Explicação de Expoentes Negativos

Explicação do porquê de a^-b = 1/(a^b) (e do porquê de a^0 =1)

Pediram-me para explicar porque é que, digamos,

a elevado a b negativo é igual a 1 sobre a elevado a b.

E antes de vos explicar,

quero que percebam que isto é uma definição.

eu não sei.

O inventor da matemática não foi uma pessoa.

Isto é uma convenção que surgiu.

E foi definido assim

por causa das razões que vos vou mostrar.

Bem, o que eu vou mostrar para vocês é uma das razões,

e depois nós vamos ver que isso é uma boa definição.

porque quando você aprende a regra dos expoentes, todas as outras regras dos expoentes ficam consistentes para expoentes negativos

e quando você eleva algo a zero.

Então vamos pegar os expoentes positivos.

Eles são bem intuitivos, eu acho.

Então os expoentes positivos, você tem a a um, a ao quadrado,

a ao cubo, a à quarta.

O que é A elevado a um? A à primeira, como dissemos, é a,

e para chegar a a ao quadrado, o que fizemos?

multiplicamos por a, certo?

a ao quadrado é só a vezes a.

Para chegar a a ao cubo, o que fizemos?

Multiplicamos por a de novo.

E para chegar a a à quarta, o que fizemos?

Multiplicamos por a de novo.

Ou o outro jeito, você pode imaginar, é quando você diminui o expoente, o que estamos fazendo?

Estamos multiplicando por 1 sobre a, ou dividindo por a.

E similarmente, você diminui de novo, você está dividindo por a.

E para chegar de a ao quadrado para a à primeira, você divide por a.

Então vamos usar essa progressão para descobrir o que a à zero é.

Então esse é o primeiro difícil.

Então a a zero.

Então você é o inventor, o pai da matemática,

e você precisa definir o que a à zero é.

E, você sabe, talvez seja 17, talvez seja pi.

Eu não sei.

Cabe a você decidir o que a a zero é.

Mas não seria bom se a à zero continuasse o seu padrão?

Que toda vez que você diminui o expoente, você está dividindo por a, certo?

Então, se você está indo de a à primeira para a à zero,

não seria bom se dividíssemos por a?

Vamos fazer isso.

Então se estamos indo de a à primeira, que é só a,

e dividirmos por a,

certo, então vamos - vamos dividir por a.

Quanto é a dividido por a?

Bem, é só um.

Então é daí que a definição -

ou essa é uma das intuições por trás do porquê de algo elevado a zero ser igual a um.

Porque quando você pega aquele número

e divide ele por ele mesmo mais uma vez, você fica com um.

Então isso é bem razoável,

mas agora vamos entrar no domínio negativo.

Então o que a elevado a menos 1 iguala?

Bem, mais uma vez, seria bom seguir esse padrão,

onde cada vez que diminuimos o expoente, estamos dividindo por a.

Então vamos dividir por a de novo, então um sobre a.

Então vamos pegar a à zerp e dividir por a.

a à zero é um, então o que é um dividido por a?

é um sobre a.

Agora, camos fazer mais uma vez,

e acho que você vai observar o mesmo padrão.

Bem, eu acho que você já viu o padrão,

O que é a à menos dois?

Bem, queremos - você sabe, seria bobo mudar o padrão.

Toda vez que diminuímos o expoente, estamos dividindo por a.

Então para ir de a à menos um para a à menos dois,

vamos só dividir por a de novo.

E o que temos?

Se você pegar um sobre a e dividir por a, você fica com um sobre a ao quadrado.

E você poderia continuar esse padrão toda vida para a esquerda,

e você ficaria com a à menos b igual a um sobre a à b.

Esperançosamente, isso te deu uma intuição da razão -

bem, primeiramente, você sabe, o maior mistério é, você sabe,

algo elevado a zero, por que iguala um?

Primeiro, mantenha a ideia que isso é só a definição.

Alguém decidiu que deveria ser igual a um, mas eles tinham um bom motivo.

E o bom motivo deles é que deveriam manter esse padrão indo.

E essa é a mesma razão que definiram os expoentes negativos dessa maneira.

E o que é super legal sobre isso é

que não só continua o padrão quando você diminui expoentes, você dividindo por a,

ou quando você aumenta os expoentes você multiplica por a,

mas como você verá nos vídeos sobre regras sobre expoentes, todas as regras continuam.

Todas as regras dos expoentes são consistentes com essa definição de algo elevado a zero

e essa definição de algo elevado a um expoente negativo.

Esperançosamente, isso não te confundiu

e te deu uma pequena intuição e desmistificou algo que, francamente,

é bem misterioso da primeira vez que você aprende.