0:00:00.670,0:00:02.790
我们已经知道乘法法则是这样的

0:00:02.790,0:00:06.510
如果有两个函数相乘

0:00:06.510,0:00:10.200
比如 f(x) 和 g(x)

0:00:10.200,0:00:15.520
对它们求导

0:00:15.520,0:00:16.980
就等于第一个函数的导数 f '(x)

0:00:16.980,0:00:20.280
就等于第一个函数的导数 f '(x)

0:00:20.280,0:00:27.950
乘以第二个函数 g(x)，加上第一个函数

0:00:27.950,0:00:30.830
这里是不求导的 f(x)

0:00:30.830,0:00:36.985
乘以第二个函数的导数 g'(x)

0:00:37.220,0:00:39.870
一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换

0:00:39.870,0:00:42.370
一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换

0:00:42.370,0:00:45.340
所以这里是 f(x)导，g(x)不导

0:00:45.340,0:00:47.522
这里是 g(x)导，f(x) 不导

0:00:47.522,0:00:49.230
我们就复习到这

0:00:49.230,0:00:50.790
这是乘法法则

0:00:50.790,0:00:52.373
接下来是要用乘法法则来做

0:00:52.373,0:00:53.780
接下来是要用乘法法则来做

0:00:53.780,0:00:56.754
很多微积分书中所说的除法法则

0:00:56.754,0:00:58.670
我对除法法则很纠结

0:00:58.670,0:01:01.086
如果你还记得除法法则，那就好办了

0:01:01.086,0:01:03.879
其实它就是直接来自乘法法则的

0:01:03.879,0:01:06.320
说实话我总是忘掉除法法则

0:01:06.320,0:01:09.230
然后用乘法法则重新推导出来

0:01:09.230,0:01:10.970
来看看是怎么玩的吧

0:01:10.970,0:01:14.650
假设有一个表达式

0:01:14.650,0:01:19.140
f(x) 除以 g(x)，f(x) / g(x)

0:01:19.140,0:01:21.990
然后对它求导

0:01:21.990,0:01:26.700
d/dx [f(x) / g(x)]

0:01:26.700,0:01:29.610
这里的关键是我们要能看出

0:01:29.610,0:01:32.990
d/dx [f(x) / g(x)] =

0:01:32.990,0:01:34.610
其中 f(x) / g(x) 可以写为

0:01:34.610,0:01:44.035
f(x) g(x)⁻¹ （负1次方）

0:01:44.162,0:01:45.620
这样就可以用乘法法则了

0:01:45.620,0:01:47.910
结合一点点链式法则

0:01:47.910,0:01:50.520
那这等于什么呢？

0:01:50.520,0:01:52.030
来，就用乘法法则

0:01:52.030,0:01:54.970
先是第一个函数的导数

0:01:54.970,0:01:59.880
也就是 f '(x)

0:01:59.880,0:02:03.780
乘以第二个函数，也就是

0:02:03.780,0:02:13.460
g(x)的-1次方，再加上第一个函数

0:02:13.460,0:02:17.960
也就是f(x)，乘以第二个函数的导数

0:02:17.960,0:02:19.439
也就是f(x)，乘以第二个函数的导数

0:02:19.439,0:02:22.600
这里我们就要用一下链式法则了

0:02:22.640,0:02:24.434
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

0:02:24.434,0:02:25.850
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

0:02:25.850,0:02:28.660
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

0:02:28.660,0:02:31.700
等于 -1 乘以它的 -2次方

0:02:31.700,0:02:34.525
本题中就是 (-1) g(x) ⁻²

0:02:34.525,0:02:36.150
然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导

0:02:36.150,0:02:38.460
然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导

0:02:38.460,0:02:41.880
也就是g'(x)

0:02:41.880,0:02:42.890
这样就做完了

0:02:42.890,0:02:44.490
我们使用乘法法则和链式法则完成了求导

0:02:44.490,0:02:46.750
我们使用乘法法则和链式法则完成了求导

0:02:46.750,0:02:48.260
但数学书中的除法法则不是这样的式子

0:02:48.260,0:02:49.660
但数学书中的除法法则不是这个样子

0:02:49.660,0:02:51.410
但数学书中的除法法则不是这个样子

0:02:51.410,0:02:53.620
那咱们来看看能不能化简

0:02:53.620,0:02:57.480
所有这些都等于 -- 我们先写这一项

0:02:57.480,0:03:07.490
这里写成 f '(x) / g(x)

0:03:07.720,0:03:10.160
后面这一大堆写成 ——

0:03:10.160,0:03:12.020
先把负号提到前边

0:03:12.020,0:03:24.270
就得到 - f(x) g'(x)

0:03:24.620,0:03:28.555
然后除以 g(x)²

0:03:28.555,0:03:30.650
我写整齐点儿

0:03:30.650,0:03:36.425
然后除以 g(x)²

0:03:36.789,0:03:38.830
可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式

0:03:38.830,0:03:40.240
可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式

0:03:40.240,0:03:42.855
所以继续把两个分数相加

0:03:42.855,0:03:44.980
这项的分子和分母同乘 g(x)

0:03:44.980,0:03:47.720
这样两个分数的分母都是 g(x)²

0:03:47.720,0:03:49.810
这样两个分数的分母都是 g(x)²

0:03:49.810,0:03:52.430
这里分子乘以 g(x) 后

0:03:52.430,0:03:54.740
是 f '(x) g(x)

0:03:54.740,0:03:57.530
分母是 g(x)²

0:03:57.530,0:03:59.050
现在可以相加了

0:03:59.050,0:04:02.450
所以 f(x) / g(x) 的导数等于

0:04:02.450,0:04:08.910
所以 f(x) / g(x) 的导数等于

0:04:08.910,0:04:15.460
f '(x) g(x) 减去--不是加法了

0:04:15.460,0:04:28.020
我换白色写，- f(x) g'(x)

0:04:28.020,0:04:34.320
所有这些，除以 g(x)²

0:04:34.320,0:04:36.410
所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则

0:04:36.410,0:04:38.420
所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则

0:04:38.420,0:04:41.150
有时候可能比这个公式更好记

0:04:41.150,0:04:45.110
做题也会更快

0:04:45.110,0:04:48.010
而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律

0:04:48.010,0:04:50.430
而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律

0:04:50.430,0:04:53.050
都是一个函数的导数乘以另一个函数

0:04:53.050,0:04:55.710
然后是后一个函数的导数乘以前一个函数

0:04:55.710,0:04:59.140
这两项不是（乘法法则的）相加了，而是（除法法则的）相减

0:04:59.140,0:05:02.190
然后再除以第二个函数的平方

0:05:02.190,0:05:05.212
分母是什么，这里就是什么的平方

0:05:05.212,0:05:06.670
所以这里要对分母中的函数求导

0:05:06.670,0:05:08.720
所以这里要对分母中的函数求导

0:05:08.720,0:05:12.070
还要用减法，然后再除以分母函数的平方

0:05:12.070,0:05:14.930
还要用减法，然后再除以分母函数的平方