Introduction to rational and irrational numbers

Beszéljünk kicsit a racionális számokról.

Egy egyszerű megközelítés, hogy minden szám, ami

felírható két egész szám hányadosaként

az egy racionális szám.

Például minden egész szám racionális szám.

Az 1 felírható mint 1/1 vagy, mint mínusz 2 alatt a mínusz 2

vagy, mint 10 000/10 000.

Ezek mind különféle megjelenítései

az 1-es számnak, mint két egész szám hányadosa.

Persze végtelen számban

megjeleníthetem 1-et, ebben a formában.

Ugyanazt a számot osztjuk ugyanazon számmal.

Mínusz 7 felírható mínusz 7/1-ként

vagy, mint 7 alatt a mínusz 1 vagy, mint mínusz 14 alatt a 2.

És így tovább.

Mínusz 7 biztosan racionális szám.

Felírható két egész szám hányadosaként.

Mi van a nem egész számokkal?

Például, képzeljük el – nem is tudom – 3,75.

Hogy írjuk fel két egész szám hányadosaként?

A 3,75-öt felírhatjuk úgy,

mint 375/100, ami ugyanaz, mint 750/200.

Vagy mondhatjuk, hogy 3,75 ugyanaz,

mint 3 egész és 3/4 – le is írom ide –

ami ugyanaz, mint – ez 15/4 –

4-szer 3 az 12, plusz 3 az 15, ezt is írhatjuk.

Ez ugyanaz, mint 15/4.

Úgy is írhatjuk, hogy mínusz 30 alatt a mínusz 8.

Csak megszoroztam a számlálót és a nevezőt

mínusz 2-vel.

Csak, hogy tudjuk, ez egy racionális szám.

Számos példán megmutattam, hogyan

lehet felírni két egész szám hányadosaként.

Mi van az ismétlődő tizedesekkel?

Nézzük meg talán a leghíresebbet

az ismétlődő tizedesek közül.

A 0,333 csak megy tovább és tovább a végtelenbe,

amit jelölhetünk egy kis vonallal

a 3 felett.

Ez 0,3 ismétlődve.

Láttuk, hogy – és később megmutatjuk

hogyan tudsz bármilyen ismétlődő tizedest átkonvertálni

két egész szám hányadosába – ez itt 1/3.

Láthattad már a 0,6-ot ismétlődni, ami 2/3.

Még nagyon sok példa van erre.

Látni fogunk mindenféle ismétlődő tizedest, nem csak

olyat, ahol egy szám ismétlődik.

Még ha egy millió szám ismétlődne is;

amíg a minta ismétli önmagát,

újra és újra,

mindig felírhatod, mint két egész szám hányadosát.

Tudom most mire gondolhatsz.

Figyelj Sal, sok mindent hozzávettél.

Belevetted az összes egész számot,

az összes véges, nem ismétlődő tizedest,

és még az ismétlődő tizedeseket is.

Mi maradt?

Van olyan szám, ami nem racionális?

Valószínűleg arra tippelsz, hogy igen.

Másképp az emberek nem vették volna

a fáradtságot, hogy racionálisnak nevezzék.

Mint az kiderül – képzelheted –

a matematika leghíresebb számai közül

sok a nem racionális.

Ezeket a számokat irracionális számoknak hívjuk.

Felsoroltam párat

a legjelentősebb példákból.

Pi – a kör kerületének

és átmérőjének a hányadosa – egy irracionális szám.

Soha nincs vége.

Csak megy tovább és tovább a végtelenbe és soha nem ismétlődik.

e, ugyanúgy – nincs vége, nem ismétlődik.

A folyamatos kamatozásból adódik.

Összetett elemzésből adódik.

Az e mindenhol felbukkan.

Gyök 2, irracionális szám.

Phi, az aranymetszés, irracionális szám.

Ezek a dolgok, amik csak kipattannak

a természetből. Sok ilyen szám irracionális.

Most mondhatnád, oké, de ezek irracionálisak?

Ezek csak különleges számok.

Talán a legtöbb szám racionális és

Sal csak a különlegeseket válogatta ki.

De fontos, hogy észrevegyük, egzotikusnak tűnnek

és egzotikusak is bizonyos módokon,

de nem ritkák.

Egyébként az derül ki, hogy mindig van

egy irracionális szám két racionális között.

Persze meghetnénk tovább és tovább.

Végtelen mennyiségű szám van.

De minimum egy van, ami felveti azt,

hogy nem mondhatjuk, hogy

kevesebb az irracionális szám, mint a racionális.

Egy későbbi videóban bizonyítjuk,

ha adott két racionális szám – racionális 1,

racionális 2 – legalább egy irracionális szám lesz

közöttük, ami szép eredmény,

mert az irracionális számok egzotikusnak hatnak.

Egy másik gondolatmenet – Én a 2 gyökét vettem,

de ha nem négyzetszám gyökét veszed,

irracionális számot fogsz kapni.

Amikor összeadsz egy irracionális

és egy racionális számot – később meglátjuk.

Bebizonyítjuk magunknak.

Egy irracionális és egy racionális összege

irracionális lesz.

Egy irracionális és egy racionális szorzata

irracionális lesz.

Szóval nagyon-nagyon sok irracionális

szám van.