1
00:00:00,510 --> 00:00:05,890
نريد ان نجد النهاية عند اقتراب x من 1

2
00:00:05,890 --> 00:00:12,330
للعبارة x تقسيم x ناقص 1

3
00:00:12,330 --> 00:00:17,930
ناقص 1 تقسيم اللوغارتم الطبيعي لـ x

4
00:00:17,930 --> 00:00:19,900
لنرى ما سيحصل

5
00:00:19,900 --> 00:00:21,230
اذا حاولنا التعويض بالعدد 1

6
00:00:21,230 --> 00:00:24,630
ماذا يحدث اذا قمنا بتقييم هذه العبارة عند1؟

7
00:00:24,630 --> 00:00:30,050
حسناً بالتالي، سنحصل على 1 هنا، تقسم 1 - 1

8
00:00:30,050 --> 00:00:35,040
اذاً سوف نحصل على شيئ مثل 1 تقسيم 0، - 1

9
00:00:35,040 --> 00:00:37,520
تقسيم، ما هو اللوغارتم الطبيعي لـ 1؟

10
00:00:37,520 --> 00:00:39,870
e قوة ماذا لنحصل على 1

11
00:00:39,870 --> 00:00:42,600
حسناً، اي شيئ مرفوع للقوة 0 سيساوي 1، اذاً

12
00:00:42,600 --> 00:00:45,420
e^0 = 1، و منه فإن

13
00:00:45,420 --> 00:00:48,750
اللوغارتم الطبيعي لـ 1 سيكون 0

14
00:00:48,750 --> 00:00:52,080
وبالتالي نحصل على ناتج غير معرَّف: 1/0

15
00:00:52,080 --> 00:00:54,040
ناقص 1/0

16
00:00:54,040 --> 00:00:56,520
هذا الناتج يبدو غريب الشكل وغير المعرَّف

17
00:00:56,520 --> 00:00:58,950
لكنه ليس من الأشكال المؤلوفة

18
00:00:58,950 --> 00:01:00,635
التي درسناها في قاعدة لوبيتال

19
00:01:00,635 --> 00:01:02,575
لم نحصل على 0 / 0، ولم نحصل على

20
00:01:02,575 --> 00:01:03,205
∞/∞

21
00:01:03,205 --> 00:01:07,320
ربما ستقول انتظر لحظة هذه ليست مسألة لقاعدة لوبيتال

22
00:01:07,320 --> 00:01:07,600


23
00:01:07,600 --> 00:01:10,150
سيجب علينا ان نجد هذه النهاية بطريقة اخرى

24
00:01:10,150 --> 00:01:13,210
اقول لك، حسناً، لا تستسلم بعد

25
00:01:13,210 --> 00:01:16,880
ربما يمكننا معالجتها جبرياً بطريقة ما

26
00:01:16,880 --> 00:01:20,020
لكي تعطينا نموذج لوبيتال غير المألوف

27
00:01:20,020 --> 00:01:22,650
ثم سيكون بامكاننا تطبيق هذه القاعدة

28
00:01:22,650 --> 00:01:25,270
ولكي نفعل هذا، دعونا نرى، ماذا سيحدث

29
00:01:25,270 --> 00:01:26,960
إذا قمنا بجمع هاتان العبارتان؟

30
00:01:26,960 --> 00:01:30,105
فاذا جمعناهما، هذا التعبير، إذا أضفناه

31
00:01:30,105 --> 00:01:33,735
فسيكون المقام المشترك هو x ناقص 1

32
00:01:33,735 --> 00:01:36,539
مضروب في الووغارتم الطبيعي لـ x

33
00:01:36,539 --> 00:01:39,120
قمت فقط بضرب المقامات في بعضها

34
00:01:39,120 --> 00:01:43,650
ومن ثم سيكون البسط، حسناً، اذا قمت بضربت

35
00:01:43,650 --> 00:01:46,436
هذه العبارة باللوغارتم الطبيعي لـ x، فسوف

36
00:01:46,436 --> 00:01:51,317
تصبح x اللوغرتم الطبيعي لـ x، ومن ثم هذه العبارة

37
00:01:51,317 --> 00:01:52,930
سوف اضربها في x - 1

38
00:01:52,930 --> 00:01:58,225
اذاً ناقص x-1

39
00:01:58,225 --> 00:02:00,780
ويمكنك ان تقسمها و سترى

40
00:02:00,780 --> 00:02:03,520
ان هذه العبارة وهذه العبارة هما نفس الشيئ

41
00:02:03,520 --> 00:02:04,820
هذا هنا، و هذا هناك، هما نفس الشيء مثل

42
00:02:04,820 --> 00:02:07,820
x تقسيم 1،

43
00:02:07,820 --> 00:02:12,220
دعوني اتخلص من ذلك

44
00:02:12,220 --> 00:02:18,430
ومن ثم ان هذه تعادل 1 /

45
00:02:18,430 --> 00:02:21,510
اللوغارتم الطبيعي لـ x، لأن x - 1 يتم حذفهم

46
00:02:21,510 --> 00:02:23,630
اذاً اتمنى انكم تدركون ان كل ما فعلته هو انني جمعت

47
00:02:23,630 --> 00:02:25,120
هاتان العبارتان

48
00:02:25,120 --> 00:02:29,110
وبهذا، دعونا نرى ماذا يحدث اذا اخذت نهاية

49
00:02:29,110 --> 00:02:31,600
اقتراب x من 1 لهذا الشيئ

50
00:02:31,600 --> 00:02:33,010
لأنهما نفس الشيئ

51
00:02:33,010 --> 00:02:35,320
هل نحصل على شيئ اكثر اثارة للاهتمام؟

52
00:02:35,320 --> 00:02:36,360
ماذا لدينا هنا اذاً؟

53
00:02:36,360 --> 00:02:38,810
لدينا 1 × اللوغارتم الطبيعي لـ 1

54
00:02:38,810 --> 00:02:43,650
اللوغارتم الطبيعي لـ 1 هو 0، اذاً لدينا 0 هنا، اذاً هذا 0

55
00:02:43,650 --> 00:02:47,200
- 1 - 0، اذاً هذا سيكون 0 آخر، - 0

56
00:02:55,570 --> 00:03:00,100
اللوغارتم الطبيعي لـ 1، وهو 0، اذاً 0 × 0 = 0

57
00:03:00,100 --> 00:03:00,960
وها قد حصلنا عليها

58
00:03:00,960 --> 00:03:04,940
لدينا نموذج عنقودي وهو الذي نحتاجه لقاعدة لوبيتال

59
00:03:04,940 --> 00:03:07,110
على افتراض انه اذا اخذنا مشتقة ذلك، ووضعناها

60
00:03:07,110 --> 00:03:09,360
فوق مشتقة ذلك، بحيث تكون تلك النهاية موجودة

61
00:03:09,360 --> 00:03:11,130
دعونا اذاَ نحاول ان نقوم بذلك

62
00:03:11,130 --> 00:03:15,340
هذا يساوي، اذا كانت النهاية موجودة، فإن هذا

63
00:03:15,340 --> 00:03:19,200
سيساوي نهاية اقتراب x من 1

64
00:03:19,200 --> 00:03:22,490
ودعونا نأخذ المشتقة باللون الارجواني، سوف آخذ

65
00:03:22,490 --> 00:03:26,190
مشتقة هذا البسط الموجود هنا

66
00:03:26,190 --> 00:03:28,590
وبالنسبة لهذه العبارة الاولى، قوموا باستخدام قاعدة حاصل الضرب

67
00:03:28,590 --> 00:03:32,970
مشتقة x هي 1، ومن ثم 1 × اللوغارتم الطبيعي

68
00:03:32,970 --> 00:03:35,920
لـ x، مشتقة العبارة الاولى ×

69
00:03:35,920 --> 00:03:36,930
العبارة الثانية

70
00:03:36,930 --> 00:03:39,570
ومن ثم سوف نحصل على + مشتقة

71
00:03:39,570 --> 00:03:43,820
العبارة الثانية + 1 / x × العبارة الاولى

72
00:03:43,820 --> 00:03:45,430
ان هذا عبارة عن قاعدة حاصل الضرب

73
00:03:45,430 --> 00:03:47,920
اذاً 1 / x × x، سوف نرى، ان هذا يساوي 1

74
00:03:47,920 --> 00:03:54,390
ومن ثم لدينا - مشتقة x - 1

75
00:03:54,390 --> 00:03:58,450
حسناً، مشتقة x - 1 هي 1

76
00:03:58,450 --> 00:04:01,090
وهذا ما يساوي -1

77
00:04:01,090 --> 00:04:08,710
ومن ثم، جميع ذلك مقسوم على مشتقة هذا الشيئ

78
00:04:08,710 --> 00:04:11,340
لذا دعونا نأخذ مشتقة ذلك، هنا

79
00:04:11,340 --> 00:04:16,600
اذاً مشتقة العبارة الاولى، اي x - 1، هي 1

80
00:04:16,600 --> 00:04:20,330
نضرب ذلك بالعبارة الثانية، ونحصل على اللوغارتم الطبيعي لـ x

81
00:04:20,330 --> 00:04:23,520
ثم + مشتقة العبارة الثانية، مشتقة

82
00:04:23,520 --> 00:04:28,350
اللوغارتم الطبيعي لـ x هي 1/x، ثم × x - 1

83
00:04:28,350 --> 00:04:32,140
اعتقد انه يمكننا تبسيط هذا قليلاً

84
00:04:34,240 --> 00:04:37,270
1/x × x، هذا يساوي 1

85
00:04:37,270 --> 00:04:38,580
سوف نطرح 1 منه

86
00:04:38,580 --> 00:04:40,910
اذاً هؤلاء يتم حذفهما من هناك

87
00:04:40,910 --> 00:04:45,710
وبذلك فإن كل هذه العبارة يمكن ان تعاد كتابتها كنهاية

88
00:04:45,710 --> 00:04:51,260
الاقتراب من 1، البسط هو اللوغارتم الطبيعي لـ x، سأفعل

89
00:04:51,260 --> 00:04:57,160
ذلك باللون الارجواني، والمقام هو اللوغارتم الطبيعي

90
00:04:57,160 --> 00:05:03,600
لـ x + x - 1 / x

91
00:05:03,600 --> 00:05:05,250
اذاً دعونا نحاول تقسسم هذه النهاية هنا

92
00:05:05,250 --> 00:05:09,060
اذا اخذنا اقتراب x من 1 للوغارتم الطبيعي لـ x، فإن ذلك

93
00:05:09,060 --> 00:05:13,640
سيعطينا، حسناً، اللوغارتم الطبيعي لـ 1 هو 0

94
00:05:13,640 --> 00:05:19,720
وهنا، نحصل على اللوغارتم الطبيعي لـ 1، وهو 0

95
00:05:19,720 --> 00:05:27,920
ومن ثم + 1 - 1 / ثم + 1 - 1 / 1، حسناً

96
00:05:27,920 --> 00:05:28,900
هذا يساوي 0 آخر

97
00:05:28,900 --> 00:05:29,810
1 - 1 = 0

98
00:05:29,810 --> 00:05:30,680
اذاً ستحصل على 0 + 0

99
00:05:30,680 --> 00:05:34,140
سوف تحصل على 0 / 0 مرة اخرى

100
00:05:34,140 --> 00:05:35,740
0 / 0

101
00:05:35,740 --> 00:05:38,230
مرة اخرى اذاً، دعونا نطبق قاعدة لوبيتال

102
00:05:38,230 --> 00:05:39,890
دعونا نأخذ مشتقة ذلك، ونضعها فوق

103
00:05:39,890 --> 00:05:41,240
مشتقة ذلك

104
00:05:41,240 --> 00:05:44,210
اذاً هذا، اذا اردنا الحصول على نهاية، فسوف

105
00:05:44,210 --> 00:05:51,950
تساوي نهاية اقتراب x من الـ 1 لمشتقة

106
00:05:51,950 --> 00:05:56,320
البسط، اي 1 / x، صحيح، مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ

107
00:05:56,320 --> 00:06:00,340
x هي 1/x، / مشتقة المقام

108
00:06:00,340 --> 00:06:01,160
وما هي؟

109
00:06:01,160 --> 00:06:06,950
حسناً، ان مشتقة اللوغارتم الطبيعي لـ x هي 1/x +

110
00:06:06,950 --> 00:06:09,590
مشتقة x - 1 / x

111
00:06:09,590 --> 00:06:13,120
بامكانك اخذها بهذه الطريقة، اي 1 / x × x - 1

112
00:06:13,120 --> 00:06:16,730
حسناً، مشتقة x^-1، سوف نأخذ

113
00:06:16,730 --> 00:06:19,280
مشتقة العبارة الاولى × العبارة الثانية، و

114
00:06:19,280 --> 00:06:20,670
من ثم مشتقة العبارة الثانية ×

115
00:06:20,670 --> 00:06:21,610
العبارة الاولى

116
00:06:21,610 --> 00:06:24,980
اذاً مشتقة العبارة الاولى، اي x^-1، هي

117
00:06:24,980 --> 00:06:30,030
-x^-2 × العبارة الثانية، × x

118
00:06:30,030 --> 00:06:34,830
- 1، + مشتقة العبارة الثانية، اي

119
00:06:34,830 --> 00:06:39,780
1، × العبارة الاولى، + 1 / x

120
00:06:39,780 --> 00:06:45,060
اذاً هذا سيساوي --لدي شيئ عشوائي

121
00:06:45,060 --> 00:06:45,860
يظهر على جهاز الحاسوب خاصتي

122
00:06:45,860 --> 00:06:47,730
آسف بشأن هذا الصوت اذا كنتم قد سمعتموه

123
00:06:47,730 --> 00:06:48,780
لكن اين وصلت؟

124
00:06:48,780 --> 00:06:50,710
دعونا نبسط هذا الموجود هنا

125
00:06:50,710 --> 00:06:52,210
اننا نستخدم قاعدة لوبيتال

126
00:06:52,210 --> 00:06:58,010
هذا يساوي، دعوني، ان هذا يساوي

127
00:06:58,010 --> 00:07:02,870
اذا قيمنا x على انه يساوي 1، فإن البسط يكون

128
00:07:02,870 --> 00:07:05,610
1/1، اي 1

129
00:07:05,610 --> 00:07:07,406
ونحن بلا شك لن نحصل على ناتج عنقودي او

130
00:07:07,406 --> 00:07:09,480
على الاقل نموذج 0/0 مرة اخرى

131
00:07:09,480 --> 00:07:12,080
والمقام سيكون، اذا قيمناه على 1

132
00:07:12,080 --> 00:07:18,180
فإن هذا 1/1، اي 1، + -1^-2

133
00:07:18,180 --> 00:07:21,490
او تقول ان 1^-2 = 1، انه

134
00:07:21,490 --> 00:07:22,445
عدد سالب

135
00:07:22,445 --> 00:07:24,820
لكن لاحقاً تضرب ذلك بـ 1 - 1، اي

136
00:07:24,820 --> 00:07:27,100
0، لذا فإن كل هذه العبارة سيتم حذفها

137
00:07:27,100 --> 00:07:29,890
ولدينا + 1 آخر / 1

138
00:07:29,890 --> 00:07:34,090
اذاً + 1 وهذا يساوي 1/2

139
00:07:34,090 --> 00:07:34,990
وها قد حصلنا عليها

140
00:07:34,990 --> 00:07:37,620
باستخدام قاعدة لوبيتال ومجموعة من الخطوات، قمنا بحل

141
00:07:37,620 --> 00:07:39,050
شيئ ما على الاقل لا يبدو

142
00:07:39,050 --> 00:07:40,260
مثل 0/0

143
00:07:40,260 --> 00:07:44,110
قمنا بجمع العبارتين فقط، وحصلنا على 0/0، اخذنا مشتقة

144
00:07:44,110 --> 00:07:46,460
البسوط والمقامات مرتين في صف لكي

145
00:07:46,460 --> 00:07:49,180
نحصل على النهاية