0:00:01.090,0:00:04.100
Привет! Сега ще ти покажа последните две свойства на логаритмите.

0:00:04.100,0:00:04.890
За първото...

0:00:04.900,0:00:08.560
винаги съм мислел, че това по един или друг начин[br]е най-ясното от всички.

0:00:08.560,0:00:11.440
Но не се отчайвай, ако не ти е ясно.

0:00:11.450,0:00:13.110
Може би ще ти е нужно [br]малко да поразсъждаваш.

0:00:13.120,0:00:15.690
Насърчавам те да експериментираш[br]с всички тези свойства на логаритмите,

0:00:15.690,0:00:18.210
защото само по този начин ще ги научиш.

0:00:18.220,0:00:21.350
В математиката главното е не просто[br]да се мине следващия изпит,

0:00:21.350,0:00:22.470
или да се изкара шестица на изпита.

0:00:22.490,0:00:24.840
Главното в математиката е да се разбере,

0:00:24.850,0:00:26.400
за да може в крайна сметка да се прилага [br]по-нататък в живота,

0:00:26.400,0:00:29.980
без да се налага всеки път всичко [br]да се учи наново.

0:00:29.990,0:00:31.260
И така, следващото свойство на логаритмите е,

0:00:31.270,0:00:43.070
ако имаме А пъти логаритъм от С с основа В, [br]ако имаме А пъти по цялото това нещо,

0:00:43.070,0:00:59.160
тогава това е равно на [br]логаритъм от С на степен А с основа В.

0:00:59.170,0:01:00.520
Удивително.

0:01:00.530,0:01:02.290
Нека видим дали това върши работа.

0:01:02.290,0:01:17.210
Ако имам три пъти по [br]логаритъм от осем при основа две.

0:01:17.210,0:01:18.850
Това свойство ни казва, че това

0:01:18.860,0:01:30.240
ще е равно на логаритъм от осем [br]при основа две на трета степен.

0:01:30.250,0:01:32.200
А това е същото.

0:01:32.200,0:01:38.150
Това ще е същото като...можем [br]да го изчислим.

0:01:38.150,0:01:39.490
Нека видим какво е това.

0:01:39.500,0:01:43.480
Три пъти по логаритъм с основа...[br]колко е логаритъм от осем при основа две?

0:01:43.480,0:01:45.540
Причината да се поколебая преди малко е,

0:01:45.540,0:01:48.060
че всеки път, когато искам да намеря нещо,

0:01:48.060,0:01:52.770
някак вътре в себе си искам да използвам [br]правилата на логаритмите и степените за целта.

0:01:52.780,0:01:54.200
Така че се опитвам да избягвам това.

0:01:54.200,0:01:55.660
Както и да е, да се върнем на задачата.

0:01:55.670,0:01:57.350
Какво става тук?

0:01:57.350,0:01:58.537
Две на коя степен дава осем?

0:01:58.537,0:02:00.550
Две на трета степен е осем, нали така?

0:02:00.560,0:02:01.880
Така че това дава 3.

0:02:01.890,0:02:05.060
Имаме тази тройка тук, така че [br]това е 3, умножено по 3.

0:02:05.060,0:02:09.310
И това тук трябва да е равно на 9.

0:02:09.310,0:02:10.690
Ако е равно на девет,

0:02:10.690,0:02:12.960
тогава знаем, че това свойство важи[br]поне за този пример.

0:02:12.960,0:02:14.570
Човек не знае дали е така и при други примери,

0:02:14.580,0:02:18.620
и затова може би ще искаш да видиш[br]доказателството, което го има в другите клипове.

0:02:18.620,0:02:20.960
Но това е един вид за напреднали.

0:02:20.960,0:02:24.480
Важното е първо да се разбере[br]как се използва.

0:02:24.490,0:02:27.770
Нека видим, колко дава 2 на девета степен?

0:02:27.770,0:02:29.240
Явно ще е някакво голямо число.

0:02:29.250,0:02:32.740
Всъщност, знам кое е то – [br]това е ...

0:02:32.740,0:02:34.890
Миналия път намерихме, че

0:02:34.900,0:02:38.110
2 на осма степен е равно на 256.

0:02:38.110,0:02:44.820
И 2 на девета степен е 512.

0:02:44.880,0:02:50.810
А ако 8 на трета степен също прави 512, [br]тогава сме го решили вярно, нали?

0:02:50.810,0:02:57.770
Понеже log от 512 [br]при основа 2 ще е равно на 9.

0:02:57.780,0:03:00.610
А колко е 8 на трета степен?

0:03:00.650,0:03:05.430
8 на квадрат е 64, така че 8 на трета степен е...[br]нека видим.

0:03:05.430,0:03:07.730
Четири пъти по осем. Така, това е две и три.

0:03:07.740,0:03:10.410
Шест пъти по осем – изглежда това е 512.

0:03:10.410,0:03:12.140
Точно така.

0:03:12.150,0:03:13.650
Има и други начини, по които [br]можеше да го направим.

0:03:13.650,0:03:15.550
Защото можеше да кажем, че 8[br]на трета степен

0:03:15.560,0:03:16.940
е точно равно на 2 на девета степен.

0:03:16.940,0:03:18.120
Откъде знаем това?

0:03:18.130,0:03:20.630
8 на трета степен

0:03:20.630,0:03:25.230
е равно на 2 на трета степен, [br]това цялото на трета степен, нали?

0:03:25.240,0:03:28.020
Просто преобразувах 8.

0:03:28.030,0:03:31.290
И от правилата за степенуване знаем, че [br]2 на трета степен, цялото на трета степен

0:03:31.290,0:03:35.280
е същото като 2 на девета степен.

0:03:35.280,0:03:39.140
И всъщност това е свойство на степените, [br]където можем да умножаваме –

0:03:39.150,0:03:41.380
когато повдигнем нещо на някаква степен, [br]и повдигнатото го повдигнем на степен,

0:03:41.400,0:03:44.000
можем само да умножим показателите –

0:03:44.020,0:03:50.630
това е свойството на степен от степен,[br]което всъщност отвежда към свойствата на логаритмите.

0:03:50.650,0:03:54.080
Но в тази презентация няма [br]да задълбавам толкова за това.

0:03:54.090,0:03:58.450
Има цял един клип с по-подробно доказателство.

0:03:58.460,0:04:01.820
Сега ще ти покажа следващото свойство на логаритмите –

0:04:01.830,0:04:04.580
и след това ще преговорим всичко [br]и може би ще решим някои примери.

0:04:04.580,0:04:11.570
Вероятно това е най-полезното свойство на логаритмите, [br]ако си пристрастен/а към калкулатора.

0:04:11.570,0:04:13.690
Ще ти покажа защо.

0:04:13.690,0:04:26.380
Да кажем, че имам log от А при основа В,

0:04:26.390,0:04:40.470
равно на log от А при основа С, [br]разделено на log от В при основа С.

0:04:40.480,0:04:45.210
Защо това е едно полезно свойство [br]за пристрастените към калкулатора?

0:04:45.210,0:04:48.340
Да кажем, че отиваш в час и има контролно.

0:04:48.350,0:04:51.160
Учителят казва, че можете [br]да използвате калкулаторите си,

0:04:51.160,0:05:03.380
и целта е да се изчисли log от 357 при основа 17.

0:05:03.380,0:05:08.460
И ти ще се засуетиш, търсейки копчето [br]log с основа 17 на калкулатора си,

0:05:08.470,0:05:09.520
и не го намираш.

0:05:09.520,0:05:14.140
Защото на калкулатора няма копче [br]с log и основа 17.

0:05:14.140,0:05:17.400
Вероятно ще има копче log

0:05:17.410,0:05:19.040
или копче ln.

0:05:19.050,0:05:21.800
И за да знаеш, само да ти кажа, че [br]копчето log на калкулатора ти

0:05:21.800,0:05:24.510
вероятно е с основа 10.

0:05:24.510,0:05:28.460
А копчето ln на калкулатора

0:05:28.470,0:05:29.550
ще е с основа е.

0:05:29.560,0:05:31.730
Ако още не познаваш е, [br]не се притеснявай за него,

0:05:31.730,0:05:34.070
то е равно на около 2,71.

0:05:34.070,0:05:35.030
То е число.

0:05:35.040,0:05:40.870
Това е едно изумително число, но ще говорим [br]за това в някое видео в бъдеще.

0:05:40.870,0:05:44.570
Та на твоя калкулатор са налице [br]само две основи.

0:05:44.570,0:05:48.360
И ако искаш да намериш[br]логаритъм с друга основа,

0:05:48.370,0:05:50.010
ползваш това свойство.

0:05:50.010,0:05:53.160
И ако на изпит ти дадат това,

0:05:53.170,0:05:57.540
можеш да кажеш уверено: О, [br]това си е същото като...

0:05:57.540,0:06:01.880
ще трябва да превключиш на жълт цвят, [br]за да действаш с увереност –

0:06:01.880,0:06:05.650
log с основа – тя може да е или е, или 10.

0:06:05.660,0:06:11.280
Можем да кажем, че това е същото като [br]log от 357 при основа десет,

0:06:11.290,0:06:15.800
разделено на log от 17 при основа 10.

0:06:15.810,0:06:19.740
Така че може просто да изпишем [br]357 на калкулатора

0:06:19.740,0:06:20.420
и да натиснем бутона log

0:06:20.420,0:06:22.220
и ще получим дрън-дрън-дрън.

0:06:22.230,0:06:23.220
И тогава, какво – можем да го изчистим,

0:06:23.220,0:06:25.530
или ако знаем как да използваме кръглите скоби[br]на калкулатора, можем да направим това.

0:06:25.540,0:06:28.220
Но тогава изписваме 17 на калкулатора,

0:06:28.220,0:06:29.520
натискаме копчето log, и получаваме [br]дрън-дрън-дрън.

0:06:29.520,0:06:31.390
След това го разделяме и получаваме [br]нашия отговор.

0:06:31.390,0:06:37.360
Така че това е едно доста полезно свойство [br]за калкулаторните маниаци.

0:06:37.370,0:06:40.920
И пак да кажа, че няма да навлизам [br]в големи подробности.

0:06:40.930,0:06:43.690
Това свойство за мен е най-полезно,

0:06:43.690,0:06:48.120
но не напълно.

0:06:48.120,0:06:50.040
Очевидно то не е сред свойствата [br]на степените.

0:06:50.050,0:06:53.930
Но да опиша по прост начин логиката[br]за това ми е трудно,

0:06:53.930,0:06:55.350
така че вероятно искаш да видиш доказателството,

0:06:55.360,0:06:58.320
ако не вярваш защо се случва това.

0:06:58.320,0:07:00.130
Но както и да е, всичко това

0:07:00.130,0:07:03.120
вероятно ще използваш[br]през по-голямата част от живота си.

0:07:03.120,0:07:05.840
Аз все още го използвам в работата си.

0:07:05.850,0:07:09.390
Просто знай, че логаритмите са полезни.

0:07:09.390,0:07:14.100
Нека решим няколко примера.

0:07:14.110,0:07:19.220
Нека само препишем няколко неща[br]в по-проста форма.

0:07:19.240,0:07:36.520
Ако искам да запиша log с основа две[br]от квадратен корен от...

0:07:36.520,0:07:37.850
нека помисля нещо.

0:07:37.860,0:07:50.550
От 32, разделено на куба...не, [br]ще е само квадратния корен.

0:07:50.560,0:07:54.120
Разделено на квадратен корен от осем.

0:07:54.120,0:07:59.080
Как мога да препиша това, за да[br]не е разхвърляно?

0:07:59.080,0:08:00.180
Нека помислим по въпроса.

0:08:00.190,0:08:04.450
Това е същото, то е равно на...

0:08:04.450,0:08:05.790
Не знам дали да се придвижа отвесно [br]или хоризонтално.

0:08:05.800,0:08:07.310
Нека е отвесно.

0:08:07.310,0:08:13.120
Това е равно на log от 32 при основа 2

0:08:13.130,0:08:17.740
върху квадратния корен от 8 на степен 1/2, нали така?

0:08:17.750,0:08:21.130
И от свойствата на логаритмите знаем, [br]от третото свойство научихме,

0:08:21.140,0:08:25.910
че това е равно на 1/2,

0:08:25.920,0:08:33.830
умножено по логаритъм от 32, [br]разделено на квадратен корен от 8, нали така?

0:08:33.840,0:08:34.840
Взех само показателя

0:08:34.840,0:08:36.570
и го направих коефициент на цялото това.

0:08:36.580,0:08:39.400
Научихме това в началото на този клип.

0:08:39.400,0:08:41.640
И сега тук имаме един малък коефициент, нали?

0:08:41.640,0:08:45.330
Логаритъм от 32, разделено на [br]логаритъм от квадратен корен от 8.

0:08:45.340,0:08:47.020
Можем да използваме другия логаритъм –

0:08:47.020,0:08:49.470
нека игнорираме това 1/2.

0:08:49.480,0:08:56.470
Това ще е равно на, скоба, логаритъм –

0:08:56.470,0:08:57.580
о, забравих основата.

0:08:57.580,0:09:02.480
Логаритъм от 32 при основа 2 минус логаритъм...[br]нали така?

0:09:02.490,0:09:04.000
Понеже това е в коефициента.

0:09:04.000,0:09:11.310
Минус логаритъм при основа 2 [br]от квадратен корен от 8.

0:09:11.320,0:09:12.650
Нали така?

0:09:12.650,0:09:13.400
Нека видим.

0:09:13.400,0:09:15.860
Още веднъж тук имаме квадратен корен,

0:09:15.870,0:09:22.190
така че можем да кажем, че това е равно на 1/2, [br]умножено по log от 32 при основа 2.

0:09:22.190,0:09:24.560
Минус това 8 на степен 1/2,

0:09:24.560,0:09:28.850
което е равно на 1/2 log от 8 при основа 2.

0:09:28.860,0:09:31.380
Научихме това свойство [br]в началото на това видео.

0:09:31.380,0:09:33.740
И тогава ако искаме, можем да разкрием [br]скобите и да умножим по 1/2.

0:09:33.750,0:09:42.170
Това е равно на 1/2 log от 32 [br]при основа 2 минус 1/4,

0:09:42.170,0:09:43.800
защото трябва да умножим по 1/2,

0:09:43.800,0:09:46.840
минус 1/4 log от 8 при основа 2.

0:09:46.850,0:09:52.490
Това прави 5/2 минус, това е три.

0:09:52.500,0:09:55.120
Три пъти, умножено по 1/4 минус 3/4.

0:09:55.120,0:09:59.440
Или 10/4 минус 3/4 е равно на 7/4.

0:09:59.440,0:10:03.140
Вероятно съм направил няколко аритметични грешки, [br]но схващаш принципа.

0:10:03.140,0:10:04.720
До скоро!