L'Hopital's Rule Example 3

نريد ان نجد النهاية عند اقتراب x من 1

للعبارة x تقسيم x ناقص 1

ناقص 1 تقسيم اللوغارتم الطبيعي لـ x

لنرى ما سيحصل

اذا حاولنا التعويض بالعدد 1

ماذا يحدث اذا قمنا بتقييم هذه العبارة عند1؟

حسناً بالتالي، سنحصل على 1 هنا، تقسم 1 - 1

اذاً سوف نحصل على شيئ مثل 1 تقسيم 0، - 1

تقسيم، ما هو اللوغارتم الطبيعي لـ 1؟

e قوة ماذا لنحصل على 1

حسناً، اي شيئ مرفوع للقوة 0 سيساوي 1، اذاً

e^0 = 1، و منه فإن

اللوغارتم الطبيعي لـ 1 سيكون 0

وبالتالي نحصل على ناتج غير معرَّف: 1/0

ناقص 1/0

هذا الناتج يبدو غريب الشكل وغير المعرَّف

لكنه ليس من الأشكال المؤلوفة

التي درسناها في قاعدة لوبيتال

لم نحصل على 0 / 0، ولم نحصل على

∞/∞

ربما ستقول انتظر لحظة هذه ليست مسألة لقاعدة لوبيتال

سيجب علينا ان نجد هذه النهاية بطريقة اخرى

اقول لك، حسناً، لا تستسلم بعد

ربما يمكننا معالجتها جبرياً بطريقة ما

لكي تعطينا نموذج لوبيتال غير المألوف

ثم سيكون بامكاننا تطبيق هذه القاعدة

ولكي نفعل هذا، دعونا نرى، ماذا سيحدث

إذا قمنا بجمع هاتان العبارتان؟

فاذا جمعناهما، هذا التعبير، إذا أضفناه

فسيكون المقام المشترك هو x ناقص 1

مضروب في الووغارتم الطبيعي لـ x

قمت فقط بضرب المقامات في بعضها

ومن ثم سيكون البسط، حسناً، اذا قمت بضربت

هذه العبارة باللوغارتم الطبيعي لـ x، فسوف

تصبح x اللوغرتم الطبيعي لـ x، ومن ثم هذه العبارة

سوف اضربها في x - 1

اذاً ناقص x-1

ويمكنك ان تقسمها و سترى

ان هذه العبارة وهذه العبارة هما نفس الشيئ

هذا هنا، و هذا هناك، هما نفس الشيء مثل

x تقسيم 1،

دعوني اتخلص من ذلك

ومن ثم ان هذه تعادل 1 /

اللوغارتم الطبيعي لـ x، لأن x - 1 يتم حذفهم

اذاً اتمنى انكم تدركون ان كل ما فعلته هو انني جمعت

هاتان العبارتان

وبهذا، دعونا نرى ماذا يحدث اذا اخذت نهاية

اقتراب x من 1 لهذا الشيئ

لأنهما نفس الشيئ

هل نحصل على شيئ اكثر اثارة للاهتمام؟

ماذا لدينا هنا اذاً؟

لدينا 1 × اللوغارتم الطبيعي لـ 1

اللوغارتم الطبيعي لـ 1 هو 0، اذاً لدينا 0 هنا، اذاً هذا 0

- 1 - 0، اذاً هذا سيكون 0 آخر، - 0

اللوغارتم الطبيعي لـ 1، وهو 0، اذاً 0 × 0 = 0

وها قد حصلنا عليها

لدينا نموذج عنقودي وهو الذي نحتاجه لقاعدة لوبيتال

على افتراض انه اذا اخذنا مشتقة ذلك، ووضعناها

فوق مشتقة ذلك، بحيث تكون تلك النهاية موجودة

دعونا اذاَ نحاول ان نقوم بذلك

هذا يساوي، اذا كانت النهاية موجودة، فإن هذا

سيساوي نهاية اقتراب x من 1

ودعونا نأخذ المشتقة باللون الارجواني، سوف آخذ

مشتقة هذا البسط الموجود هنا

وبالنسبة لهذه العبارة الاولى، قوموا باستخدام قاعدة حاصل الضرب

مشتقة x هي 1، ومن ثم 1 × اللوغارتم الطبيعي

لـ x، مشتقة العبارة الاولى ×

العبارة الثانية

ومن ثم سوف نحصل على + مشتقة

العبارة الثانية + 1 / x × العبارة الاولى

ان هذا عبارة عن قاعدة حاصل الضرب

اذاً 1 / x × x، سوف نرى، ان هذا يساوي 1

ومن ثم لدينا - مشتقة x - 1

حسناً، مشتقة x - 1 هي 1

وهذا ما يساوي -1

ومن ثم، جميع ذلك مقسوم على مشتقة هذا الشيئ

لذا دعونا نأخذ مشتقة ذلك، هنا

اذاً مشتقة العبارة الاولى، اي x - 1، هي 1

نضرب ذلك بالعبارة الثانية، ونحصل على اللوغارتم الطبيعي لـ x

ثم + مشتقة العبارة الثانية، مشتقة

اللوغارتم الطبيعي لـ x هي 1/x، ثم × x - 1

اعتقد انه يمكننا تبسيط هذا قليلاً

1/x × x، هذا يساوي 1

سوف نطرح 1 منه

اذاً هؤلاء يتم حذفهما من هناك

وبذلك فإن كل هذه العبارة يمكن ان تعاد كتابتها كنهاية

الاقتراب من 1، البسط هو اللوغارتم الطبيعي لـ x، سأفعل

ذلك باللون الارجواني، والمقام هو اللوغارتم الطبيعي

لـ x + x - 1 / x

اذاً دعونا نحاول تقسسم هذه النهاية هنا

اذا اخذنا اقتراب x من 1 للوغارتم الطبيعي لـ x، فإن ذلك

سيعطينا، حسناً، اللوغارتم الطبيعي لـ 1 هو 0

وهنا، نحصل على اللوغارتم الطبيعي لـ 1، وهو 0

ومن ثم + 1 - 1 / ثم + 1 - 1 / 1، حسناً

هذا يساوي 0 آخر

1 - 1 = 0

اذاً ستحصل على 0 + 0

سوف تحصل على 0 / 0 مرة اخرى

0 / 0

مرة اخرى اذاً، دعونا نطبق قاعدة لوبيتال

دعونا نأخذ مشتقة ذلك، ونضعها فوق

مشتقة ذلك

اذاً هذا، اذا اردنا الحصول على نهاية، فسوف

تساوي نهاية اقتراب x من الـ 1 لمشتقة

البسط، اي 1 / x، صحيح، مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ

x هي 1/x، / مشتقة المقام

وما هي؟

حسناً، ان مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x هي 1/x +

مشتقة x - 1 / x

بامكانك اخذها بهذه الطريقة، اي 1 / x × x - 1

حسناً، مشتقة x^-1، سوف نأخذ

مشتقة العبارة الاولى × العبارة الثانية، و

من ثم مشتقة العبارة الثانية ×

العبارة الاولى

اذاً مشتقة العبارة الاولى، اي x^-1، هي

-x^-2 × العبارة الثانية، × x

- 1، + مشتقة العبارة الثانية، اي

1، × العبارة الاولى، + 1 / x

اذاً هذا سيساوي --لدي شيئ عشوائي

يظهر على جهاز الحاسوب خاصتي

آسف بشأن هذا الصوت اذا كنتم قد سمعتموه

لكن اين وصلت؟

دعونا نبسط هذا الموجود هنا

اننا نستخدم قاعدة لوبيتال

هذا يساوي، دعوني، ان هذا يساوي

اذا قيمنا x على انه يساوي 1، فإن البسط يكون

1/1، اي 1

ونحن بلا شك لن نحصل على ناتج عنقودي او

على الاقل نموذج 0/0 مرة اخرى

والمقام سيكون، اذا قيمناه على 1

فإن هذا 1/1، اي 1، + -1^-2

او تقول ان 1^-2 = 1، انه

عدد سالب

لكن لاحقاً تضرب ذلك بـ 1 - 1، اي

0، لذا فإن كل هذه العبارة سيتم حذفها

ولدينا + 1 آخر / 1

اذاً + 1 وهذا يساوي 1/2

وها قد حصلنا عليها

باستخدام قاعدة لوبيتال ومجموعة من الخطوات، قمنا بحل

شيئ ما على الاقل لا يبدو

مثل 0/0

قمنا بجمع العبارتين فقط، وحصلنا على 0/0، اخذنا مشتقة

البسوط والمقامات مرتين في صف لكي

نحصل على النهاية