožňuje převést
signál z jeho reprezentace jako funkce času do jeho
reprezentace jako funkce frekvence a studovat a chápat
celou řadu jevů.
Ale tohle všechno zatím nechme stranou.
Nejprve vám vysvětlím, co to je.
Laplaceova transformace
Naučím vás, co to je, vyzkoušíme si, jak funguje
po matematické stránce a po několika videích
vám pak skutečně ukážu, jak je užitečná pro řešení
diferenciálních rovnic.
Ve skutečnosti vyřešíme některé z diferenciálních rovnic,
které jsme vyřešili dříve jinými metodami.
Budeme ale pokračovat dál a vyřešíme více
a obtížnějších problémů.
Takže co je to Laplaceova transformace?
Laplaceova transformace se značí se krouceným L,
jako v logu sitcomu Laverne and Shirley.
Mnozí z vás asi ještě tenkrát nebyli na světě,
ale já jsem na něm vyrostl.
Ve skutečnosti to už tenkrát nejspíš byly reprízy.
Takže máme Laplaceovu transformaci nějaké funkce.
Běžná konvence je taková, že místo funkce proměnné x,
se obvykle píše funkce proměnné t.
Důvodem je, že v mnoha diferenciálních rovnicích
a zejména v jejich technických aplikacích ve skutečnosti
převádíte funkci času
na funkci frekvence.
Ale s tím se zatím netrapte,
pokud tomu úplně nerozumíte.
Takže Laplaceova transformace funkce proměnné t
převádí tuto funkci na nějakou jinou funkci proměnné s.
Jak to tedy dělá?
Napíšu nejdřív pár matematických symbolů,
které vám nejspíš nebudou nic říkat.
Takže co znamená to slovo transformace?
Já si ji představuji jako určitý druh
funkce na funkcích.
Funkce zobrazuje z jedné množiny, v tom, co jsme zatím
dělali většinou množiny čísel, do jiné množiny
čísel.
Transformace zobrazuje z jedné množiny funkcí
do jiné množiny funkcí.
Pojďme si to tedy definovat.
Pro naše účely je Laplaceova transformace definována jako
nevlastní integrál.
Vím, že jsem zatím ještě o nevlastních integrálech nemluvil,
ale za pár vteřin je vysvětlím.
Nevlastní integrál od nuly do nekonečna z e na mínus
st krát f od t - tedy to, co je ve složené závorce
od Laplaceovy transformace - dt.
Možná vás to teď malinko vyděsilo nebo úplně
zmátlo, ale uvidíme, jak to funguje na příkladech.
Takže co je to Laplaceova transformace?
Řekněme, že f od t je rovná 1.
Takže co je Laplaceova transformace od 1?
Takže když f od t je rovná 1 - což je prostě konstantní funkce
času - pojďme to prostě přepsat, respektive dosadit
do toho, co máme nahoře.
Takže to je nevlastní integrál od 0 do nekonečna
z e na mínus st krát jednička.
Tu jedničku tam ani nebudu přepisovat.
Nejspíš vás tam znervózňuje to nekonečno,
ale s tím se za chvíli vypořádáme.
Vlastně pojďme se s tím vypořádat hned.
Je to zkrátka limita,
když A jde do nekonečna, z integrálu
od 0 do A z e na mínus st dt.
Čistě abyste s tím byli víc v pohodě,
nejspíš byste sami uhodli, že je to totéž.
Protože samozřejmě nemůžete dosadit nekonečno,
ale můžete určit limitu, když se něco k nekonečnu blíží.
Dobrá, takže vezměme primitivní funkci
a vyhodnoťme tento nevlastní určitý integrál, čili
tento nevlastní integrál
Takže čemu se rovná primitivní funkce k e na mínus st
vzhledem k dt?
Rovná se mínus 1/s e na mínus st, že?
Pokud mi nevěříte, tak to zderivujte.
Dostanete mínus s krát to samé
Tady se to zkrátí a zbyde e na mínus st
Takže to sedí.
Já tady smažu to rovnítko.
Protože se mi vlastně ještě bude hodit, co jsem napsal.
Spočítáme limitu, když A jde do nekonečna.
Nemusíte to vždycky dělat takhle, ale je to poprvé,
kdy počítáme nevlastní integrál.
Takže jsem považoval za dobré zdůraznit,
že počítáme limitu.
Takže jsme spočítali primitivní funkci
a teď ji musíme vyhodnotit v A a odečíst
primitivní funkci v 0,
a pak spočítat limitu a zjistit, čemu se to bude blížit,
když A pošleme do nekonečna.
Takže se to rovná limitě pro A jdoucí nekonečna,
OK,
když dosadíme A nejprve sem, dostaneme mínus 1/s
Uvědomte si, že dosazujeme za t,
protože jsme počítali integrál vzhledem k t,
krát e na mínus sA, že ano?
Tak to dopadne, když dosadíme A sem.
Mínus
Co se stane, když t se bude rovnat 0 tady?
Když t se rovná 0, dostáváme e na mínus s krát 0.
Takže celé se to rovná jedné.
A zbude mínus 1/s.
To bychom měli.
Teď si to kousek posunu.
Psal jsem trochu větším písmem než jsem chtěl.
ale to přežijem.
Takže je to limita pro A jdoucí k nekonečnu
z mínus 1/s e na mínus sA mínus mínus 1/s.
Čili plus 1/s.
Takže čemu se rovná limita, když A jde k nekonečnu?
Co udělá tenhle člen?
Když A jde k nekonečnu a předpokládáme, že s je větší
než nula - což je předpoklad, který právě teď uděláme.
Já to radši napíšu explicitně:
Předpokládáme, že s je větší než 0.
Takže když předpokládáme, že s je větší než nula, pak
když A jde k nekonečnu, co se stane?
Celý tenhle člen jde do nuly, že? e na mínus
oooobrovské číslo je malilililinkaté číslo.
A e na mínus OOOOOOOObrovské číslo je ještě menší.
Takže pak tohle e na mínus nekonečno jde k 0, tedy
tento člen jde k 0.
Tento člen se nemění, protože neobsahuje A, takže
nám zbyde 1/s
Tak to bychom měli.
Toto je významný okamžik vašeho života.
Poprvé jste se setkali s Laplaceovou transformací.
Za několik videí vám ukážu, že jsou celé tabulky
Laplaceových transformací a nakonec
si v nich všechny položky dokážeme.
Ale pro začátek se pojďme podívat
na pár těch základních.
Tohle může být první položka
v naší tabulce Laplaceových transformací.
Laplaceova transformace z funkce f od t rovné jedné
je rovna funkci 1/s
Všimněte si, že jsme dostali z funkce proměnné t - ačkoliv
ve skutečnosti na t nezávisela - funkci proměnné s.
Zbývají mi asi tak 3 minuty, což myslím není
dost času na další Laplaceovu transformaci.
Takže si ji necháme na další video.
Čágo belo šílenci.