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从乘法法则得出除法法则

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    我们已经知道乘法法则是这样的
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    如果有两个函数相乘
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    比如 f(x) 和 g(x)
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    对它们求导
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    就等于第一个函数的导数 f '(x)
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    就等于第一个函数的导数 f '(x)
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    乘以第二个函数 g(x)，加上第一个函数
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    这里是不求导的 f(x)
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    乘以第二个函数的导数 g'(x)
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    一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换
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    一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换
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    所以这里是 f(x)导，g(x)不导
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    这里是 g(x)导，f(x) 不导
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    我们就复习到这
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    这是乘法法则
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    接下来是要用乘法法则来做
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    接下来是要用乘法法则来做
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    很多微积分书中所说的除法法则
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    我对除法法则很纠结
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    如果你还记得除法法则，那就好办了
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    其实它就是直接来自乘法法则的
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    说实话我总是忘掉除法法则
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    然后用乘法法则重新推导出来
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    来看看是怎么玩的吧
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    假设有一个表达式
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    f(x) 除以 g(x)，f(x) / g(x)
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    然后对它求导
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    d/dx [f(x) / g(x)]
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    这里的关键是我们要能看出
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    d/dx [f(x) / g(x)] =
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    其中 f(x) / g(x) 可以写为
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    f(x) g(x)⁻¹ （负1次方）
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    这样就可以用乘法法则了
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    结合一点点链式法则
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    那这等于什么呢？
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    来，就用乘法法则
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    先是第一个函数的导数
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    也就是 f '(x)
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    乘以第二个函数，也就是
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    g(x)的-1次方，再加上第一个函数
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    也就是f(x)，乘以第二个函数的导数
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    也就是f(x)，乘以第二个函数的导数
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    这里我们就要用一下链式法则了
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    把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导
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    把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导
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    把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导
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    等于 -1 乘以它的 -2次方
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    本题中就是 (-1) g(x) ⁻²
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    然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导
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    然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导
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    也就是g'(x)
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    这样就做完了
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    我们使用乘法法则和链式法则完成了求导
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    我们使用乘法法则和链式法则完成了求导
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    但数学书中的除法法则不是这样的式子
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    但数学书中的除法法则不是这个样子
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    但数学书中的除法法则不是这个样子
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    那咱们来看看能不能化简
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    所有这些都等于 -- 我们先写这一项
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    这里写成 f '(x) / g(x)
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    后面这一大堆写成 ——
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    先把负号提到前边
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    就得到 - f(x) g'(x)
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    然后除以 g(x)²
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    我写整齐点儿
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    然后除以 g(x)²
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    可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式
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    可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式
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    所以继续把两个分数相加
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    这项的分子和分母同乘 g(x)
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    这样两个分数的分母都是 g(x)²
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    这样两个分数的分母都是 g(x)²
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    这里分子乘以 g(x) 后
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    是 f '(x) g(x)
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    分母是 g(x)²
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    现在可以相加了
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    所以 f(x) / g(x) 的导数等于
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    所以 f(x) / g(x) 的导数等于
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    f '(x) g(x) 减去--不是加法了
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    我换白色写，- f(x) g'(x)
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    所有这些，除以 g(x)²
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    所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则
  • 4:36 - 4:38
    所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则
  • 4:38 - 4:41
    有时候可能比这个公式更好记
  • 4:41 - 4:45
    做题也会更快
  • 4:45 - 4:48
    而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律
  • 4:48 - 4:50
    而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律
  • 4:50 - 4:53
    都是一个函数的导数乘以另一个函数
  • 4:53 - 4:56
    然后是后一个函数的导数乘以前一个函数
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    这两项不是（乘法法则的）相加了，而是（除法法则的）相减
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    然后再除以第二个函数的平方
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    分母是什么，这里就是什么的平方
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    所以这里要对分母中的函数求导
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    所以这里要对分母中的函数求导
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    还要用减法，然后再除以分母函数的平方
  • 5:12 - 5:15
    还要用减法，然后再除以分母函数的平方
Title:
从乘法法则得出除法法则
Description:

Sal展示了如何使用乘法法则和链式法则推导出除法法则（少背一条法则！）。由Sal Khan创建。

观看下一节课：https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-advanced/ab-diff-mul-rules/v/differentiating-using-multiple-rules-strategy?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

错过上一节课？https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-rules/ab-derivtive-rules-opt-vids/v/chain-rule-proof?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:15

Chinese, Simplified subtitles

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