Разлагане на полиноми с използване на комплексни числа

Сал показва как да се разложи многочлен от четвърта степен на линейни членове, като се използват формули за съкратено умножение.

Дадено е, че Амат опитал
да представи израза

х на четвърта степен
плюс 5 по х на квадрат, плюс 4

като произведение от линейни
множители.

Тук виждаме неговото решение.

И са показани стъпките
на неговото решение.

След което в задачата се пита

в коя стъпка Амат е допуснал
първата си грешка.

Постави видеото на пауза
и опитай да отговориш самостоятелно.

Сега да решим задачата
заедно.

Започваме с х на четвърта
степен плюс 10 по х на квадрат

плюс 9.

Изглежда, че Амат се е опитал
да разложи израза като

х на квадрат плюс 9,
по х на квадрат плюс 1.

Това изглежда логично,

защото ако положим

u равно на х на квадрат,

можем да представим този израз тук

като u на квадрат плюс
10 по u, плюс 9.

Причината да направим това е,

че можем да изразим този
израз от по-висока степен

чрез израз от втора степен.

Ние сме разглеждали много пъти
как да разлагаме изрази като този.

Поглеждаме и казваме:

сборът на кои две числа
дава 10,

а произведението им е 9?

Дали може да са 9 и 1?

Значи можем да представим
това като

u плюс 9, по u плюс 1.

Ако u е равно на х на квадрат,

тогава това става х на квадрат плюс 9,
по х на квадрат плюс 1.

Това е съвсем същото
като написаното от Амат.

Значи стъпка 1 е правилна.

Добре, сега да видим какво
е направил Амат в стъпка 2.

Не е направил нищо с
х на квадрат плюс 9,

но изглежда е опитал

да разложи х на квадрат плюс 1.

Това изглежда правилно.

Само трябва да си припомним,

че когато имаме разлика на квадрати,

когато работим с некомплексни числа,

можем да преработим този израз тук

като х плюс а, по х минус а.

Можем да получим сума от квадрати,

ако ги разглеждаме като
комплексни числа.

Това е равно на х
плюс а по i, по х минус a по i.

В този случай х си е х,

докато а е равно на 1.

Значи ще имаме х плюс 1 по i,

х плюс 1 по i, по х минус 1 по i.

Значи стъпка две е правилна.

Сега да видим стъпка три.

В третата стъпка

тази част от израза не се променя.
(подчертава я)

Изглежда, че Амат се опитва

да разложи х на квадрат плюс 9
по съвсем същия начин.

Сега х на квадрат плюс 9
е равно на

х на квадрат плюс 3 на квадрат.

Ако използваш съвсем същата идея тук,
(посочва на екрана)

при разлагането получаваме
х плюс 3 по i, по х минус 3 по i.

Това, което виждаме тук,

е, че Амат използва корен квадратен от 3,

а не просто 3.

Амат го е разложил все едно тук
вместо 9

имаме тук 3.

Той е допуснал грешка тук.

Значи това е стъпката, в която
Амат е допуснал първата си грешка.

С това задачата е решена.