Proof - Opposite Angles of Parallelogram Congruent
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0:01 - 0:03我将在这个视频中向大家证明
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0:03 - 0:05平行四边形的对角相等
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0:05 - 0:11如图 我们要证明角CAB与BDC相等
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0:11 - 0:14也就是说 要证明的是这个角和那个角相等
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0:14 - 0:17并且角ABD与
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0:17 - 0:18角DCA相等
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0:18 - 0:22要证明这些等量关系 我们必须利用好平行线和截线
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0:22 - 0:24而图中线段既可以当成其中一条线段的平行线段
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0:24 - 0:26又可以作为另一组平行线段的截线
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0:26 - 0:29我们把这些线段都延长一点
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0:29 - 0:33使得线段间截与被截的关系看起来更明显
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0:33 - 0:37你可以自己把图画下来并且尝试证明它
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0:37 - 0:40因为全部的证明只利用了被截平行线与截线产生的
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0:40 - 0:43同位角以及内错角
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0:43 - 0:47我们先标识出这个角
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0:47 - 0:50因为黄色已经被用过了 所以我换一个新的颜色
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0:50 - 0:55让我们从角BDC的等量关系开始
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0:55 - 0:59我把角BDC在这标记一下
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0:59 - 1:04角BDC与这边这个角
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1:04 - 1:07互为内错角
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1:07 - 1:09实际上我们可以延长这边这个端点
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1:09 - 1:14我把新的端点记做E
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1:14 - 1:22所以 由于平行线与截线构成的内错角相等
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1:25 - 1:30角CDB与角EBD相等
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1:30 - 1:33这条是截线 这两条是平行线
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1:33 - 1:36AB 或者说AE 与CD互相平行
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1:36 - 1:38很好
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1:38 - 1:40如果我们稍微换个角度想想
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1:40 - 1:45将BD与AC视为当前平行线
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1:45 - 1:53并且将AB视为当前截线 那么我们将发现
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1:53 - 1:56角EBD与角BAC相等
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1:56 - 1:58因为它们互为同位角
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2:00 - 2:09由于平行线与截线构成的同位角相等
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2:11 - 2:18所以角EBD与角BAC 或者说是角CAB 相等
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2:18 - 2:20现在 如果角CDB与角EBD相等
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2:20 - 2:21角EBD又与角CAB相等
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2:21 - 2:23那么角CDB和角CAB相等
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2:23 - 2:29综上可知 角CDB 或者说角BDC
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2:30 - 2:35与角CAB相等
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2:36 - 2:39至此 我们已经证明了第一部分
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2:39 - 2:41接下来 我们将利用相同的思想来证明
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2:41 - 2:43剩下的一对对角相等
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2:43 - 2:48首先 我们将这条线视为截线
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2:48 - 2:52也就是说 我们将AC视为平行线AB与CD的截线
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2:52 - 2:57我在这再补一个点
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2:57 - 2:59记为点F
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2:59 - 3:06所以 角ACD与角FAC相等
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3:06 - 3:17因为它们互为内错角
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3:17 - 3:20现在我们将AC与BD视为当前平行线并且
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3:20 - 3:24将AB视为当前截线
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3:24 - 3:31那么 角FAC与角ABD相等
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3:31 - 3:33因为他们互为同位角
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3:33 - 3:38由于角FAC与角ABD互为同位角
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3:38 - 3:40所以它们相等
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3:40 - 3:44总结一下 首先我们将AC视为截线
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3:44 - 3:48将AB与CD视为被截平行线
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3:48 - 3:53之后将AB视为截线 将BD与AC视为被截平行线
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3:53 - 3:55显然 如果角ACD和角FAC相等
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3:55 - 3:58角FAC与角ABD相等 则角ACD和角ABD相等
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3:58 - 4:02所以 若四边形对角相等
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4:02 - 4:05与四边形是平行四边形
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4:05 - 4:07互为充要条件
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