1
00:00:00,670 --> 00:00:02,790
我们已经知道乘法法则是这样的

2
00:00:02,790 --> 00:00:06,510
如果有两个函数相乘

3
00:00:06,510 --> 00:00:10,200
比如 f(x) 和 g(x)

4
00:00:10,200 --> 00:00:15,520
对它们求导

5
00:00:15,520 --> 00:00:16,980
就等于第一个函数的导数 f '(x)

6
00:00:16,980 --> 00:00:20,280
就等于第一个函数的导数 f '(x)

7
00:00:20,280 --> 00:00:27,950
乘以第二个函数 g(x)，加上第一个函数

8
00:00:27,950 --> 00:00:30,830
这里是不求导的 f(x)

9
00:00:30,830 --> 00:00:36,985
乘以第二个函数的导数 g'(x)

10
00:00:37,220 --> 00:00:39,870
一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换

11
00:00:39,870 --> 00:00:42,370
一共有两项，每项都是对一个函数求导，另一个函数不求导，然后再换

12
00:00:42,370 --> 00:00:45,340
所以这里是 f(x)导，g(x)不导

13
00:00:45,340 --> 00:00:47,522
这里是 g(x)导，f(x) 不导

14
00:00:47,522 --> 00:00:49,230
我们就复习到这

15
00:00:49,230 --> 00:00:50,790
这是乘法法则

16
00:00:50,790 --> 00:00:52,373
接下来是要用乘法法则来做

17
00:00:52,373 --> 00:00:53,780
接下来是要用乘法法则来做

18
00:00:53,780 --> 00:00:56,754
很多微积分书中所说的除法法则

19
00:00:56,754 --> 00:00:58,670
我对除法法则很纠结

20
00:00:58,670 --> 00:01:01,086
如果你还记得除法法则，那就好办了

21
00:01:01,086 --> 00:01:03,879
其实它就是直接来自乘法法则的

22
00:01:03,879 --> 00:01:06,320
说实话我总是忘掉除法法则

23
00:01:06,320 --> 00:01:09,230
然后用乘法法则重新推导出来

24
00:01:09,230 --> 00:01:10,970
来看看是怎么玩的吧

25
00:01:10,970 --> 00:01:14,650
假设有一个表达式

26
00:01:14,650 --> 00:01:19,140
f(x) 除以 g(x)，f(x) / g(x)

27
00:01:19,140 --> 00:01:21,990
然后对它求导

28
00:01:21,990 --> 00:01:26,700
d/dx [f(x) / g(x)]

29
00:01:26,700 --> 00:01:29,610
这里的关键是我们要能看出

30
00:01:29,610 --> 00:01:32,990
d/dx [f(x) / g(x)] =

31
00:01:32,990 --> 00:01:34,610
其中 f(x) / g(x) 可以写为

32
00:01:34,610 --> 00:01:44,035
f(x) g(x)⁻¹ （负1次方）

33
00:01:44,162 --> 00:01:45,620
这样就可以用乘法法则了

34
00:01:45,620 --> 00:01:47,910
结合一点点链式法则

35
00:01:47,910 --> 00:01:50,520
那这等于什么呢？

36
00:01:50,520 --> 00:01:52,030
来，就用乘法法则

37
00:01:52,030 --> 00:01:54,970
先是第一个函数的导数

38
00:01:54,970 --> 00:01:59,880
也就是 f '(x)

39
00:01:59,880 --> 00:02:03,780
乘以第二个函数，也就是

40
00:02:03,780 --> 00:02:13,460
g(x)的-1次方，再加上第一个函数

41
00:02:13,460 --> 00:02:17,960
也就是f(x)，乘以第二个函数的导数

42
00:02:17,960 --> 00:02:19,439
也就是f(x)，乘以第二个函数的导数

43
00:02:19,439 --> 00:02:22,600
这里我们就要用一下链式法则了

44
00:02:22,640 --> 00:02:24,434
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

45
00:02:24,434 --> 00:02:25,850
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

46
00:02:25,850 --> 00:02:28,660
把 -1次方的里面看作一个整体，它的 -1次方，关于它求导

47
00:02:28,660 --> 00:02:31,700
等于 -1 乘以它的 -2次方

48
00:02:31,700 --> 00:02:34,525
本题中就是 (-1) g(x) ⁻²

49
00:02:34,525 --> 00:02:36,150
然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导

50
00:02:36,150 --> 00:02:38,460
然后再对刚才这个整体做关于 x 的求导

51
00:02:38,460 --> 00:02:41,880
也就是g'(x)

52
00:02:41,880 --> 00:02:42,890
这样就做完了

53
00:02:42,890 --> 00:02:44,490
我们使用乘法法则和链式法则完成了求导

54
00:02:44,490 --> 00:02:46,750
我们使用乘法法则和链式法则完成了求导

55
00:02:46,750 --> 00:02:48,260
但数学书中的除法法则不是这样的式子

56
00:02:48,260 --> 00:02:49,660
但数学书中的除法法则不是这个样子

57
00:02:49,660 --> 00:02:51,410
但数学书中的除法法则不是这个样子

58
00:02:51,410 --> 00:02:53,620
那咱们来看看能不能化简

59
00:02:53,620 --> 00:02:57,480
所有这些都等于 -- 我们先写这一项

60
00:02:57,480 --> 00:03:07,490
这里写成 f '(x) / g(x)

61
00:03:07,720 --> 00:03:10,160
后面这一大堆写成 ——

62
00:03:10,160 --> 00:03:12,020
先把负号提到前边

63
00:03:12,020 --> 00:03:24,270
就得到 - f(x) g'(x)

64
00:03:24,620 --> 00:03:28,555
然后除以 g(x)²

65
00:03:28,555 --> 00:03:30,650
我写整齐点儿

66
00:03:30,650 --> 00:03:36,425
然后除以 g(x)²

67
00:03:36,789 --> 00:03:38,830
可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式

68
00:03:38,830 --> 00:03:40,240
可这还不是我们平时在微积分书中看到的公式

69
00:03:40,240 --> 00:03:42,855
所以继续把两个分数相加

70
00:03:42,855 --> 00:03:44,980
这项的分子和分母同乘 g(x)

71
00:03:44,980 --> 00:03:47,720
这样两个分数的分母都是 g(x)²

72
00:03:47,720 --> 00:03:49,810
这样两个分数的分母都是 g(x)²

73
00:03:49,810 --> 00:03:52,430
这里分子乘以 g(x) 后

74
00:03:52,430 --> 00:03:54,740
是 f '(x) g(x)

75
00:03:54,740 --> 00:03:57,530
分母是 g(x)²

76
00:03:57,530 --> 00:03:59,050
现在可以相加了

77
00:03:59,050 --> 00:04:02,450
所以 f(x) / g(x) 的导数等于

78
00:04:02,450 --> 00:04:08,910
所以 f(x) / g(x) 的导数等于

79
00:04:08,910 --> 00:04:15,460
f '(x) g(x) 减去--不是加法了

80
00:04:15,460 --> 00:04:28,020
我换白色写，- f(x) g'(x)

81
00:04:28,020 --> 00:04:34,320
所有这些，除以 g(x)²

82
00:04:34,320 --> 00:04:36,410
所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则

83
00:04:36,410 --> 00:04:38,420
所以，总是可以用乘法法则和链式法则推导出除法法则

84
00:04:38,420 --> 00:04:41,150
有时候可能比这个公式更好记

85
00:04:41,150 --> 00:04:45,110
做题也会更快

86
00:04:45,110 --> 00:04:48,010
而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律

87
00:04:48,010 --> 00:04:50,430
而且可以看出乘法法则和除法法则之间的规律

88
00:04:50,430 --> 00:04:53,050
都是一个函数的导数乘以另一个函数

89
00:04:53,050 --> 00:04:55,710
然后是后一个函数的导数乘以前一个函数

90
00:04:55,710 --> 00:04:59,140
这两项不是（乘法法则的）相加了，而是（除法法则的）相减

91
00:04:59,140 --> 00:05:02,190
然后再除以第二个函数的平方

92
00:05:02,190 --> 00:05:05,212
分母是什么，这里就是什么的平方

93
00:05:05,212 --> 00:05:06,670
所以这里要对分母中的函数求导

94
00:05:06,670 --> 00:05:08,720
所以这里要对分母中的函数求导

95
00:05:08,720 --> 00:05:12,070
还要用减法，然后再除以分母函数的平方

96
00:05:12,070 --> 00:05:14,930
还要用减法，然后再除以分母函数的平方