Introduction to logarithm properties (part 2)

Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите.

За първото...

винаги съм мислел, че това по един или друг начин
е най-ясното от всички.

Но не се отчайвай, ако не ти е ясно.

Може би ще ти е нужно
малко да поразсъждаваш.

Насърчавам те да експериментираш
с всички тези свойства на логаритмите,

защото само по този начин ще ги научиш.

В математиката главното е не просто
да се мине следващия изпит,

или да се изкара шестица на изпита.

Главното в математиката е да се разбере,

за да може в крайна сметка да се прилага
по-нататък в живота,

без да се налага всеки път всичко
да се учи наново.

И така, следващото свойство на логаритмите е,

ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В,
ако имаме А пъти по цялото това нещо,

тогава това е равно на
логаритъм от С на степен А с основа В.

Удивително.

Нека видим дали това върши работа.

Ако имам три пъти по
логаритъм от осем при основа две.

Това свойство ни казва, че това

ще е равно на логаритъм от осем
при основа две на трета степен.

А това е същото.

Това ще е същото като...можем
да го изчислим.

Нека видим какво е това.

Три пъти по логаритъм с основа...
колко е логаритъм от осем при основа две?

Причината да се поколебая преди малко е,

че всеки път, когато искам да намеря нещо,

някак вътре в себе си искам да използвам
правилата на логаритмите и степените за целта.

Така че се опитвам да избягвам това.

Както и да е, да се върнем на задачата.

Какво става тук?

Две на коя степен дава осем?

Две на трета степен е осем, нали така?

Така че това дава 3.

Имаме тази тройка тук, така че
това е 3, умножено по 3.

И това тук трябва да е равно на 9.

Ако е равно на девет,

тогава знаем, че това свойство важи
поне за този пример.

Човек не знае дали е така и при други примери,

и затова може би ще искаш да видиш
доказателството, което го има в другите клипове.

Но това е един вид за напреднали.

Важното е първо да се разбере
как се използва.

Нека видим, колко дава 2 на девета степен?

Явно ще е някакво голямо число.

Всъщност, знам кое е то –
това е ...

Миналия път намерихме, че

2 на осма степен е равно на 256.

И 2 на девета степен е 512.

А ако 8 на трета степен също прави 512,
тогава сме го решили вярно, нали?

Понеже log от 512
при основа 2 ще е равно на 9.

А колко е 8 на трета степен?

8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е...
нека видим.

Четири пъти по осем. Така, това е две и три.

Шест пъти по осем – изглежда това е 512.

Точно така.

Има и други начини, по които
можеше да го направим.

Защото можеше да кажем, че 8
на трета степен

е точно равно на 2 на девета степен.

Откъде знаем това?

8 на трета степен

е равно на 2 на трета степен,
това цялото на трета степен, нали?

Просто преобразувах 8.

И от правилата за степенуване знаем, че
2 на трета степен, цялото на трета степен

е същото като 2 на девета степен.

И всъщност това е свойство на степените,
където можем да умножаваме –

когато повдигнем нещо на някаква степен,
и повдигнатото го повдигнем на степен,

можем само да умножим показателите –

това е свойството на степен от степен,
което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите.

Но в тази презентация няма
да задълбавам толкова за това.

Има цял един клип с по-подробно доказателство.

Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите –

и след това ще преговорим всичко
и може би ще решим някои примери.

Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите,
ако си пристрастен/а към калкулатора.

Ще ти покажа защо.

Да кажем, че имам log от А при основа В,

равно на log от А при основа С,
разделено на log от В при основа С.

Защо това е едно полезно свойство
за пристрастените към калкулатора?

Да кажем, че отиваш в час и има контролно.

Учителят казва, че можете
да използвате калкулаторите си,

и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17.

И ти ще се засуетиш, търсейки копчето
log с основа 17 на калкулатора си,

и не го намираш.

Защото на калкулатора няма копче
с log и основа 17.

Вероятно ще има копче log

или копче ln.

И за да знаеш, само да ти кажа, че
копчето log на калкулатора ти

вероятно е с основа 10.

А копчето ln на калкулатора

ще е с основа е.

Ако още не познаваш е,
не се притеснявай за него,

то е равно на около 2,71.

То е число.

Това е едно изумително число, но ще говорим
за това в някое видео в бъдеще.

Та на твоя калкулатор са налице
само две основи.

И ако искаш да намериш
логаритъм с друга основа,

ползваш това свойство.

И ако на изпит ти дадат това,

можеш да кажеш уверено: О,
това си е същото като...

ще трябва да превключиш на жълт цвят,
за да действаш с увереност –

log с основа – тя може да е или е, или 10.

Можем да кажем, че това е същото като
log от 357 при основа десет,

разделено на log от 17 при основа 10.

Така че може просто да изпишем
357 на калкулатора

и да натиснем бутона log

и ще получим дрън-дрън-дрън.

И тогава, какво – можем да го изчистим,

или ако знаем как да използваме кръглите скоби
на калкулатора, можем да направим това.

Но тогава изписваме 17 на калкулатора,

натискаме копчето log, и получаваме
дрън-дрън-дрън.

След това го разделяме и получаваме
нашия отговор.

Така че това е едно доста полезно свойство
за калкулаторните маниаци.

И пак да кажа, че няма да навлизам
в големи подробности.

Това свойство за мен е най-полезно,

но не напълно.

Очевидно то не е сред свойствата
на степените.

Но да опиша по прост начин логиката
за това ми е трудно,

така че вероятно искаш да видиш доказателството,

ако не вярваш защо се случва това.

Но както и да е, всичко това

вероятно ще използваш
през по-голямата част от живота си.

Аз все още го използвам в работата си.

Просто знай, че логаритмите са полезни.

Нека решим няколко примера.

Нека само препишем няколко неща
в по-проста форма.

Ако искам да запиша log с основа две
от квадратен корен от...

нека помисля нещо.

От 32, разделено на куба...не,
ще е само квадратния корен.

Разделено на квадратен корен от осем.

Как мога да препиша това, за да
не е разхвърляно?

Нека помислим по въпроса.

Това е същото, то е равно на...

Не знам дали да се придвижа отвесно
или хоризонтално.

Нека е отвесно.

Това е равно на log от 32 при основа 2

върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така?

И от свойствата на логаритмите знаем,
от третото свойство научихме,

че това е равно на 1/2,

умножено по логаритъм от 32,
разделено на квадратен корен от 8, нали така?

Взех само показателя

и го направих коефициент на цялото това.

Научихме това в началото на този клип.

И сега тук имаме един малък коефициент, нали?

Логаритъм от 32, разделено на
логаритъм от квадратен корен от 8.

Можем да използваме другия логаритъм –

нека игнорираме това 1/2.

Това ще е равно на, скоба, логаритъм –

о, забравих основата.

Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм...
нали така?

Понеже това е в коефициента.

Минус логаритъм при основа 2
от квадратен корен от 8.

Нали така?

Нека видим.

Още веднъж тук имаме квадратен корен,

така че можем да кажем, че това е равно на 1/2,
умножено по log от 32 при основа 2.

Минус това 8 на степен 1/2,

което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2.

Научихме това свойство
в началото на това видео.

И тогава ако искаме, можем да разкрием
скобите и да умножим по 1/2.

Това е равно на 1/2 log от 32
при основа 2 минус 1/4,

защото трябва да умножим по 1/2,

минус 1/4 log от 8 при основа 2.

Това прави 5/2 минус, това е три.

Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4.

Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4.

Вероятно съм направил няколко аритметични грешки,
но схващаш принципа.

До скоро!