Addition Rule for Probability

Řekněme, že mám pytlík a do něj si dám nějaké zelené kostky

a přesněji, dám si do něj 8 zelených kostek.

A dám si do něj i několik kuliček

Řekněmě, že si tam dám 9 kuliček a budou to zelené kuličky,

a dám si tam i nějaké žluté kostky do toho pytlíku,

A dám tam 5 žlutých kostek.

A dám si do toho pytlíku také nějaké žluté kuličky.

Dejme tomu 7 žlutých kuliček.

Dám je všechny do toho pytlíku a zatřesu s ním,

a potom je všechny vysypu a podívám se

na první objekt, který z pytlíku vypadl.

Nad čím bych se chtěl v tomto videu zamyslet, je toto:

Jaká je pravděpodobnost že z pytlíku vypadnou různé druhy předmětů?

Například, jaká je pravděpodobnost,

že mi vypadne kostka?

Kostka jakékoliv barvy, jakékoliv.

Jaká je pravděpodobnost, že mi vypadne kostka?

No a abych na to přišel, musím se zamyslet...

Jeden způsob jak o tom přemýšlet je tento:

Kolik je celkem všech možných objektů, které mohou se stejnou pravděpodobností vypadnout z pytlíku jako první?

Máme jich 8 + 9 to je 17 + 5 je 22.

22 + 7 je 29. Takže máme 29 objektů v pytlíku.

Spočítal jsem to správně? Tohle je čtrnáct, ano, 29 objektů.

Pojďmě si nakreslit všechny možné objekty.

A já to znázorním tady do toho velkého prostoru.

Znázorním to jako tento velký prostor tady.

Takže toto jsou možné objekty.

Mám 29 možných objektů.

Je tu 29 stejně pravděpodobných možností, toho co

může vypadnout z pytlíku jako výsledek mého experimentu.

Předpokládejme, že je stejně pravděpodobné, že kostka nebo kulička vypadne z pytlíku.

A kolik z nich splňuje naše kritérium, že to má být kostka?

Mám 8 zelených kostek a 5 žlutých kostek.

Takže celkem 13 kostek.

Namaluji tuto množinu kostek.

Je tu 13 kostek.

Pojďme si je namalovat takto.

13 kostek.

Tohle tady je množina kostek.

A nemaluji to přesně, je to přibližné vyjádření.

Toto představuje množinu všech kostek.

Takže pravděpodobnost, že vypadne kostka

je počet událostí, které splňují naše kritéria,

je to 13 možných kostek, které se stejnou pravděpodobností vypadnou.

V poměru ke všem možným událostem, kterých je 29.

To představuje jak kostky tak kuličky.

A teď si pojďme položit jinou otázku.

Jaká je pravděpodobnost, že mi vypadne žlutý objekt?

Žlutý objekt. Buď kostka nebo kulička.

Takže znovu, kolik věcí splňuje naše kritéria?

Mám 5 + 7; v pytlíku je 12 žlutých objektů.

Takže máme 29 stejně pravděpodobných možností.

Udělám to stejnou barvou.

Máme 29 stejných možností, a z nich,

12 splňuje naši podmínku. Tak pojďme namalovat 12 přímo tady.

Udělám svůj nejlepší odhad, takže to bude vypadat asi takto....

Toto je množina dvanácti žlutých objektů

Máme 12 objektů, které jsou žluté.

Takže 12 z 29 možností, splňuje naši podmínku.

Takže pravděpodobnost, že vypadne kostka, je 13 lomeno 29.

Pravděpodobnost, že vypadne žlutý objekt, je 12 lomeno 29.

A teď si pojďme ukázat něco zajímavějšího

Jaká je pravděpodobnost......

....pravděpodobnost, že vypadne žlutá kostka?

Vezmu si žlutou, teď nás bude zajímat barva.

Takže to namaluju žlutou.

Jaká je pravděpodobnost, že vypadne, jak by můj syn řekl žutá,

jaká je pradvěpodobnost, že vypadne žlutá kostka?

Máme 29 stejně pravděpodobných možností.

29 stejně pravděpodobných možností.

A z těchto 29 stejně pravděpodobných možností, 5 jsou žluté kostky.

Anebo "žuté" kostky.

5 z nich. Pravděpodobnost je tedy 5 lomeno 29.

A kde toto uvidíme na Vennově diagramu, který jsem nakreslil?

Vennův diagram je pouze způsob, jakým vizualizuji různé možnosti.

A začínají být zajímavé, když začnete uvažovat o tom, kde se překrývají.

A nebo kde se nepřekrývají.

takže tu uvažujeme o objektech, které jsou součástí množiny žlutých objektů

a také součástí množiny kostek.

Takže tento prostor tady, to je překryv těchto dvou množin.

Takže tento prostor tady

Ten představuje objekty, které jsou žluté a jsou kostky.

protože jsou uvnitř obou těchto kruhů.

Takže přímo tady. Napíšu to tady.

Tady je 5 objektů, které jsou žluté a

a jsou kostky.

A teď si položme otázku, a je to asi nejzajímavější otázka,

Jaká je pravděpodobnost

...že nám vypadne něco co je žluté

nebo je to kostka

Kostka jakékoliv barvy.

Kostka jakékoliv barvy.

Pravděpodobnost toho, že nám vypadne objekt, který je žlutý nebo je to kostka jakékoliv barvy.

Stále víme, že jmenovatel bude 29

to je počet všech stejně pravděpodobných možností, co mohou vypadnout z pytlíku.

Ale kolik je možností, které splňují naší podmínku?

Jedním ze způsobů, jak to vyřešit,

jeden způsob je:

patrně je tu 12 objektů, které splňují podmínku žluté barvy

To bude tento celý kruh tady,

12 objektů splňujících podmínku žluté barvy.

Tohle tady je 12.

počet žlutých objektů. 12.

Ale k tomu nemůžeme jen přičíst počet kostek,

protože kdybychom přičetli počet kostek,

přičetli bychom i 5 kostek, které už jsou součástí žlutých objektů.

Ty už jsou součástí těchto 12.

jeden způsob jak na to jít je tento:

Máme 7 žlutých objektů které nejsou kostky,

jsou to kuličky.

A máme 5 žlutých objektů, které jsou kostky.

A potom máme 8 kostek, které nejsou žluté.

To jeden způsob řešení.

Takže když spočítáme těchto 12, počet žlutých objektů,

počítáme se všemi dvanácti.

Takže nemůžeme pouze přičíst počet kostek

protože to by zahrnulo tuto střední část podruhé.

Takže musíme spočítat jenom kostky

počet kostek, kterých je 13.

13 je počet kostek.

Počet kostek.

Musím odečíst tady tu střední část.

Pojďme to udělat.

Odečíst tady tu střední část.

Takže minus 5.

Takže toto, to je počet žlutých kostek.

Vypadá to divně, psát slovo žlutá zelenou barvou.

Počet žlutých kostek.

A jiný způsob, jak to řešit, je

že si uděláme početní cvičení

12 + 13 - 5 je kolik? To je ....20.

Udělal jsem to správně? 12 minus....jo, je to 20.

Takže jeden způsob je tento, a dostanete výsledek 20 ku 29.

Ale ještě zajímavější věc, dokonce víc než zjištění této pravděpodobnosti,

je vyjádření tohoto jevu pomocí jiných pravděpodobností,

krere jsme vyřešili dříve v tomto videu.

Pojďmě se nad tím chvíli zamyslet.

Můžeme přepsat tento zlomek.

Můžeme ho přepsat takto: 12/29 plus 13/29 minus 5/29

A to byl počet všech žlutých objektů ze všech možností.

Takže toto tady byla pravděpodobnost, že vypadne žlutý objekt

A toto tady je počet všech kostek ze všech možností

Takže toto je plus pravděpodobnost, že vypadne kostka

Pravděpodobnost, že vypadne kostka.

A tohle tady byl počet žlutých kostek ze všech možností.

Takže toto tady

minus pravděpodobnost objektu, který je žlutý a zároveň je to kostka.

A můžu to napsat tímto způsobem.

Pravděpodobnost žlutého objektu, fajn, žlutá žlutě,

a pravděpodobnost kostky.

pravděpodobnost, že to bude žlutá a bude to kostka.

Tak, a to co máme tady,

a můžete si hrát s čísly,

čísla, která jsem právě použil jako příklad.

Aby to bylo více konkrétní.

Ale vidíte, že je to obecná věc.

když máme pravděpodobnost jedné podmínky nebo několika podmínek.

Já to tady přepíšu.

pravděpodobnost, a já to zapíšu trochu obecněji.

To představuje zajímavou myšlenku.

pravděpodobnost, že bude splněna podmínka

že objekt je součástí množiny A nebo množiny B,

se rovná součtu pravděpodobností, že je součástí množiny A

plus pravděpodobnost, že je součástí množiny B,

minus pravděpodobnost, že je součástí obou množin.

minus pravděpodobnost, že je součástí obou množin.

A to je opravdu zajímavý výsledek

a myslím, že se to někdy nazývá pravidlo sčítání pravděpodobností.

Já vám chci ukázat, že to je normální selský rozum.

Důvod, proč nemůžete sečíst tyto dvě množiny pravděpodobností,

je proto, že se překrývají,

tedy je tu pravděpodobnost, že mohu získat obě.

A když je pouze sečtete,

bude dvakrát sčítat obsah, kterým se obě množiny překrývají.

Což jsme viděli dříve v tomto videu.

Takže musíte obsah překryvu jednou odečíst

abyste ho nesčítali dvakrát.

A ještě přihodím jednu myšlenku.

Někdy máme pravděpodobnosti, které se vůbec nepřekrývají.

Tak řekněme, že toto je množina všech pravděpodobností

toto je množina všech pravděpodobností

A řekněme, že tato množina splňuje podmínku A.

A řekněme, že tato množina splňuje podmínku A.

A řekněme, tohle udělám jinou barvou,

řekněme, že tato množina splňuje podmínku B.

V takové situaci není žádný překryv.

Nemůže být; nic není součástí jak množiny A, tak množiny B.

V takové situaci, je nulová pravděpodobnost, že něco je součástí množiny A i B.

není tu žádný překryv.

A tento typ podmínek, nebo událostí,

tomu se říká vzájemně neslučitelné jevy.

Vzájemně neslučitelné, nebo také disjunktní.

Takže pokud jsou jevy vzájemně neslučitelné, tak to znamená

že nemohou oba nastat současně.

Takže, není žádná událost, jev, který by splňoval obě podmínky.

A pokud jsou podmínky vzájemně neslučitelné,

tak můžete říct, že pravděpodobnost, že něco je součástí množiny A nebo B, je součtem těchto množin.

Protože tady toto je nula.

Ale pokud podmínky nejsou vzájemně neslučitelné,

musíte odečíst překryv.

A ten nejsnadnější a pravděpodobně nejlepší způsob, jak o tom uvažovat

je prostě vždy si uvědomit, že musíte odečíst překryv množin,

a pochopitelně, když jsou podmínky vzájemně neslučitelné,

pravděpodobnost, že je něco členem A i B bude 0.

řekněme, že mám pytlík a do něj dám nějaké zelené kostky.