Dowód: log a + log b = log ab

Witam.

Popracujmy nad pewną własnością logarytmu.

Przypomnijmy sobie szybko co to jest logarytm.

Powiedzmy, że napiszę logarytm o podstawie x z A

jest równy, no nie wiem, wybierzmy literę n.

Co to znaczy?

Cóż, znaczy to, że x do potęgi n równa się A.

Myślę, że już to wiemy.

Dowiedzieliśmy się tego z wideo o logarytmie.

Tak więc, bardzo ważne jest rozumieć, że kiedy obliczamy wartość

logarytmu, jak logartym o podstawie x z A, to odpowiedź

jaką otrzymujemy jest wykładnikiem.

Ta liczba n jest po prostu wykładnikiem.

To jest równe temu.

Możesz to zapisać w ten sposób.

Możesz, ponieważ to jest równe temu

po prostu napisać x to potęgi

logarytm o podstawie x z A jest równe A.

To co zrobiłem, to wziąłem n i zastąpiłem go tym wyrażeniem.

I chciałem zapisać to w tej postaci, bo chcę

przekazać wam intuicyjne wyobrażenie logarytmu

jako funkcji, obliczenie której daje w wyniku

po prostu wykładnik.

W ten sposób będziemy się posługiwać tym pojęciem.

Stąd, tak na prawdę, wynikają

wszystkie własności logarytmu.

To co chcę zrobić,

to znaleźć własności logarytmu,

bawiąc się trochę.

Później, podsumuję to

i wyczyszczę.

Pokażę może jednak jak ludzie oryginalnie

odkryli te sprawy.

Powiedzmy, że x, tylko zmienię kolor.

Myślę, że tak będzie bardziej interesująco.

Powiedzmy, że x to potęgi l jest równe A.

Jeżeli tereaz napiszemy tę samą zależność

jako logarytm, możemy napisać, że logarytm o podstawie x

z A jest równy l. Zgadza się?

Po prostu przepisałem to co napisałem w górnej linii.

Teraz zmienię kolor.

A jeśli chcę powiedzieć, że x do potęgi m jest równe B,

to jest to samo, tylko zmieniłem litery.

Oznacza to po prostu, że logarytm o podstawie x z B

jest równy m. Zgadza się?

Zrobiłem to samo co w tej linii.

Po prostu zmieniłem litery.

Idźmy dalej i zobaczmy co się stanie.

Wezmę teraz nowy kolor.

Powiedzmy teraz, że mamy x do potęgi n. Zapytasz:

dokąd to prowadzi Sal.

Zobaczysz.

To bardzo miłe. x do potęgi n jest równe A razy B.

x do potęgi n jest równe A razy B.

I to jest to samo, co powiedzieć, że mamy logarytm o podstawie x

z A razy B

Co możemy z tym wszystkim zrobić?

Zacznijmy od tego tutaj.

x do potęgi z jest równe A razy B.

Jak możemy to zapisać inaczej?

Cóż, A jest równe temu,

a B jest równe temu. Tak?

Przepiszmy to więc.

Wiemy więc, że x do n jest równe A.

A jest równe temu.

x do potęgi l.

x do potęgi l.

A czemu równa się B?

Razy B.

Więc, B jest równe x do m. Tak?

Nie robię tu nic szczególnego.

Ale ile to jest x do l razy x do m?

No cóż, jak wiemy z lekcji o wykładnikach, kiedy mnożymy

dwa wyrażenia, które mają tę samą podstawę,

ale różne wykładniki, po prostu dodajemy wykładniki.

Czyli to jest równe, wezmę tylko neutralny kolor.

Nie wiem, czy wyrażam się poprawnie,

ale rozumiecie.

Kiedy macie tę samą podstawę i mnożycie,

dodajecie po prostu wykładniki.

To równa się x do potęgi l. Chcę dalej zmieniac kolory,

bo myślę, że to przydatne.

l, l dodać m.

To trochę uciążliwe, zmieniać ciągle kolory,

ale rozumiecie co mówię.

Wieć, x do potęgi n jest równe x do potęgi l plus m.

Wstawię x tutaj.

Oj, chciałem żeby to było zielone.

x do l plus n.

Co więc wiemy?

Wiemy, że x do potęgi n jest równe x do potęgi l plus m.

Zgadza się?

No cóż, mamy tę samą podstawę.

Te wykładniki muszą być sobie równe.

Wiemy więc, że n jest równe l dodać m.

Co to dam daje?

Do tej pory bawiłem się trochę z logarytmami.

Czy do czegoś mnie to prowadzi?

Myślę, że zobaczycie że tak.

Jaki jest inny sposób zapisania liczby n?

Powiedzieliśmy, że x do potęgi n jest równe A razy B,

ojej, opuściłem jeden krok tutaj.

To oznacza - wracając tutaj, x do potęgi n

jest równe A razy B.

To oznacza, że logarytm o podstawie x z A razy B jest równy n.

Wiedzieliście to.

Ja nie.

Mam nadzieję, że rozumiecie, że niczego nie wycofuję.

Po prostu zapomniałem tego napisać za pierwszym razem.

Tak czy owak.

Czym jest n?

Jaki jest inny sposób zapisania n?

No cóż innym sposób przedstawienia n jest tutaj.

Logarytm o podstawie x z A razy B.

Wiemy więc teraz, że jeżeli zastąpimy n tym,

otrzymamy logarytm o podstawie x z A razy B.

A czemu to jest równe?

To jest równe l.

Inny sposób zapisania l jest tutaj na górze.

Jest to równe logarytmowi o podstawie x z A, dodać m.

A czemu równa się m?

m jest tutaj.

Logarytm o podstawie x z B.

W ten sposób otrzymujemy naszą pierwszą własność logarytmu.

Logarytm o podstawie x z A razy B - to po prostu równa się

logarytm o podstawie x z A dodać logarytm o podstawie x z B.

I to mam nadzieję przekonuje was.

A jeżeli chcecie mieć intuicję, dlaczego to działa,

wynika to z faktu, że logarytmy są niczym innym jak wykładnikami.

Na tym kończę to nagranie.

W następnym filmie

udowodnię inną własność logarytmu.

Do zobaczenia wkrótce.