我将在这个视频中向大家证明

平行四边形的对角相等

如图 我们要证明角CAB与BDC相等

也就是说 要证明的是这个角和那个角相等

并且角ABD与

角DCA相等

要证明这些等量关系 我们必须利用好平行线和截线

而图中线段既可以当成其中一条线段的平行线段

又可以作为另一组平行线段的截线

我们把这些线段都延长一点

使得线段间截与被截的关系看起来更明显

你可以自己把图画下来并且尝试证明它

因为全部的证明只利用了被截平行线与截线产生的

同位角以及内错角

我们先标识出这个角

因为黄色已经被用过了 所以我换一个新的颜色

让我们从角BDC的等量关系开始

我把角BDC在这标记一下

角BDC与这边这个角

互为内错角

实际上我们可以延长这边这个端点

我把新的端点记做E

所以 由于平行线与截线构成的内错角相等

角CDB与角EBD相等

这条是截线 这两条是平行线

AB 或者说AE 与CD互相平行

很好

如果我们稍微换个角度想想

将BD与AC视为当前平行线

并且将AB视为当前截线 那么我们将发现

角EBD与角BAC相等

因为它们互为同位角

由于平行线与截线构成的同位角相等

所以角EBD与角BAC 或者说是角CAB 相等

现在 如果角CDB与角EBD相等

角EBD又与角CAB相等

那么角CDB和角CAB相等

综上可知 角CDB 或者说角BDC

与角CAB相等

至此 我们已经证明了第一部分

接下来 我们将利用相同的思想来证明

剩下的一对对角相等

首先 我们将这条线视为截线

也就是说 我们将AC视为平行线AB与CD的截线

我在这再补一个点

记为点F

所以 角ACD与角FAC相等

因为它们互为内错角

现在我们将AC与BD视为当前平行线并且

将AB视为当前截线

那么 角FAC与角ABD相等

因为他们互为同位角

由于角FAC与角ABD互为同位角

所以它们相等

总结一下 首先我们将AC视为截线

将AB与CD视为被截平行线

之后将AB视为截线 将BD与AC视为被截平行线

显然 如果角ACD和角FAC相等

角FAC与角ABD相等 则角ACD和角ABD相等

所以 若四边形对角相等

与四边形是平行四边形

互为充要条件