Quotient rule from product rule

곱의 미분법에 따르면

두 개의 함수

f(x)와 g(x)가 있을 때

도함수를 구하게 되면

첫 번째 함수의 도함수

f'(x)와 두 번째 함수 g(x)를

곱한 것에

첫 번째 함수 f(x) 와

두 번째 함수의 도함수를 곱한 것을
더하면 됩니다

그러니까 두 함수 중에
하나만 도함수를 취하고

다른 것은 그 원래 형태로 두고
서로 바꿔서 진행한 후 더하면 됩니다

여기서는 f 함수의 도함수가 있습니다

여기서는 g 함수의 도함수가 있습니다

지금까지는 복습이었습니다

곱의 미분법을 복습한 것입니다

오늘 본격적으로 할 것은

곱의 미분법을

몫의 미분법에 적용시키는 것입니다

저는 몫의 미분법에 대해
여러가지 생각을 가지고 있습니다

과정을 조금 더 빠르게
해주기도 하지만

사실은 곱의 미분법에서
나온 것입니다

그리고 솔직히 말해서
몫의 미분법은 항상 잊어버려서

곱의 미분법에서 유도해내곤 합니다

f(x) 를 g(x)로 나눈

꼴의 식이 있다고 합시다

이것을 미분하고자 합니다

f(x) / g(x)의 도함수를 구하는 것입니다

우리가 알아야 할 것은

f(x) / g(x)라고 생각하는 대신

f(x) × (g(x)^-1) 로

생각할 수 있다는 것입니다

이제 우리는 곱의 미분법과

합성함수의 미분을 약간만 하면 됩니다

결과가 어떻게 될까요?

일단 곱의 미분을 먼저 합시다

첫 번째 함수의 도함수니까

f'(x) 가 될 것이고

g(x)의 －1승을 곱하면 됩니다

g(x)의 －1승을 곱하면 됩니다

그 다음엔 f(x)에

두 번째 함수의 도함수를
곱하면 됩니다

여기서 합성함수의 미분을
이용해야 합니다

우선 바깥 함수

어떤 것의 －1 승 하는 함수의

도함수를 구하면 되는데

여기서는 －1 곱하기

g(x)의 －2 승이 됩니다

그리고 안의 함수의

도함수를 곱해야 하는데
여기서는

g'(x)가 됩니다

이것의 도함수는

곱의 미분법과 합성 함수의 미분을
이용해야 구할 수 있습니다

그런데 이것은

흔히 책에 나오는

몫의 미분 형태가 아닙니다

조금 더 단순화 해보겠습니다

이것을 다시 써보면

f'(x) / g(x) 가 되고

이것을 다시 써보면

마이너스를 앞으로 빼서

－f(x) × g(x) 를

g(x)² 으로 나눈 꼴이 됩니다

조금 더 깔끔하게 적겠습니다

전체를 g(x)² 로 나눠야 합니다

그래도 여전히 책에서 보는 식과는

거리가 있어 보입니다

그러기 위해서는
이 두 분수를 합쳐야 합니다

우선 분자와 분모에 곱해봅시다

여기서는 g(x)를 곱해야

모든 것이 g(x)²으로
나누어져 있는 꼴이 됩니다

분자에도 곱하면

여기에 g(x)가 생길 것이고

분모는 g(x)² 이 될 것입니다

이제 더하면 됩니다

f(x) 나누기 g(x) 꼴의

도함수는

f'(x)g(x) －f(x)g'(x) 가 분자가 되고

g(x)² 가

분모가 되는 형태입니다

항상 이렇게 곱의 미분과 합성함수의

미분을 통해 유도할 수 있습니다

이런 꼴의 문제를 풀기에는

이렇게 하는 것이 조금 더
빠를 수도 있습니다

곱의 미분과 몫의 미분과의

차이를 보고 싶다면

그냥 하나의 도함수와 다른 함수를 곱하고

처음 함수와 두 번째 함수의 도함수를

곱한 것을 더하지 말고

빼면 됩니다

그리고 전체를

두 번째 함수의 제곱으로 나누면 됩니다

이 도함수의

분자를 보면

여기 마이너스가 있고

전체를 두 번째 함수의 제곱으로
나눈 꼴이 됩니다