< Return to Video

Introduction to logarithm properties (part 2)

  • 0:01 - 0:04
    Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите.
  • 0:04 - 0:05
    За първото...
  • 0:05 - 0:09
    винаги съм мислел, че това по един или друг начин
    е най-ясното от всички.
  • 0:09 - 0:11
    Но не се отчайвай, ако не ти е ясно.
  • 0:11 - 0:13
    Може би ще ти е нужно
    малко да поразсъждаваш.
  • 0:13 - 0:16
    Насърчавам те да експериментираш
    с всички тези свойства на логаритмите,
  • 0:16 - 0:18
    защото само по този начин ще ги научиш.
  • 0:18 - 0:21
    В математиката главното е не просто
    да се мине следващия изпит,
  • 0:21 - 0:22
    или да се изкара шестица на изпита.
  • 0:22 - 0:25
    Главното в математиката е да се разбере,
  • 0:25 - 0:26
    за да може в крайна сметка да се прилага
    по-нататък в живота,
  • 0:26 - 0:30
    без да се налага всеки път всичко
    да се учи наново.
  • 0:30 - 0:31
    И така, следващото свойство на логаритмите е,
  • 0:31 - 0:43
    ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В,
    ако имаме А пъти по цялото това нещо,
  • 0:43 - 0:59
    тогава това е равно на
    логаритъм от С на степен А с основа В.
  • 0:59 - 1:01
    Удивително.
  • 1:01 - 1:02
    Нека видим дали това върши работа.
  • 1:02 - 1:17
    Ако имам три пъти по
    логаритъм от осем при основа две.
  • 1:17 - 1:19
    Това свойство ни казва, че това
  • 1:19 - 1:30
    ще е равно на логаритъм от осем
    при основа две на трета степен.
  • 1:30 - 1:32
    А това е същото.
  • 1:32 - 1:38
    Това ще е същото като...можем
    да го изчислим.
  • 1:38 - 1:39
    Нека видим какво е това.
  • 1:40 - 1:43
    Три пъти по логаритъм с основа...
    колко е логаритъм от осем при основа две?
  • 1:43 - 1:46
    Причината да се поколебая преди малко е,
  • 1:46 - 1:48
    че всеки път, когато искам да намеря нещо,
  • 1:48 - 1:53
    някак вътре в себе си искам да използвам
    правилата на логаритмите и степените за целта.
  • 1:53 - 1:54
    Така че се опитвам да избягвам това.
  • 1:54 - 1:56
    Както и да е, да се върнем на задачата.
  • 1:56 - 1:57
    Какво става тук?
  • 1:57 - 1:59
    Две на коя степен дава осем?
  • 1:59 - 2:01
    Две на трета степен е осем, нали така?
  • 2:01 - 2:02
    Така че това дава 3.
  • 2:02 - 2:05
    Имаме тази тройка тук, така че
    това е 3, умножено по 3.
  • 2:05 - 2:09
    И това тук трябва да е равно на 9.
  • 2:09 - 2:11
    Ако е равно на девет,
  • 2:11 - 2:13
    тогава знаем, че това свойство важи
    поне за този пример.
  • 2:13 - 2:15
    Човек не знае дали е така и при други примери,
  • 2:15 - 2:19
    и затова може би ще искаш да видиш
    доказателството, което го има в другите клипове.
  • 2:19 - 2:21
    Но това е един вид за напреднали.
  • 2:21 - 2:24
    Важното е първо да се разбере
    как се използва.
  • 2:24 - 2:28
    Нека видим, колко дава 2 на девета степен?
  • 2:28 - 2:29
    Явно ще е някакво голямо число.
  • 2:29 - 2:33
    Всъщност, знам кое е то –
    това е ...
  • 2:33 - 2:35
    Миналия път намерихме, че
  • 2:35 - 2:38
    2 на осма степен е равно на 256.
  • 2:38 - 2:45
    И 2 на девета степен е 512.
  • 2:45 - 2:51
    А ако 8 на трета степен също прави 512,
    тогава сме го решили вярно, нали?
  • 2:51 - 2:58
    Понеже log от 512
    при основа 2 ще е равно на 9.
  • 2:58 - 3:01
    А колко е 8 на трета степен?
  • 3:01 - 3:05
    8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е...
    нека видим.
  • 3:05 - 3:08
    Четири пъти по осем. Така, това е две и три.
  • 3:08 - 3:10
    Шест пъти по осем – изглежда това е 512.
  • 3:10 - 3:12
    Точно така.
  • 3:12 - 3:14
    Има и други начини, по които
    можеше да го направим.
  • 3:14 - 3:16
    Защото можеше да кажем, че 8
    на трета степен
  • 3:16 - 3:17
    е точно равно на 2 на девета степен.
  • 3:17 - 3:18
    Откъде знаем това?
  • 3:18 - 3:21
    8 на трета степен
  • 3:21 - 3:25
    е равно на 2 на трета степен,
    това цялото на трета степен, нали?
  • 3:25 - 3:28
    Просто преобразувах 8.
  • 3:28 - 3:31
    И от правилата за степенуване знаем, че
    2 на трета степен, цялото на трета степен
  • 3:31 - 3:35
    е същото като 2 на девета степен.
  • 3:35 - 3:39
    И всъщност това е свойство на степените,
    където можем да умножаваме –
  • 3:39 - 3:41
    когато повдигнем нещо на някаква степен,
    и повдигнатото го повдигнем на степен,
  • 3:41 - 3:44
    можем само да умножим показателите –
  • 3:44 - 3:51
    това е свойството на степен от степен,
    което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите.
  • 3:51 - 3:54
    Но в тази презентация няма
    да задълбавам толкова за това.
  • 3:54 - 3:58
    Има цял един клип с по-подробно доказателство.
  • 3:58 - 4:02
    Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите –
  • 4:02 - 4:05
    и след това ще преговорим всичко
    и може би ще решим някои примери.
  • 4:05 - 4:12
    Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите,
    ако си пристрастен/а към калкулатора.
  • 4:12 - 4:14
    Ще ти покажа защо.
  • 4:14 - 4:26
    Да кажем, че имам log от А при основа В,
  • 4:26 - 4:40
    равно на log от А при основа С,
    разделено на log от В при основа С.
  • 4:40 - 4:45
    Защо това е едно полезно свойство
    за пристрастените към калкулатора?
  • 4:45 - 4:48
    Да кажем, че отиваш в час и има контролно.
  • 4:48 - 4:51
    Учителят казва, че можете
    да използвате калкулаторите си,
  • 4:51 - 5:03
    и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17.
  • 5:03 - 5:08
    И ти ще се засуетиш, търсейки копчето
    log с основа 17 на калкулатора си,
  • 5:08 - 5:10
    и не го намираш.
  • 5:10 - 5:14
    Защото на калкулатора няма копче
    с log и основа 17.
  • 5:14 - 5:17
    Вероятно ще има копче log
  • 5:17 - 5:19
    или копче ln.
  • 5:19 - 5:22
    И за да знаеш, само да ти кажа, че
    копчето log на калкулатора ти
  • 5:22 - 5:25
    вероятно е с основа 10.
  • 5:25 - 5:28
    А копчето ln на калкулатора
  • 5:28 - 5:30
    ще е с основа е.
  • 5:30 - 5:32
    Ако още не познаваш е,
    не се притеснявай за него,
  • 5:32 - 5:34
    то е равно на около 2,71.
  • 5:34 - 5:35
    То е число.
  • 5:35 - 5:41
    Това е едно изумително число, но ще говорим
    за това в някое видео в бъдеще.
  • 5:41 - 5:45
    Та на твоя калкулатор са налице
    само две основи.
  • 5:45 - 5:48
    И ако искаш да намериш
    логаритъм с друга основа,
  • 5:48 - 5:50
    ползваш това свойство.
  • 5:50 - 5:53
    И ако на изпит ти дадат това,
  • 5:53 - 5:58
    можеш да кажеш уверено: О,
    това си е същото като...
  • 5:58 - 6:02
    ще трябва да превключиш на жълт цвят,
    за да действаш с увереност –
  • 6:02 - 6:06
    log с основа – тя може да е или е, или 10.
  • 6:06 - 6:11
    Можем да кажем, че това е същото като
    log от 357 при основа десет,
  • 6:11 - 6:16
    разделено на log от 17 при основа 10.
  • 6:16 - 6:20
    Така че може просто да изпишем
    357 на калкулатора
  • 6:20 - 6:20
    и да натиснем бутона log
  • 6:20 - 6:22
    и ще получим дрън-дрън-дрън.
  • 6:22 - 6:23
    И тогава, какво – можем да го изчистим,
  • 6:23 - 6:26
    или ако знаем как да използваме кръглите скоби
    на калкулатора, можем да направим това.
  • 6:26 - 6:28
    Но тогава изписваме 17 на калкулатора,
  • 6:28 - 6:30
    натискаме копчето log, и получаваме
    дрън-дрън-дрън.
  • 6:30 - 6:31
    След това го разделяме и получаваме
    нашия отговор.
  • 6:31 - 6:37
    Така че това е едно доста полезно свойство
    за калкулаторните маниаци.
  • 6:37 - 6:41
    И пак да кажа, че няма да навлизам
    в големи подробности.
  • 6:41 - 6:44
    Това свойство за мен е най-полезно,
  • 6:44 - 6:48
    но не напълно.
  • 6:48 - 6:50
    Очевидно то не е сред свойствата
    на степените.
  • 6:50 - 6:54
    Но да опиша по прост начин логиката
    за това ми е трудно,
  • 6:54 - 6:55
    така че вероятно искаш да видиш доказателството,
  • 6:55 - 6:58
    ако не вярваш защо се случва това.
  • 6:58 - 7:00
    Но както и да е, всичко това
  • 7:00 - 7:03
    вероятно ще използваш
    през по-голямата част от живота си.
  • 7:03 - 7:06
    Аз все още го използвам в работата си.
  • 7:06 - 7:09
    Просто знай, че логаритмите са полезни.
  • 7:09 - 7:14
    Нека решим няколко примера.
  • 7:14 - 7:19
    Нека само препишем няколко неща
    в по-проста форма.
  • 7:19 - 7:37
    Ако искам да запиша log с основа две
    от квадратен корен от...
  • 7:37 - 7:38
    нека помисля нещо.
  • 7:38 - 7:51
    От 32, разделено на куба...не,
    ще е само квадратния корен.
  • 7:51 - 7:54
    Разделено на квадратен корен от осем.
  • 7:54 - 7:59
    Как мога да препиша това, за да
    не е разхвърляно?
  • 7:59 - 8:00
    Нека помислим по въпроса.
  • 8:00 - 8:04
    Това е същото, то е равно на...
  • 8:04 - 8:06
    Не знам дали да се придвижа отвесно
    или хоризонтално.
  • 8:06 - 8:07
    Нека е отвесно.
  • 8:07 - 8:13
    Това е равно на log от 32 при основа 2
  • 8:13 - 8:18
    върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така?
  • 8:18 - 8:21
    И от свойствата на логаритмите знаем,
    от третото свойство научихме,
  • 8:21 - 8:26
    че това е равно на 1/2,
  • 8:26 - 8:34
    умножено по логаритъм от 32,
    разделено на квадратен корен от 8, нали така?
  • 8:34 - 8:35
    Взех само показателя
  • 8:35 - 8:37
    и го направих коефициент на цялото това.
  • 8:37 - 8:39
    Научихме това в началото на този клип.
  • 8:39 - 8:42
    И сега тук имаме един малък коефициент, нали?
  • 8:42 - 8:45
    Логаритъм от 32, разделено на
    логаритъм от квадратен корен от 8.
  • 8:45 - 8:47
    Можем да използваме другия логаритъм –
  • 8:47 - 8:49
    нека игнорираме това 1/2.
  • 8:49 - 8:56
    Това ще е равно на, скоба, логаритъм –
  • 8:56 - 8:58
    о, забравих основата.
  • 8:58 - 9:02
    Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм...
    нали така?
  • 9:02 - 9:04
    Понеже това е в коефициента.
  • 9:04 - 9:11
    Минус логаритъм при основа 2
    от квадратен корен от 8.
  • 9:11 - 9:13
    Нали така?
  • 9:13 - 9:13
    Нека видим.
  • 9:13 - 9:16
    Още веднъж тук имаме квадратен корен,
  • 9:16 - 9:22
    така че можем да кажем, че това е равно на 1/2,
    умножено по log от 32 при основа 2.
  • 9:22 - 9:25
    Минус това 8 на степен 1/2,
  • 9:25 - 9:29
    което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2.
  • 9:29 - 9:31
    Научихме това свойство
    в началото на това видео.
  • 9:31 - 9:34
    И тогава ако искаме, можем да разкрием
    скобите и да умножим по 1/2.
  • 9:34 - 9:42
    Това е равно на 1/2 log от 32
    при основа 2 минус 1/4,
  • 9:42 - 9:44
    защото трябва да умножим по 1/2,
  • 9:44 - 9:47
    минус 1/4 log от 8 при основа 2.
  • 9:47 - 9:52
    Това прави 5/2 минус, това е три.
  • 9:52 - 9:55
    Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4.
  • 9:55 - 9:59
    Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4.
  • 9:59 - 10:03
    Вероятно съм направил няколко аритметични грешки,
    но схващаш принципа.
  • 10:03 - 10:05
    До скоро!
Title:
Introduction to logarithm properties (part 2)
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:05

Bulgarian subtitles

Revisions