WEBVTT

00:00:00.510 --> 00:00:03.220
我将在这个视频中向大家证明

00:00:03.230 --> 00:00:05.120
平行四边形的对角相等

00:00:05.130 --> 00:00:10.840
如图 我们要证明角CAB与BDC相等

00:00:10.850 --> 00:00:14.240
也就是说 要证明的是这个角和那个角相等

00:00:14.250 --> 00:00:16.750
并且角ABD与

00:00:16.760 --> 00:00:18.080
角DCA相等

00:00:18.090 --> 00:00:21.620
要证明这些等量关系 我们必须利用好平行线和截线

00:00:21.630 --> 00:00:24.290
而图中线段既可以当成其中一条线段的平行线段

00:00:24.300 --> 00:00:26.320
又可以作为另一组平行线段的截线

00:00:26.330 --> 00:00:28.710
我们把这些线段都延长一点

00:00:28.720 --> 00:00:33.200
使得线段间截与被截的关系看起来更明显

00:00:33.210 --> 00:00:36.570
你可以自己把图画下来并且尝试证明它

00:00:36.580 --> 00:00:39.530
因为全部的证明只利用了被截平行线与截线产生的

00:00:39.540 --> 00:00:43.310
同位角以及内错角

00:00:43.320 --> 00:00:46.810
我们先标识出这个角

00:00:46.820 --> 00:00:50.300
因为黄色已经被用过了 所以我换一个新的颜色

00:00:50.310 --> 00:00:54.600
让我们从角BDC的等量关系开始

00:00:54.610 --> 00:00:58.890
我把角BDC在这标记一下

00:00:58.900 --> 00:01:04.300
角BDC与这边这个角

00:01:04.310 --> 00:01:07.270
互为内错角

00:01:07.280 --> 00:01:09.130
实际上我们可以延长这边这个端点

00:01:09.140 --> 00:01:13.710
我把新的端点记做E

00:01:13.720 --> 00:01:21.810
所以 由于平行线与截线构成的内错角相等

00:01:25.440 --> 00:01:30.460
角CDB与角EBD相等

00:01:30.470 --> 00:01:33.020
这条是截线 这两条是平行线

00:01:33.030 --> 00:01:36.090
AB 或者说AE 与CD互相平行

00:01:36.100 --> 00:01:37.560
很好

00:01:37.570 --> 00:01:40.330
如果我们稍微换个角度想想

00:01:40.340 --> 00:01:45.220
将BD与AC视为当前平行线

00:01:45.230 --> 00:01:52.620
并且将AB视为当前截线 那么我们将发现

00:01:52.630 --> 00:01:56.180
角EBD与角BAC相等

00:01:56.190 --> 00:01:57.920
因为它们互为同位角

00:01:59.760 --> 00:02:08.890
由于平行线与截线构成的同位角相等

00:02:10.540 --> 00:02:17.780
所以角EBD与角BAC 或者说是角CAB 相等

00:02:17.790 --> 00:02:19.930
现在 如果角CDB与角EBD相等

00:02:19.940 --> 00:02:21.250
角EBD又与角CAB相等

00:02:21.260 --> 00:02:23.140
那么角CDB和角CAB相等

00:02:23.150 --> 00:02:28.650
综上可知 角CDB 或者说角BDC

00:02:30.130 --> 00:02:35.430
与角CAB相等

00:02:36.270 --> 00:02:39.160
至此 我们已经证明了第一部分

00:02:39.170 --> 00:02:40.910
接下来 我们将利用相同的思想来证明

00:02:40.920 --> 00:02:43.110
剩下的一对对角相等

00:02:43.120 --> 00:02:47.880
首先 我们将这条线视为截线

00:02:47.890 --> 00:02:51.840
也就是说 我们将AC视为平行线AB与CD的截线

00:02:51.850 --> 00:02:56.900
我在这再补一个点

00:02:56.910 --> 00:02:58.940
记为点F

00:02:58.950 --> 00:03:06.160
所以 角ACD与角FAC相等

00:03:06.170 --> 00:03:16.780
因为它们互为内错角

00:03:16.790 --> 00:03:20.250
现在我们将AC与BD视为当前平行线并且

00:03:20.260 --> 00:03:23.820
将AB视为当前截线

00:03:23.830 --> 00:03:31.150
那么 角FAC与角ABD相等

00:03:31.160 --> 00:03:33.150
因为他们互为同位角

00:03:33.160 --> 00:03:38.320
由于角FAC与角ABD互为同位角

00:03:38.330 --> 00:03:40.390
所以它们相等

00:03:40.400 --> 00:03:43.740
总结一下 首先我们将AC视为截线

00:03:43.750 --> 00:03:47.550
将AB与CD视为被截平行线

00:03:47.560 --> 00:03:52.700
之后将AB视为截线 将BD与AC视为被截平行线

00:03:52.710 --> 00:03:55.320
显然 如果角ACD和角FAC相等

00:03:55.330 --> 00:03:58.270
角FAC与角ABD相等 则角ACD和角ABD相等

00:03:58.280 --> 00:04:01.530
所以 若四边形对角相等

00:04:01.540 --> 00:04:05.450
与四边形是平行四边形

00:04:05.460 --> 00:04:07.390
互为充要条件