-
Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите.
-
За първото...
-
винаги съм мислел, че това по един или друг начин
е най-ясното от всички.
-
Но не се отчайвай, ако не ти е ясно.
-
Може би ще ти е нужно
малко да поразсъждаваш.
-
Насърчавам те да експериментираш
с всички тези свойства на логаритмите,
-
защото само по този начин ще ги научиш.
-
В математиката главното е не просто
да се мине следващия изпит,
-
или да се изкара шестица на изпита.
-
Главното в математиката е да се разбере,
-
за да може в крайна сметка да се прилага
по-нататък в живота,
-
без да се налага всеки път всичко
да се учи наново.
-
И така, следващото свойство на логаритмите е,
-
ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В,
ако имаме А пъти по цялото това нещо,
-
тогава това е равно на
логаритъм от С на степен А с основа В.
-
Удивително.
-
Нека видим дали това върши работа.
-
Ако имам три пъти по
логаритъм от осем при основа две.
-
Това свойство ни казва, че това
-
ще е равно на логаритъм от осем
при основа две на трета степен.
-
А това е същото.
-
Това ще е същото като...можем
да го изчислим.
-
Нека видим какво е това.
-
Три пъти по логаритъм с основа...
колко е логаритъм от осем при основа две?
-
Причината да се поколебая преди малко е,
-
че всеки път, когато искам да намеря нещо,
-
някак вътре в себе си искам да използвам
правилата на логаритмите и степените за целта.
-
Така че се опитвам да избягвам това.
-
Както и да е, да се върнем на задачата.
-
Какво става тук?
-
Две на коя степен дава осем?
-
Две на трета степен е осем, нали така?
-
Така че това дава 3.
-
Имаме тази тройка тук, така че
това е 3, умножено по 3.
-
И това тук трябва да е равно на 9.
-
Ако е равно на девет,
-
тогава знаем, че това свойство важи
поне за този пример.
-
Човек не знае дали е така и при други примери,
-
и затова може би ще искаш да видиш
доказателството, което го има в другите клипове.
-
Но това е един вид за напреднали.
-
Важното е първо да се разбере
как се използва.
-
Нека видим, колко дава 2 на девета степен?
-
Явно ще е някакво голямо число.
-
Всъщност, знам кое е то –
това е ...
-
Миналия път намерихме, че
-
2 на осма степен е равно на 256.
-
И 2 на девета степен е 512.
-
А ако 8 на трета степен също прави 512,
тогава сме го решили вярно, нали?
-
Понеже log от 512
при основа 2 ще е равно на 9.
-
А колко е 8 на трета степен?
-
8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е...
нека видим.
-
Четири пъти по осем. Така, това е две и три.
-
Шест пъти по осем – изглежда това е 512.
-
Точно така.
-
Има и други начини, по които
можеше да го направим.
-
Защото можеше да кажем, че 8
на трета степен
-
е точно равно на 2 на девета степен.
-
Откъде знаем това?
-
8 на трета степен
-
е равно на 2 на трета степен,
това цялото на трета степен, нали?
-
Просто преобразувах 8.
-
И от правилата за степенуване знаем, че
2 на трета степен, цялото на трета степен
-
е същото като 2 на девета степен.
-
И всъщност това е свойство на степените,
където можем да умножаваме –
-
когато повдигнем нещо на някаква степен,
и повдигнатото го повдигнем на степен,
-
можем само да умножим показателите –
-
това е свойството на степен от степен,
което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите.
-
Но в тази презентация няма
да задълбавам толкова за това.
-
Има цял един клип с по-подробно доказателство.
-
Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите –
-
и след това ще преговорим всичко
и може би ще решим някои примери.
-
Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите,
ако си пристрастен/а към калкулатора.
-
Ще ти покажа защо.
-
Да кажем, че имам log от А при основа В,
-
равно на log от А при основа С,
разделено на log от В при основа С.
-
Защо това е едно полезно свойство
за пристрастените към калкулатора?
-
Да кажем, че отиваш в час и има контролно.
-
Учителят казва, че можете
да използвате калкулаторите си,
-
и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17.
-
И ти ще се засуетиш, търсейки копчето
log с основа 17 на калкулатора си,
-
и не го намираш.
-
Защото на калкулатора няма копче
с log и основа 17.
-
Вероятно ще има копче log
-
или копче ln.
-
И за да знаеш, само да ти кажа, че
копчето log на калкулатора ти
-
вероятно е с основа 10.
-
А копчето ln на калкулатора
-
ще е с основа е.
-
Ако още не познаваш е,
не се притеснявай за него,
-
то е равно на около 2,71.
-
То е число.
-
Това е едно изумително число, но ще говорим
за това в някое видео в бъдеще.
-
Та на твоя калкулатор са налице
само две основи.
-
И ако искаш да намериш
логаритъм с друга основа,
-
ползваш това свойство.
-
И ако на изпит ти дадат това,
-
можеш да кажеш уверено: О,
това си е същото като...
-
ще трябва да превключиш на жълт цвят,
за да действаш с увереност –
-
log с основа – тя може да е или е, или 10.
-
Можем да кажем, че това е същото като
log от 357 при основа десет,
-
разделено на log от 17 при основа 10.
-
Така че може просто да изпишем
357 на калкулатора
-
и да натиснем бутона log
-
и ще получим дрън-дрън-дрън.
-
И тогава, какво – можем да го изчистим,
-
или ако знаем как да използваме кръглите скоби
на калкулатора, можем да направим това.
-
Но тогава изписваме 17 на калкулатора,
-
натискаме копчето log, и получаваме
дрън-дрън-дрън.
-
След това го разделяме и получаваме
нашия отговор.
-
Така че това е едно доста полезно свойство
за калкулаторните маниаци.
-
И пак да кажа, че няма да навлизам
в големи подробности.
-
Това свойство за мен е най-полезно,
-
но не напълно.
-
Очевидно то не е сред свойствата
на степените.
-
Но да опиша по прост начин логиката
за това ми е трудно,
-
така че вероятно искаш да видиш доказателството,
-
ако не вярваш защо се случва това.
-
Но както и да е, всичко това
-
вероятно ще използваш
през по-голямата част от живота си.
-
Аз все още го използвам в работата си.
-
Просто знай, че логаритмите са полезни.
-
Нека решим няколко примера.
-
Нека само препишем няколко неща
в по-проста форма.
-
Ако искам да запиша log с основа две
от квадратен корен от...
-
нека помисля нещо.
-
От 32, разделено на куба...не,
ще е само квадратния корен.
-
Разделено на квадратен корен от осем.
-
Как мога да препиша това, за да
не е разхвърляно?
-
Нека помислим по въпроса.
-
Това е същото, то е равно на...
-
Не знам дали да се придвижа отвесно
или хоризонтално.
-
Нека е отвесно.
-
Това е равно на log от 32 при основа 2
-
върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така?
-
И от свойствата на логаритмите знаем,
от третото свойство научихме,
-
че това е равно на 1/2,
-
умножено по логаритъм от 32,
разделено на квадратен корен от 8, нали така?
-
Взех само показателя
-
и го направих коефициент на цялото това.
-
Научихме това в началото на този клип.
-
И сега тук имаме един малък коефициент, нали?
-
Логаритъм от 32, разделено на
логаритъм от квадратен корен от 8.
-
Можем да използваме другия логаритъм –
-
нека игнорираме това 1/2.
-
Това ще е равно на, скоба, логаритъм –
-
о, забравих основата.
-
Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм...
нали така?
-
Понеже това е в коефициента.
-
Минус логаритъм при основа 2
от квадратен корен от 8.
-
Нали така?
-
Нека видим.
-
Още веднъж тук имаме квадратен корен,
-
така че можем да кажем, че това е равно на 1/2,
умножено по log от 32 при основа 2.
-
Минус това 8 на степен 1/2,
-
което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2.
-
Научихме това свойство
в началото на това видео.
-
И тогава ако искаме, можем да разкрием
скобите и да умножим по 1/2.
-
Това е равно на 1/2 log от 32
при основа 2 минус 1/4,
-
защото трябва да умножим по 1/2,
-
минус 1/4 log от 8 при основа 2.
-
Това прави 5/2 минус, това е три.
-
Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4.
-
Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4.
-
Вероятно съм направил няколко аритметични грешки,
но схващаш принципа.
-
До скоро!