[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.96,0:00:02.98,Default,,0000,0000,0000,,Nyní vám představím pojem
Dialogue: 0,0:00:02.98,0:00:05.46,Default,,0000,0000,0000,,Laplaceovy transformace
Dialogue: 0,0:00:05.46,0:00:09.93,Default,,0000,0000,0000,,A je to skutečně jeden z nejužitečnějších pojmů,
Dialogue: 0,0:00:09.93,0:00:13.84,Default,,0000,0000,0000,,které se naučíte, nejen ohledně diferenciálních rovnic,
Dialogue: 0,0:00:13.84,0:00:15.10,Default,,0000,0000,0000,,ale v matematice jako takové.
Dialogue: 0,0:00:15.10,0:00:18.05,Default,,0000,0000,0000,,Obzvláště pokud se chystáte na technickou školu,
Dialogue: 0,0:00:18.05,0:00:20.61,Default,,0000,0000,0000,,zjistíte, že Laplaceova transformace, kromě toho, že pomáhá
Dialogue: 0,0:00:20.61,0:00:25.48,Default,,0000,0000,0000,,řešit diferenciální rovnice, také umožňuje převést
Dialogue: 0,0:00:25.48,0:00:30.21,Default,,0000,0000,0000,,signál z jeho reprezentace jako funkce času do jeho
Dialogue: 0,0:00:30.21,0:00:33.17,Default,,0000,0000,0000,,reprezentace jako funkce frekvence a studovat a chápat
Dialogue: 0,0:00:33.17,0:00:34.74,Default,,0000,0000,0000,,celou řadu jevů.
Dialogue: 0,0:00:34.74,0:00:36.48,Default,,0000,0000,0000,,Ale tohle všechno zatím nechme stranou.
Dialogue: 0,0:00:36.48,0:00:38.92,Default,,0000,0000,0000,,Nejprve vám vysvětlím, co to je.
Dialogue: 0,0:00:38.92,0:00:40.17,Default,,0000,0000,0000,,Laplaceova transformace
Dialogue: 0,0:00:42.96,0:00:45.10,Default,,0000,0000,0000,,Naučím vás, co to je, vyzkoušíme si, jak funguje
Dialogue: 0,0:00:45.10,0:00:48.33,Default,,0000,0000,0000,,po matematické stránce a po několika videích
Dialogue: 0,0:00:48.33,0:00:52.22,Default,,0000,0000,0000,,vám pak skutečně ukážu, jak je užitečná pro řešení
Dialogue: 0,0:00:52.22,0:00:53.18,Default,,0000,0000,0000,,diferenciálních rovnic.
Dialogue: 0,0:00:53.18,0:00:55.20,Default,,0000,0000,0000,,Ve skutečnosti vyřešíme některé z diferenciálních rovnic,
Dialogue: 0,0:00:55.20,0:00:56.80,Default,,0000,0000,0000,,které jsme vyřešili dříve jinými metodami.
Dialogue: 0,0:00:56.80,0:00:59.47,Default,,0000,0000,0000,,Budeme ale pokračovat dál a vyřešíme více
Dialogue: 0,0:00:59.47,0:01:01.00,Default,,0000,0000,0000,,a obtížnějších problémů.
Dialogue: 0,0:01:01.00,0:01:02.89,Default,,0000,0000,0000,,Takže co je to Laplaceova transformace?
Dialogue: 0,0:01:02.89,0:01:08.58,Default,,0000,0000,0000,,Laplaceova transformace se značí se krouceným L,
Dialogue: 0,0:01:08.58,0:01:12.06,Default,,0000,0000,0000,,jako v logu sitcomu Laverne and Shirley.
Dialogue: 0,0:01:12.06,0:01:15.04,Default,,0000,0000,0000,,Mnozí z vás asi ještě tenkrát nebyli na světě,
Dialogue: 0,0:01:15.04,0:01:16.86,Default,,0000,0000,0000,,ale já jsem na něm vyrostl.
Dialogue: 0,0:01:16.86,0:01:20.69,Default,,0000,0000,0000,,Ve skutečnosti to už tenkrát nejspíš byly reprízy.
Dialogue: 0,0:01:20.69,0:01:22.77,Default,,0000,0000,0000,,Takže máme Laplaceovu transformaci nějaké funkce.
Dialogue: 0,0:01:22.77,0:01:25.17,Default,,0000,0000,0000,,Běžná konvence je taková, že místo funkce proměnné x,
Dialogue: 0,0:01:25.17,0:01:26.59,Default,,0000,0000,0000,,se obvykle píše funkce proměnné t.
Dialogue: 0,0:01:26.59,0:01:30.12,Default,,0000,0000,0000,,Důvodem je, že v mnoha diferenciálních rovnicích
Dialogue: 0,0:01:30.12,0:01:32.19,Default,,0000,0000,0000,,a zejména v jejich technických aplikacích ve skutečnosti
Dialogue: 0,0:01:32.19,0:01:34.36,Default,,0000,0000,0000,,převádíte funkci času
Dialogue: 0,0:01:34.36,0:01:35.63,Default,,0000,0000,0000,,na funkci frekvence.
Dialogue: 0,0:01:35.63,0:01:37.30,Default,,0000,0000,0000,,Ale s tím se zatím netrapte,
Dialogue: 0,0:01:37.30,0:01:40.18,Default,,0000,0000,0000,,pokud tomu úplně nerozumíte.
Dialogue: 0,0:01:40.18,0:01:43.02,Default,,0000,0000,0000,,Takže Laplaceova transformace funkce proměnné t
Dialogue: 0,0:01:43.02,0:01:47.82,Default,,0000,0000,0000,,převádí tuto funkci na nějakou jinou funkci proměnné s.
Dialogue: 0,0:01:47.82,0:01:49.41,Default,,0000,0000,0000,,Jak to tedy dělá?
Dialogue: 0,0:01:49.41,0:01:53.15,Default,,0000,0000,0000,,Napíšu nejdřív pár matematických symbolů,
Dialogue: 0,0:01:53.15,0:01:56.46,Default,,0000,0000,0000,,které vám nejspíš nebudou nic říkat.
Dialogue: 0,0:01:56.46,0:01:57.80,Default,,0000,0000,0000,,Takže co znamená to slovo transformace?
Dialogue: 0,0:01:57.80,0:01:59.63,Default,,0000,0000,0000,,Já si ji představuji jako určitý druh
Dialogue: 0,0:01:59.63,0:02:00.87,Default,,0000,0000,0000,,funkce na funkcích.
Dialogue: 0,0:02:00.87,0:02:05.22,Default,,0000,0000,0000,,Funkce zobrazuje z jedné množiny, v tom, co jsme zatím
Dialogue: 0,0:02:05.22,0:02:08.01,Default,,0000,0000,0000,,dělali většinou množiny čísel, do jiné množiny
Dialogue: 0,0:02:08.01,0:02:09.06,Default,,0000,0000,0000,,čísel.
Dialogue: 0,0:02:09.06,0:02:11.99,Default,,0000,0000,0000,,Transformace zobrazuje z jedné množiny funkcí
Dialogue: 0,0:02:11.99,0:02:13.10,Default,,0000,0000,0000,,do jiné množiny funkcí.
Dialogue: 0,0:02:13.10,0:02:14.14,Default,,0000,0000,0000,,Pojďme si to tedy definovat.
Dialogue: 0,0:02:14.14,0:02:23.31,Default,,0000,0000,0000,,Pro naše účely je Laplaceova transformace definována jako
Dialogue: 0,0:02:23.31,0:02:24.51,Default,,0000,0000,0000,,nevlastní integrál.
Dialogue: 0,0:02:24.51,0:02:27.79,Default,,0000,0000,0000,,Vím, že jsem zatím ještě o nevlastních integrálech nemluvil,
Dialogue: 0,0:02:27.79,0:02:29.89,Default,,0000,0000,0000,,ale za pár vteřin je vysvětlím.
Dialogue: 0,0:02:29.89,0:02:36.43,Default,,0000,0000,0000,,Nevlastní integrál od nuly do nekonečna z e na mínus
Dialogue: 0,0:02:36.43,0:02:43.60,Default,,0000,0000,0000,,st krát f od t - tedy to, co je ve složené závorce
Dialogue: 0,0:02:43.60,0:02:49.17,Default,,0000,0000,0000,,od Laplaceovy transformace - dt.
Dialogue: 0,0:02:49.17,0:02:51.19,Default,,0000,0000,0000,,Možná vás to teď malinko vyděsilo nebo úplně
Dialogue: 0,0:02:51.19,0:02:54.12,Default,,0000,0000,0000,,zmátlo, ale uvidíme, jak to funguje na příkladech.
Dialogue: 0,0:02:54.12,0:02:55.66,Default,,0000,0000,0000,,Takže co je to Laplaceova transformace?
Dialogue: 0,0:02:55.66,0:02:57.95,Default,,0000,0000,0000,,Řekněme, že f od t je rovná 1.
Dialogue: 0,0:02:57.95,0:03:00.30,Default,,0000,0000,0000,,Takže co je Laplaceova transformace od 1?
Dialogue: 0,0:03:04.18,0:03:07.66,Default,,0000,0000,0000,,Takže když f od t je rovná 1 - což je prostě konstantní funkce
Dialogue: 0,0:03:07.66,0:03:14.28,Default,,0000,0000,0000,,času - pojďme to prostě přepsat, respektive dosadit
Dialogue: 0,0:03:14.28,0:03:15.13,Default,,0000,0000,0000,,do toho, co máme nahoře.
Dialogue: 0,0:03:15.13,0:03:18.91,Default,,0000,0000,0000,,Takže to je nevlastní integrál od 0 do nekonečna
Dialogue: 0,0:03:18.91,0:03:24.64,Default,,0000,0000,0000,,z e na mínus st krát jednička.
Dialogue: 0,0:03:24.64,0:03:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Tu jedničku tam ani nebudu přepisovat.
Dialogue: 0,0:03:29.00,0:03:32.27,Default,,0000,0000,0000,,Nejspíš vás tam znervózňuje to nekonečno,
Dialogue: 0,0:03:32.27,0:03:34.48,Default,,0000,0000,0000,,ale s tím se za chvíli vypořádáme.
Dialogue: 0,0:03:34.48,0:03:35.62,Default,,0000,0000,0000,,Vlastně pojďme se s tím vypořádat hned.
Dialogue: 0,0:03:35.62,0:03:40.66,Default,,0000,0000,0000,,Je to zkrátka limita,
Dialogue: 0,0:03:40.66,0:03:48.87,Default,,0000,0000,0000,,když A jde do nekonečna, z integrálu
Dialogue: 0,0:03:48.87,0:03:57.40,Default,,0000,0000,0000,,od 0 do A z e na mínus st dt.
Dialogue: 0,0:03:57.40,0:03:59.41,Default,,0000,0000,0000,,Čistě abyste s tím byli víc v pohodě,
Dialogue: 0,0:03:59.41,0:04:01.64,Default,,0000,0000,0000,,nejspíš byste sami uhodli, že je to totéž.
Dialogue: 0,0:04:01.64,0:04:04.56,Default,,0000,0000,0000,,Protože samozřejmě nemůžete dosadit nekonečno,
Dialogue: 0,0:04:04.56,0:04:07.41,Default,,0000,0000,0000,,ale můžete určit limitu, když se něco k nekonečnu blíží.
Dialogue: 0,0:04:07.41,0:04:09.88,Default,,0000,0000,0000,,Dobrá, takže vezměme primitivní funkci
Dialogue: 0,0:04:09.88,0:04:12.73,Default,,0000,0000,0000,,a vyhodnoťme tento nevlastní určitý integrál, čili
Dialogue: 0,0:04:12.73,0:04:13.81,Default,,0000,0000,0000,,tento nevlastní integrál
Dialogue: 0,0:04:13.81,0:04:17.30,Default,,0000,0000,0000,,Takže čemu se rovná primitivní funkce k e na mínus st
Dialogue: 0,0:04:17.30,0:04:19.34,Default,,0000,0000,0000,,vzhledem k dt?
Dialogue: 0,0:04:19.34,0:04:28.62,Default,,0000,0000,0000,,Rovná se mínus 1/s e na mínus st, že?
Dialogue: 0,0:04:28.62,0:04:30.64,Default,,0000,0000,0000,,Pokud mi nevěříte, tak to zderivujte.
Dialogue: 0,0:04:30.64,0:04:32.07,Default,,0000,0000,0000,,Dostanete mínus s krát to samé
Dialogue: 0,0:04:32.07,0:04:34.50,Default,,0000,0000,0000,,Tady se to zkrátí a zbyde e na mínus st
Dialogue: 0,0:04:34.50,0:04:36.46,Default,,0000,0000,0000,,Takže to sedí.
Dialogue: 0,0:04:39.72,0:04:42.41,Default,,0000,0000,0000,,Já tady smažu to rovnítko.
Dialogue: 0,0:04:42.41,0:04:45.89,Default,,0000,0000,0000,,Protože se mi vlastně ještě bude hodit, co jsem napsal.
Dialogue: 0,0:04:45.89,0:04:51.43,Default,,0000,0000,0000,,Spočítáme limitu, když A jde do nekonečna.
Dialogue: 0,0:04:51.43,0:04:53.33,Default,,0000,0000,0000,,Nemusíte to vždycky dělat takhle, ale je to poprvé,
Dialogue: 0,0:04:53.33,0:04:54.65,Default,,0000,0000,0000,,kdy počítáme nevlastní integrál.
Dialogue: 0,0:04:54.65,0:04:57.27,Default,,0000,0000,0000,,Takže jsem považoval za dobré zdůraznit,
Dialogue: 0,0:04:57.27,0:04:59.34,Default,,0000,0000,0000,,že počítáme limitu.
Dialogue: 0,0:04:59.34,0:05:01.03,Default,,0000,0000,0000,,Takže jsme spočítali primitivní funkci
Dialogue: 0,0:05:01.03,0:05:04.96,Default,,0000,0000,0000,,a teď ji musíme vyhodnotit v A a odečíst
Dialogue: 0,0:05:04.96,0:05:06.05,Default,,0000,0000,0000,,primitivní funkci v 0,
Dialogue: 0,0:05:06.05,0:05:08.74,Default,,0000,0000,0000,,a pak spočítat limitu a zjistit, čemu se to bude blížit,
Dialogue: 0,0:05:08.74,0:05:09.71,Default,,0000,0000,0000,,když A pošleme do nekonečna.
Dialogue: 0,0:05:09.71,0:05:17.49,Default,,0000,0000,0000,,Takže se to rovná limitě pro A jdoucí nekonečna,
Dialogue: 0,0:05:17.49,0:05:17.75,Default,,0000,0000,0000,,OK,
Dialogue: 0,0:05:17.75,0:05:24.55,Default,,0000,0000,0000,,když dosadíme A nejprve sem, dostaneme mínus 1/s
Dialogue: 0,0:05:24.55,0:05:26.96,Default,,0000,0000,0000,,Uvědomte si, že dosazujeme za t,
Dialogue: 0,0:05:26.96,0:05:30.22,Default,,0000,0000,0000,,protože jsme počítali integrál vzhledem k t,
Dialogue: 0,0:05:30.22,0:05:36.63,Default,,0000,0000,0000,,krát e na mínus sA, že ano?
Dialogue: 0,0:05:36.63,0:05:38.65,Default,,0000,0000,0000,,Tak to dopadne, když dosadíme A sem.
Dialogue: 0,0:05:38.65,0:05:41.35,Default,,0000,0000,0000,,Mínus
Dialogue: 0,0:05:41.35,0:05:44.97,Default,,0000,0000,0000,,Co se stane, když t se bude rovnat 0 tady?
Dialogue: 0,0:05:44.97,0:05:47.83,Default,,0000,0000,0000,,Když t se rovná 0, dostáváme e na mínus s krát 0.
Dialogue: 0,0:05:47.83,0:05:49.32,Default,,0000,0000,0000,,Takže celé se to rovná jedné.
Dialogue: 0,0:05:49.32,0:05:51.19,Default,,0000,0000,0000,,A zbude mínus 1/s.
Dialogue: 0,0:05:57.80,0:05:58.45,Default,,0000,0000,0000,,To bychom měli.
Dialogue: 0,0:05:58.45,0:06:01.00,Default,,0000,0000,0000,,Teď si to kousek posunu.
Dialogue: 0,0:06:01.00,0:06:02.49,Default,,0000,0000,0000,,Psal jsem trochu větším písmem než jsem chtěl.
Dialogue: 0,0:06:02.49,0:06:03.77,Default,,0000,0000,0000,,ale to přežijem.
Dialogue: 0,0:06:03.77,0:06:10.16,Default,,0000,0000,0000,,Takže je to limita pro A jdoucí k nekonečnu
Dialogue: 0,0:06:10.16,0:06:20.64,Default,,0000,0000,0000,,z mínus 1/s e na mínus sA mínus mínus 1/s.
Dialogue: 0,0:06:20.64,0:06:24.78,Default,,0000,0000,0000,,Čili plus 1/s.
Dialogue: 0,0:06:24.78,0:06:26.17,Default,,0000,0000,0000,,Takže čemu se rovná limita, když A jde k nekonečnu?
Dialogue: 0,0:06:26.17,0:06:28.15,Default,,0000,0000,0000,,Co udělá tenhle člen?
Dialogue: 0,0:06:28.15,0:06:34.35,Default,,0000,0000,0000,,Když A jde k nekonečnu a předpokládáme, že s je větší
Dialogue: 0,0:06:34.35,0:06:37.81,Default,,0000,0000,0000,,než nula - což je předpoklad, který právě teď uděláme.
Dialogue: 0,0:06:37.81,0:06:39.00,Default,,0000,0000,0000,,Já to radši napíšu explicitně:
Dialogue: 0,0:06:39.00,0:06:41.95,Default,,0000,0000,0000,,Předpokládáme, že s je větší než 0.
Dialogue: 0,0:06:41.95,0:06:45.32,Default,,0000,0000,0000,,Takže když předpokládáme, že s je větší než nula, pak
Dialogue: 0,0:06:45.32,0:06:47.87,Default,,0000,0000,0000,,když A jde k nekonečnu, co se stane?
Dialogue: 0,0:06:47.87,0:06:53.21,Default,,0000,0000,0000,,Celý tenhle člen jde do nuly, že? e na mínus
Dialogue: 0,0:06:53.21,0:06:55.64,Default,,0000,0000,0000,,oooobrovské číslo je malilililinkaté číslo.
Dialogue: 0,0:06:55.64,0:07:00.52,Default,,0000,0000,0000,,A e na mínus OOOOOOOObrovské číslo je ještě menší.
Dialogue: 0,0:07:00.52,0:07:04.53,Default,,0000,0000,0000,,Takže pak tohle e na mínus nekonečno jde k 0, tedy
Dialogue: 0,0:07:04.53,0:07:05.92,Default,,0000,0000,0000,,tento člen jde k 0.
Dialogue: 0,0:07:05.92,0:07:08.85,Default,,0000,0000,0000,,Tento člen se nemění, protože neobsahuje A, takže
Dialogue: 0,0:07:08.85,0:07:12.42,Default,,0000,0000,0000,,nám zbyde 1/s
Dialogue: 0,0:07:12.42,0:07:13.40,Default,,0000,0000,0000,,Tak to bychom měli.
Dialogue: 0,0:07:13.40,0:07:16.12,Default,,0000,0000,0000,,Toto je významný okamžik vašeho života.
Dialogue: 0,0:07:16.12,0:07:21.19,Default,,0000,0000,0000,,Poprvé jste se setkali s Laplaceovou transformací.
Dialogue: 0,0:07:21.19,0:07:23.35,Default,,0000,0000,0000,,Za několik videí vám ukážu, že jsou celé tabulky
Dialogue: 0,0:07:23.35,0:07:25.30,Default,,0000,0000,0000,,Laplaceových transformací a nakonec
Dialogue: 0,0:07:25.30,0:07:27.57,Default,,0000,0000,0000,,si v nich všechny položky dokážeme.
Dialogue: 0,0:07:27.57,0:07:29.44,Default,,0000,0000,0000,,Ale pro začátek se pojďme podívat
Dialogue: 0,0:07:29.44,0:07:30.23,Default,,0000,0000,0000,,na pár těch základních.
Dialogue: 0,0:07:30.23,0:07:32.18,Default,,0000,0000,0000,,Tohle může být první položka
Dialogue: 0,0:07:32.18,0:07:34.68,Default,,0000,0000,0000,,v naší tabulce Laplaceových transformací.
Dialogue: 0,0:07:34.68,0:07:39.87,Default,,0000,0000,0000,,Laplaceova transformace z funkce f od t rovné jedné
Dialogue: 0,0:07:39.87,0:07:44.03,Default,,0000,0000,0000,,je rovna funkci 1/s
Dialogue: 0,0:07:44.03,0:07:46.43,Default,,0000,0000,0000,,Všimněte si, že jsme dostali z funkce proměnné t - ačkoliv
Dialogue: 0,0:07:46.43,0:07:50.46,Default,,0000,0000,0000,,ve skutečnosti na t nezávisela - funkci proměnné s.
Dialogue: 0,0:07:50.46,0:07:53.52,Default,,0000,0000,0000,,Zbývají mi asi tak 3 minuty, což myslím není
Dialogue: 0,0:07:53.52,0:07:56.01,Default,,0000,0000,0000,,dost času na další Laplaceovu transformaci.
Dialogue: 0,0:07:56.01,0:07:59.04,Default,,0000,0000,0000,,Takže si ji necháme na další video.
Dialogue: 0,0:07:59.04,0:08:00.66,Default,,0000,0000,0000,,Čágo belo šílenci.