Kütle Merkezi

Kütle merkezine giriş

Merhaba.

Bu sunumda kütle merkezini anlatacağım.

Öncelikle kütle merkezinin ne olduğuna sezgisel olarak

bakalım daha sonra hesaplama ve uygulamalara geçeriz.

-

Belki çok basit bir ifade olacak ama aslında kütle merkezi bir noktadır.

Buraya bir cisim çizeyim.

İşte bu kullanacağımız cisim.

Diyelimki bu bir cetvel olsun.

-

Cetvelin elbette bir kütlesi var.

Peki bu cetvelin kütle merkezi neresi?

Tabi bu soruyu cevaplamanız için size kütle merkezini

nasıl bulduğumuzdan bahsetmem gerek.

Kütle merkezinin bir nokta olduğunu söylemiştim

bu nokta cisim üzerinde olmak zorunda değildir.

Bunun için daha sonra bir örnek vereceğim.

-

Şimdi sanki bu nesnenin bütün kütlesi sanki

bu noktada toplanmış gibi düşünelim.

-

Bu söylediğim kütle merkezinin tanımıyla ilgiliydi.

Farz edelim ki burası kütle merkezi olsun.

Neden bu noktayı seçtiğimden bahsedeceğim.

Kütle merkezi bu noktada yada bu noktanın

hemen yakınında olmalı.

Cetvelin kütlesi 10 kilogram olsun.

-

Diyelim ki bu cetvelin kütle merkezinden 10 newton kuvvet

uyguluyorum, cetvelin kütlesi de 10 kg.

Kuvveti cetvelin kütle merkezinden uygularsam,

bu cetvel tek bir noktada toplanmış bir kütle gibi

ileriye doğru düz bir şekilde ivme kazanır.

Bu çizdiğim küçük noktanın kütlesi de 10 kg olsun

ve yine aynı şekilde 10 newton kuvvetle itiyoruz.

-

Cetveli yukarıya ittiğimizde ivmesi ne olur?

-

İvme kuvvet bölü kütledir ,10 newton

bölü 10 kg yani ivme 1 metre bölü saniye karedir.

Bu nokta halindeki kütleyi de ivmelendirebiliriz.

-

Nokta kütle derken kastettiğim nokta gibi küçük

ama kütlesi 10 kg olan bir cisim. Boyut olarak cetvelden çok

küçük olsa da kütlesi cetvelle aynı.

Bu yüzden bu nokta kütle de yukarı doğru 1 metre bölü

saniye kare ivmeyle hızlanır.

-

Peki bu ne işimize yarar?

Bazen karşımıza çok farklı şekilde cisimler çıkabilir

ve kütle merkezinin ne olduğunu hesaplamak isteyebiliriz.

Bir cismin kütle merkezini biliyorsak

o cismin hareketinin nasıl olacağını tahmin etmek için

şeklinin nasıl olduğunun hiç önemi yok.

Kütle merkezinin neresi olduğunu anlamanız için

kolay bir yol göstereceğim.

Eğer kütle merkezini bulmak istediğimiz cisim

düzenli bir dağılıma sahipse yani cismin her yerinde

öz kütlesi aynıysa, kütle merkezi o cismin geometrik merkezidir.

-

-

Kullandığımız cetvel 1 boyutlu.

-

Noktayı koyduğum yer cetvelin orta noktası.

Cetvelin her iki ucundan noktaya kadar olan uzaklık

birbirine eşittir.

Evet bu noktaya kütle merkezi diyoruz.

İki boyutlu bir cisim olsaydı ne yapardık? Buraya bir üçgen

çizeyim ve 2 boyutlu bu üçgenin kütle merkezi neresiymiş bulalım.

Kütle merkezi üçgenin merkezindedir.

İşte burası üçgenin kütle merkezi.

Şimdi de bir kare çizip bakalım.

-

Kenar çizgileri iyi görünmüyor galiba.

Biraz daha kalın çizeyim.

Diyelim ki çizdiğim bu karenin yarısı kurşundan yapılmış olsun.

-

-

Diğer yarısı ise kurşundan daha hafif bir maddeden yapılmış.

-

Diyelim ki o da plastik köpük olsun.

Plastik köpük kurşundan daha hafiftir.

Bu durumda cismin kütle merkezi ile

geometrik merkezi aynı değildir.

Kurşunun ve plastik köpüğün öz kütlelerini bilmiyorum

ama kütle merkezi sağ tarafa daha yakın bir yerlerde

olmalı çünkü bu karenin öz kütlesi her yerde aynı değil.

Kütle merkezinin yeri kurşunun köpükten ne kadar yoğun

olduğuna göre değişir.

Bu örnek kütle merkezini anlamanız için yardımcı olacaktır.

-

Şimdi de kütle merkezi hakkında daha ilginç detaylara bakalım.

-

Şu ana kadar baktığımız örnekleri daha kolay hale getirmek için

kütle merkezinden bir kuvvet uygulandığını varsaymıştık.

-

Şimdi bakacağımız örnekte elimizdeki cisim

ata benzer bir şekilde olsun.

-

Evet kütle merkezini bulacağımız şekil bu.

Bu nesnenin kütle merkezinin neresi olduğunu bilmiyorum

ama diyelim kütle merkezi bu nokta olsun.

-

Eğer bu cisme kütle merkezinden direkt bir kuvvet uygularsam,

cisim kuvvet ve kütlesiyle orantılı bir ivme kazanır

ve bu yönde hareket eder.

İvmeyi uyguladığımız kuvveti cismin kütlesine

bölerek hesaplayabiliriz.

-

Bütün problemlerde Newton'un ikinci kanununu kullandık

kuvveti hep kütle merkezinden uyguladığımızı farzettik.

-

Kuvvet kütle merkezinin uzağından etki ettiğinde ise

daha ilginç durumlar ortaya çıkar.

-

Tekrar bir cetvel çizeyim.

Bu atı neden çizdim bilmiyorum :)

Videonun başlarında çizdiğim cetvel bu, kütle merkezi ise

nokta koyduğum yer. Kütle merkezinden bir kuvvet

uygulayarak cetveli kuvvet yönünde hareket ettiriyorum.

Kuvvet sayesinde ileriye gider.

Şimdi asıl ilginç olan kısma gelelim.

Diyelim ki bu sefer kuvveti kütle merkezinden değil de

daha farklı bir noktadan kütle merkezinin uzağından

uyguluyorum cismin durumu ne olur biraz düşünelim.

-

Cetvel bu kez dönmeye başlar.

Şimdi kendinizi uzayın derinliklerinde ya da bir uzay mekiğinde

hayal edin ve bu cetveli bir ucundan ittiğiniz zaman

ne olurdu?

Tüm cetveli itmiş olacak mıyım ya da cetvel

bütünüyle döner mi?

ileriniz doğru.

Cetvel kütle merkezi etrafında bütünüyle döner.

Eğer birine ingiliz anahtarı fırlatırsanız tabi bunu yapmanızı

tavsiye etmiyorum :) ama diyelim ki fırlattınız

ingiliz anahtarı havada kütle merkezi etrafında dönecektir.

-

Aynısı bıçak için de geçerli.

Bıçak yakalayan biri olsaydınız bıçağın size doğru

gelirken havada kütle merkezi etrafında döndüğünü

fark ederdiniz bu durum gerçekten ilginç.

-

Herhangi bir cismi fırlattığınızda etrafında döndüğü nokta

o cismin kütle merkezidir.

-

Kimsenin olmadığı bir ortamda bu deneyi yapıp

neler olacağını gözlemleyebilirsiniz.

Bu bahsettiklerim aynı zamanda bir sonraki videonun konusu.

-

Bir cisme kuvvet uyguladığınız da ilerlemek yerine dönüyorsa

bu torkla ilgilidir.Dediğim gibi diğer video da torku işleyeceğiz.

-

Şimdi size günlük yaşamamızdan kütle merkeziyle

ilgili hoş bir örnek olan yüksek atlamayı ele alalım.

-

Bu bir çubuk olsun.

Çubuğundan yandan görünüşü bu şekilde, bu da

çubuğu havada tutan cisim.

Bu arkadaş da çubuğun üzerinden atlatmak istiyor.

-

Onun kütle merkezi midesine yakın bir yerdedir daha

doğrusu her insanın kütle merkezi midesine yakındır.

Bence kütle merkezinin mide civarında olması gelişimsel

açıdan gayet mantıklı.

Buradan iki şekilde atlayabilir.

Çubuğun üzerinden düz bir şekilde atlayabilir engelden atlama

gibi, bu durumda kütle merkezi de çubuğun üzerinden geçer.

-

Bu atlayış için ne kadar enerjiye ne kadar kuvvete

ihtiyacı olduğunu ve onun kütlesini eğik atış hareketi

problemlerinden ve Newton'un kanunlarından bulabiliriz.

-

Ama olimpiyatlarda gördüğünüz gibi sporcular

çok daha farklı şekilde atlarlar, çubuğun üstünden geçerken

buna benzer bir biçimde olurlar.

Sporcuların sırtı çubuğun üzerinde bir kemer gibi olur.

-

Çok hoş bir resim değil ama

sporcu neden böyle kemer gibi bir görüntü oluşturur?

-

Nedenini yakaladığınızı düşünüyorum.

Çubuk burada duruyor.

İlginç olan ne burada?

Bir insanın ortalama özkütlesini düşünüp geometrik

merkezini düşünürsek ,bu örnek için yani bu şekilde

atladığında kütle merkezi çubuğun aşağısına doğru kayar.

-

Sırtını kemer biçiminde büktüğü için

kütle merkezi çubuğun aşağısına doğru kayar.

-

Bu sayede kütle merkezinin çubuğun yüksekliğine ulaştığı

noktaya kadar bir çubuğun üzerinden atlanabilir ve daha az kuvvet harcanır.

-

Diğer bir deyişle aynı kuvvetle daha yüksek bir çubuğu

aşabilmeniz mümkün.

-

Aklınızı çok karıştırmak istemiyorum ama yüksek atlamacıların

sırtlarını bükmelerinin sebebi kütle merkezlerini

çubuğun yüksekliğinden daha aşağıda tutmaktır ki böylece

daha az kuvvet harcarlar.

Umarım kütle merkezinin ne olduğunu ve onu nasıl bulabileceğimizi

anlamışsınızdır bir sonraki video da tork videosunda

görüşmek üzere.

-