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Inverse Trig Functions: Arcsin

  • 0:00 - 0:02
    如果在街道上我走过来
  • 0:02 - 0:04
    问你-
  • 0:04 - 0:07
    我不想写得那么复杂
  • 0:07 - 0:12
    sinπ/4等于多少
  • 0:12 - 0:15
    很明显 我们讨论的是弧度
  • 0:15 - 0:17
    要么记住结果
  • 0:17 - 0:19
    要么画出单位圆
  • 0:19 - 0:21
    画得不太标准
  • 0:21 - 0:22
    你们明白意思就行
  • 0:22 - 0:26
    π/4弧度
  • 0:26 - 0:29
    也就是45°
  • 0:29 - 0:32
    半径为1
  • 0:32 - 0:35
    那么sin可以定义为
  • 0:35 - 0:36
    单位圆上的纵坐标
  • 0:36 - 0:39
    只需要知道这个值
  • 0:39 - 0:40
    就可以了
  • 0:40 - 0:43
    这个角是45°
  • 0:43 - 0:45
    将三角形画得大一些
  • 0:45 - 0:47
    三角形像这样
  • 0:47 - 0:49
    这是45°
  • 0:49 - 0:51
    这是45°
  • 0:51 - 0:54
    这是90°
  • 0:54 - 0:57
    可以求解45°45°90°三角形
  • 0:57 - 0:59
    斜边长度为1
  • 0:59 - 1:01
    这两个边设为x
  • 1:01 - 1:02
    长度相等
  • 1:02 - 1:05
    是等腰三角形
  • 1:05 - 1:07
    底角相等
  • 1:07 - 1:08
    那么
  • 1:08 - 1:11
    x方+x方等于1的平方
  • 1:11 - 1:13
    也就是等于1
  • 1:13 - 1:15
    2倍的x方等于1
  • 1:15 - 1:17
    x方等于1/2
  • 1:17 - 1:20
    x等于1/2的平方根
  • 1:20 - 1:22
    等于1/根2
  • 1:22 - 1:25
    可以化为有理数
  • 1:25 - 1:31
    乘以√2/√2
  • 1:31 - 1:34
    得到x等于√2/2
  • 1:34 - 1:39
    这里高是√2/2
  • 1:39 - 1:40
    如果想知道这个长度
  • 1:40 - 1:42
    也是√2/2
  • 1:42 - 1:43
    我们只关心这个高度
  • 1:43 - 1:46
    因为正弦值 sinπ/4
  • 1:46 - 1:48
    就是这个高度
  • 1:48 - 1:49
    纵坐标值
  • 1:49 - 1:53
    等于√2/2
  • 1:53 - 1:54
    这些都是复习
  • 1:54 - 2:00
    在单位圆那一集视频中学过
  • 2:00 - 2:02
    但是如果是其他人
  • 2:02 - 2:05
    另一天我走过来
  • 2:05 - 2:12
    向你请教
  • 2:12 - 2:15
    arcsin√2/2等于多少
  • 2:15 - 2:16
    arcsin是什么？
  • 2:16 - 2:17
    你们会感到困惑
  • 2:17 - 2:19
    你们可能会想 我知道一个角度的正弦值
  • 2:19 - 2:23
    但这个是Sal定义的一个新的
  • 2:23 - 2:24
    三角函数
  • 2:24 - 2:26
    你们应该意识到
  • 2:26 - 2:28
    当单词前缀是arc时
  • 2:28 - 2:31
    有时指的是反正弦
  • 2:31 - 2:33
    可以简写为
  • 2:33 - 2:36
    sin-1√2/2
  • 2:36 - 2:38
    等于多少？
  • 2:38 - 2:41
    其实问题是
  • 2:41 - 2:44
    正弦值是根2/2
  • 2:44 - 2:48
    对应角度是多少
  • 2:48 - 2:52
    也就是什么角度的
  • 2:52 - 2:55
    正弦值是√2/2
  • 2:55 - 2:59
    这些表述可以重写为
  • 2:59 - 3:02
    我们来写一下
  • 3:02 - 3:05
    这些表述可以重写为
  • 3:05 - 3:11
    sin?=√2/2
  • 3:11 - 3:15
    我认为这个问题
  • 3:15 - 3:16
    更简单一些
  • 3:16 - 3:18
    sin?=√2/2
  • 3:18 - 3:22
    我说过sinπ/4等于
  • 3:22 - 3:23
    √2/2
  • 3:23 - 3:25
    在这种情况下
  • 3:25 - 3:28
    我知道sinπ/4
  • 3:28 - 3:30
    等于√2/2
  • 3:30 - 3:35
    所以这个问号等于π/4
  • 3:35 - 3:39
    也可以重写为
  • 3:39 - 3:47
    arcsin√2/2等于
  • 3:47 - 3:52
    π/4
  • 3:52 - 3:55
    你们或许会说- 复习一下
  • 3:55 - 3:56
    给定一个值
  • 3:56 - 3:58
    我是指对于给定角度
  • 3:58 - 4:00
    求其正弦值
  • 4:00 - 4:01
    值是确定的
  • 4:01 - 4:03
    但是你们倾向于-
  • 4:03 - 4:04
    看一下
  • 4:04 - 4:05
    从这里复习
  • 4:05 - 4:07
    π/4是正确的（注意这里老师误说成π/2了）
  • 4:07 - 4:08
    45°是正确的
  • 4:08 - 4:11
    如果不断累加360°
  • 4:11 - 4:13
    或者不断增加2π
  • 4:13 - 4:14
    这些值都是正确的
  • 4:14 - 4:15
    因为这些值对应
  • 4:15 - 4:19
    单位圆上同一个点
  • 4:19 - 4:20
    确实如此
  • 4:20 - 4:22
    所有这些值
  • 4:22 - 4:25
    都是正确的结果
  • 4:25 - 4:25
    对吧？
  • 4:25 - 4:28
    因为如果对任意这些角度求正弦值
  • 4:28 - 4:30
    对不断累加360°后的角度
  • 4:30 - 4:32
    求其正弦值
  • 4:32 - 4:33
    都会得到√2/2
  • 4:33 - 4:35
    这是个问题
  • 4:35 - 4:36
    不应该存在这样的函数
  • 4:36 - 4:37
    如果写成函数
  • 4:37 - 4:40
    不应该存在函数f(x)
  • 4:40 - 4:42
    同一x对应多个函数值
  • 4:42 - 4:45
    x可以取π/4
  • 4:45 - 4:48
    可以取π/4+2π
  • 4:48 - 4:52
    也可以取π/4+4π
  • 4:52 - 4:55
    为得到正确的函数
  • 4:55 - 4:58
    为使反正弦函数有意义
  • 4:58 - 5:00
    需要限定取值范围
  • 5:00 - 5:03
    将取值范围
  • 5:03 - 5:04
    限定为最普遍的情况
  • 5:04 - 5:06
    现在限定取值范围
  • 5:06 - 5:09
    换句话说
  • 5:09 - 5:10
    定义域是什么？
  • 5:10 - 5:12
    如果求arcsin
  • 5:12 - 5:17
    对x求arcsin
  • 5:17 - 5:20
    设arcsin等于θ
  • 5:20 - 5:22
    定义域是什么？
  • 5:22 - 5:24
    x的取值范围是什么？
  • 5:24 - 5:26
    x可以取多少？
  • 5:26 - 5:30
    对任意角度求正弦值
  • 5:30 - 5:33
    得到的结果在1到-1之间
  • 5:33 - 5:37
    所以x取值
  • 5:37 - 5:38
    -1≤x
  • 5:38 - 5:39
    x≤1
  • 5:39 - 5:41
    这就是定义域
  • 5:41 - 5:44
    为使函数存在
  • 5:44 - 5:45
    需要限定取值范围
  • 5:45 - 5:47
    可能的取值
  • 5:47 - 5:48
    需要限定取值范围
  • 5:48 - 5:49
    对于arcsin
  • 5:49 - 5:51
    一般限定在第一和
  • 5:51 - 5:52
    第四象限
  • 5:52 - 5:54
    将取值角度限定在
  • 5:54 - 5:59
    单位圆上这一区域内
  • 5:59 - 6:03
    所以θ取值
  • 6:03 - 6:04
    θ≤π/2
  • 6:04 - 6:11
    -π/2≤θ
  • 6:11 - 6:14
    由此可知arcsin是多少了
  • 6:14 - 6:17
    再解一道题
  • 6:17 - 6:19
    换个地方来写
  • 6:19 - 6:22
    再求一个arcsin
  • 6:22 - 6:23
    问题是
  • 6:23 - 6:36
    arcsin(-√3/2)
  • 6:36 - 6:38
    如果你记得
  • 6:38 - 6:40
    那么马上可以得到sinx
  • 6:40 - 6:42
    或者sinθ=-√3/2
  • 6:42 - 6:42
    问题解决了
  • 6:42 - 6:44
    但是我没记住结果
  • 6:44 - 6:47
    我就需要画出单位圆
  • 6:47 - 6:48
    帮助求解arcsin
  • 6:48 - 6:51
    只需要画出单位圆的
  • 6:51 - 6:53
    第一和第四象限
  • 6:53 - 6:55
    这是y轴
  • 6:55 - 6:57
    这是x轴
  • 6:57 - 6:59
    x和y
  • 6:59 - 7:01
    题目对应的点在哪里？
  • 7:01 - 7:03
    某角度的正弦值
  • 7:03 - 7:05
    等于-√3/2
  • 7:05 - 7:07
    意味着单位圆上点的纵坐标
  • 7:07 - 7:09
    等于-√3/2
  • 7:09 - 7:14
    就是这个点
  • 7:14 - 7:19
    纵坐标是-√3/2
  • 7:19 - 7:20
    这是对应的点
  • 7:20 - 7:24
    对应的角度是多少？
  • 7:24 - 7:26
    想一下
  • 7:26 - 7:30
    纵坐标是-√3/2
  • 7:30 - 7:33
    就是这个角
  • 7:33 - 7:36
    这个角是负的
  • 7:36 - 7:39
    因为沿顺时针方向在x轴下方
  • 7:39 - 7:40
    为求解
  • 7:40 - 7:43
    画一个小三角形
  • 7:43 - 7:46
    换种颜色
  • 7:46 - 7:47
    这个三角形
  • 7:47 - 7:53
    用蓝色画
  • 7:53 - 7:55
    将三角形放大
  • 7:55 - 7:56
    像这样
  • 7:56 - 7:57
    这是θ
  • 7:57 - 7:59
    这是θ
  • 7:59 - 8:00
    这个边长是多少？
  • 8:00 - 8:03
    也就是纵坐标
  • 8:03 - 8:04
    可以称为
  • 8:04 - 8:06
    是√3/2
  • 8:06 - 8:08
    其实是负值 因为是在x轴下面
  • 8:08 - 8:09
    但只是为表征这个角
  • 8:09 - 8:12
    我们知道这个角是负的
  • 8:12 - 8:14
    当看到√3/2时
  • 8:14 - 8:17
    希望你们会想到这是30°60°90°三角形
  • 8:17 - 8:18
    这个边是√3/2
  • 8:18 - 8:20
    这个边是1/2
  • 8:20 - 8:21
    当然 这个边是1
  • 8:21 - 8:23
    因为单位圆
  • 8:23 - 8:24
    半径为1
  • 8:24 - 8:26
    30°60°90°三角形
  • 8:26 - 8:28
    对边是√3/2
  • 8:28 - 8:30
    θ=60°
  • 8:30 - 8:32
    这个角是30°
  • 8:32 - 8:35
    我们得到θ=60°
  • 8:35 - 8:36
    这是其大小
  • 8:36 - 8:38
    因为在x轴下面
  • 8:38 - 8:39
    所以是-60°
  • 8:39 - 8:43
    所以θ=-60°
  • 8:43 - 8:45
    如果化为弧度
  • 8:45 - 8:45
    还不够好
  • 8:45 - 8:49
    可以乘以100-
  • 8:49 - 8:55
    抱歉 乘以π弧度比上180°
  • 8:55 - 8:56
    消去角度
  • 8:56 - 9:00
    得到θ=-π/3
  • 9:00 - 9:04
    弧度
  • 9:04 - 9:05
    那么现在
  • 9:05 - 9:09
    可以得出结论
  • 9:09 - 9:16
    arcsin(-√3/2)
  • 9:16 - 9:20
    等于-π/3弧度
  • 9:20 - 9:25
    或者写成sin-1(-√3/2)等于
  • 9:25 - 9:31
    -π/3弧度
  • 9:31 - 9:33
    为验证这个结果
  • 9:33 - 9:35
    我们用计算器算一下
  • 9:35 - 9:38
    设为弧度模式
  • 9:38 - 9:39
    检查一下
  • 9:39 - 9:41
    点击Per second mode键
  • 9:41 - 9:43
    弧度模式下
  • 9:43 - 9:45
    希望得到正确的结果
  • 9:45 - 9:48
    计算反正弦
  • 9:48 - 9:51
    sin-1
  • 9:51 - 9:59
    （-√3/2）
  • 9:59 - 10:04
    等于-1.04
  • 10:04 - 10:05
    可知
  • 10:05 - 10:11
    等于-1.04rad
  • 10:11 - 10:14
    那么π/3应该等于1.04
  • 10:14 - 10:16
    验算一下
  • 10:16 - 10:24
    -π/3
  • 10:24 - 10:25
    等于多少？
  • 10:25 - 10:27
    结果相同
  • 10:27 - 10:29
    计算器给出相同的结果
  • 10:29 - 10:30
    但是计算器有缺点
  • 10:30 - 10:32
    因为计算器不能显示出
  • 10:32 - 10:34
    这就是-π/3
Title:
Inverse Trig Functions: Arcsin
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:36

Chinese (Simplified, China) subtitles

Incomplete

Revisions

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