-
Laten we een functie nemen van x en y; f van x
-
is gelijk aan x plus y-kwadraat.
-
Als ik dat wil tekenen, eens zien of ik
-
een goede poging kan wagen
-
Dat is mijn y-as... Ik ga wat in perspectief tekenen
-
dit is mijn x-as... Ik kan de negatieve x- en y-as,
-
ik zou het in die richting kunnen doen... dit hier is mijn x-as
-
En als ik dit zou uittekenen als y 0 was, het wordt
-
gewoon een... laat ik het in geel tekenen.. het wordt gewoon een
-
rechte lijn die er ongeveer zo uit ziet.
-
En voor elk gegeven eigenlijk, gaan we
-
een parabool in y krijgen
-
Y gaat er ongeveer zo uit zien
-
Ik ga gewoon erheen in het positieve kwadrant
-
Het gaat er ongeveer zo uitzien.
-
Het zal eigenlijk, als je naar negatieve waarden van y gaat,
-
je zult de andere helft van de parabool zien, maar ik ga me niet
-
te veel zorgen er over maken
-
Dus je gaat dit oppervlak krijgen.
-
Het ziet er ongeveer zo uit.
-
Misschien probeer ik het nog eens te tekenen
-
Maar dit is ons plafond, waar we weer mee aan de haal gaan.
-
En ik ga een pad krijgen in het xy-vlak
-
Ik ga beginnen bij punt 2 komma 0. X is
-
gelijk aan 2, y is 0
-
En ik ga lopen, net als we in de vorige video deden,
-
Ik ga over een cirkel lopen, maar dit keer
-
is de radius van de cirkel 2.
-
Ga tegen de klok in bij die cirkel.
-
Dit is op het xy-vlak, gewoon om het
-
goed te visualiseren.
-
Dus dit hier is een punt 0, 2.
-
En ik ga terugkomen langs de y-as.
-
Dit is mijn pad; ik ga terugkomen langs de y as.
-
en dan ga ik hier linksaf en dan ga ik
-
hier weer linksaf en kom ik terug langs de x-as
-
Ik heb het getekend in deze twee groen-tinten.
-
Dat is mijn omtrek.
-
En wat ik wil doen: ik wil de oppervlakte berekenen
-
van dit kleine gebouw in feite, dat een dak heeft van
-
xy is gelijk aan x plus y-kwadraat. En ik wil
-
de oppervlakte van de muren ervan berekenen.
-
Dus je hebt deze muur hier, waarvan de basis de x-as is.
-
Dan heb je deze muur, die langs de kromme ligt.
-
Het gaat er uit zien als een of andere funky muur
-
aan die kromme zijde daar.
-
Ik ga mijn uiterste best doen om te.. het wordt
-
helemaal omhoog buigen op die manier en vervolgens langs de y-as
-
Het gaat een soort halve parabool-muur hebben precies hier
-
Ik ga de achterste muur langs de y-as plaatsen
-
Dat doe ik in het oranje, of nee, ik ga magenta gebruiken
-
Dat is de achterste muur, langs de y-as.
-
Dan heb je deze voorste muur, langs de x-as.
-
En je hebt dit gekke golvende gordijn of muur. Dat doe ik
-
misschien in het blauw... die loopt langs deze kromme hier,
-
dit deel van de cirkel met radius 2.
-
Dus hopelijk snap je die visualisatie.
-
Het is iets moeilijker; ik gebruik geen enkel grafisch
-
programma op dit moment
-
Maar ik wil de oppervlakte vinden, de
-
opgetelde oppervlakte van deze drie muren.
-
En in heel simpele notatie kunnen we zeggen, nou, dat het oppervlak
-
van die muren... van deze muur, plus die muur, plus die muur
-
gaat gelijk zijn aan de lijn-integraal langs deze
-
kromme, of langs deze omtrek... hoe je het ook wilt noemen
-
van f van xy... dus dat is x plus y-kwadraat.. ds, waar ds
-
gewoon een korte lengte langs onze omtrek is.
-
En aangezien dit een gesloten lus is, noemen we dit
-
een gesloten lijn interval.
-
En we zien soms deze notatie.
-
Je zult deze vaak in natuurkunde boeken tegenkomen
-
En we zullen er veel meer behandelen/
-
En we gaan een cirkel zetten op het interval teken
-
En dat betekent niet meer dan dat de omtrek, waar we mee bezig zijn,
-
een gesloten omtrek is; we komen terug bij het punt waar we begonnen.
-
Maar hoe lossen we dit nu op?
-
Een goed begin is, om gewoon
-
de omtrek zelf te vinden.
-
En voor het gemak; we gaan het in drie stukken verdelen.
-
en eigenlijk de drie aparte
-
lijn-integralen berekenen.
-
Want, weet je, dit is niet echt een continue omtrek.
-
Dus het eerste deel...
-
Laten we dit eerste deel doen van de kromme, waar we
-
langs de cirkel met radius 2 lopen.
-
En dat is best makkelijk te samen te stellen als we x hebben. Laat ik..
-
elk deel van de omtrek in een andere kleur doen. Dus als ik,
-
dit deel van de omtrek oranje kleur... als we zeggen dat x gelijk is aan 2 maal
-
de cosinus van t en y is gelijk aan 2 maal de sinus van t en als we zeggen dat
-
t... en dit is alleen maar voortbouwen op wat we in
-
de vorige video zagen... als we zeggen dat t... en dat dit is van t is
-
groter dan of gelijk aan 0 en is kleiner dan of gelijk aan pi
-
gedeeld door 2... t gaat in feite de hoek zijn, die
-
we langs de cirkel lopen.
-
Dit zal eigenlijk het pad omschrijven.
-
En als je weet... hoe ik dit het opgebouwd is een klein beetje
-
verwarrend, misschien goed om de video over parametrische
-
vergelijkingen te bekijken.
-
Dus, dit is het eerste deel van ons pad.
-
Dus als we alleen maar het oppervlak van die muur daar willen vinden,
-
weten we dat we dx, dt en
-
dy, dt moeten vinden
-
Dus laten we dat gelijk maar doen.
-
Als we zeggen dat dx, dt gelijk gaat zijn aan min 2 maal sinus t,
-
dy, dt gaat gelijk zijn aan 2 maal cosinus t, niet meer dan
-
de afgeleiden hiervan
-
Dat hebben we al vaak genoeg gezien
-
Dus als we de oppervlakte van deze oranje muur willen, kunnen we
-
de integraal nemen... en als iets hiervan verwarrend is; er zijn
-
twee videos voor deze, waarin we deze formule afleiden
-
... maar we kunnen de integraal van t is 0
-
tot aan pi gedeeld door twee onze functie van x plus y-kwadraat en
-
dan keer de ds.
-
Dus x plus y-kwadraat geeft een hoogte van
-
elke blokje.
-
En dan willen we de breedte van elk blokje hebben,
-
wat ds is, maar we weten dat we ds kunnen herschrijven als
-
de wortel... even wat ruimte creëren daar... van dx van de
-
afgeleide van x met betrekking to t-kwadraat.. dus dat is min 2
-
maal sinus t-kwadraat... plus de afgeleide van y met
-
betrekking tot t-kwadraat, dt.
-
Dit geeft ons het oranje deel, en dan kunnen we ons buigen
-
over de twee andere muren.
-
En hoe kunnen we dit vereenvoudigen?
-
Nou, dit gaat gelijk zijn aan de integraal van 0 tot pi
-
gedeeld door 2 van x plus y-kwadraat
-
En eigenlijk, laat ik alles in t uitdrukken.
-
Dus x is 2 maal cosinus t
-
Laat me dat noteren.
-
Dus het is 2 maal cosinus t plus y, wat gelijk is aan 2 maal sinus t en we gaan
-
alles kwadrateren.
-
En dan dat alles maal deze gestoorde radicaal
-
Op dit moment lijkt het op een moeilijke primitieve of een integraal
-
om op te lossen, maar we gaan zien dat het niet zo erg is.
-
Dit gaat gelijk zijn aan 4 maal sinus-kwadraat t plus
-
4 cosinus-kwadraat t.
-
We kunnen door 4 delen
-
Niet de dt vergeten.
-
Dit hier... laat me deze uitdrukking vereenvoudigen
-
zodat ik het niet steeds moet herschrijven
-
Dit is hetzelfde als de wortel van van 4 maal
-
sinus-kwadraat t plus cosinus-kwadraat t.
-
We weten wel wat dat is: gewoon 1.
-
Dus dit hele ding vereenvoudigt gewoon tot de
-
wortel van 4, wat gewoon 2 is.
-
Dus dit hele ding vereenvoudigt tot 2, wat fijn is
-
voor het oplossen van onze primitieve
-
Dat maakt het een stuk makkelijker
-
Dus dit hele ding vereenvoudigt tot... Ik doe het aan deze kant
-
Ik wil niet teveel ruimte verspillen; ik heb nog twee muren
-
om uit te werken... de integraal van t is gelijk aan 0 tot aan pi gedeeld door 2
-
Ik wil dit heel duidelijk maken.
-
Ik heb gewoon gekozen voor de makkelijkste parametrisering
-
van x en y, die ik maar kon.
-
Maar ik had net zo goed een andere parametrisering kunnen kiezen
-
maar dan had ik t moeten aanpassen daaraan.
-
Dus zolang je consistent te werk gaat,
-
zou het allemaal moeten goedkomen.
-
Er is niet alleen maar 1 parametrisering voor deze kromme;
-
het hangt af van hoe snel je wilt gaan
-
langs de kromme.
-
Bekijk de video's over parametric functions (parametrische functies) als je
-
wat meer diepgang daarover wilt.
-
In ieder geval, dit ding vereenvoudigt.
-
We hebben een 2 hier; 2 maal cosinus t,
-
dat is 4 maal cosinus t.
-
En dan hebben we hier 2 maal sinus t-kwadraat.
-
Dus dat is 4 maal sinus-kwadraat t
-
En dan moeten we weer met deze twee vermenigvuldigen
-
dus dat geeft ons 8.
-
8 maal sinus-kwadraat t, dt.
-
En dan weet je, sinus-kwadraat t; dat lijkt
-
moeilijk om een primitieve voor te vinden, maar we
-
weten nog dat sinus-kwadraat van.. alles eigenlijk... we kunnen zeggen
-
sinus-kwadraat u is gelijk aan de helft van
-
1 min cosinus 2 u.
-
Dus we kunnen deze term opnieuw gebruiken.
-
Ik kan de t hier proberen; sinus-kwadraat t is gelijk aan
-
1/2 maal 1 min cosinus 2t
-
Laat me dat zo herschrijven, want dat zal het heel wat
-
makkelijker maken om de integraal op te lossen.
-
Dus we krijgen de integraal van 0 tot aan pi gedeeld door 2... en eigenlijk
-
kan ik het opdelen, nou ja, ik ga het niet opdelen... van 4 cosinus t
-
plus 8 maal dit ding.
-
8 maal dit ding, dit is het zelfde ding als
-
sinus-kwadraat t.
-
Dus 8 maal dit... 8 maal 1/2 is 4.. 4 maal 1 min cosinus
-
2t... gewoon een beetje trigonometrie gebruiken hier... en
-
van dat alles: dt.
-
Nu, hier zou je makkelijk de primitieve
-
van moeten kunnen vinden
-
Laten we gewoon primitiveren.
-
De primitieve hiervan is de primitieve van cosinus t
-
dat is gewoon sinus t.
-
De afgeleide van sinus is cosinus.
-
Dus dit wordt 4 sinus t... de scalars beïnvloeden
-
niks.. en dan, nou late me deze 4 overhevelen.
-
Dus dit is 4 maal 1, wat 4 is; min 4 maal cosinus 2t.
-
Dus de primitieve van 4 is 4t... plus 4t.. en dan
-
de primitieve van -4 cosinus 2 t
-
Eens zien, dat wordt sinus 2t.
-
De afgeleide van sinus 2t is: 2 maal cosinus 2 t.
-
We hebben hier een min-teken nodig en we zetten een 2
-
daar en nu zou het moeten uitkomen.
-
Wat is de afgeleide van -2 sinus t?
-
Neem de afgeleide van het binnenstuk 2 maal
-
min 2 is min 4
-
En de afgeleide van sinus 2t in termen van 2t
-
is cosinus 2t.
-
Dus daar heb je het; we hebben onze primitieve berekend.
-
Nu evalueren we het vanaf 0 tot een halve pi.
-
En wat krijgen we?
-
We krijgen 4 sinus... laat me dit opschrijven, want ik wil niet
-
te veel overslaan... sinus een halve pi plus 4 maal een halve pi
-
dat is gewoon 2 pi min 2 maal sinus 2 maal pi gedeeld door 2 sinus pi
-
en dan dat alles min dit allemaal, bekeken bij 0
-
Dat is eigenlijk best makkelijk, want
-
sinus 0 is 0
-
4 keer 0 is 0 en sinus 2 maal 0, dat is ook 0.
-
Dus alles met de nullen komt mooi uit.
-
En wat hebben we dan hier?
-
Sinus een halve pi... uit het hoofd, de sinus van 90 graden denk ik;
-
hetzelfde.. dat is 1
-
En dan de sinus van pi is nul, dat is 180 graden.
-
Dus dit hele stuk valt weg.
-
Dus we hebben over: 4 plus 2 pi.
-
Dus zo waren we in staat het oppervlak van
-
deze eerste golvende muur hier te berekenen, en eerlijk gezegd
-
dat is het moeilijkste deel.
-
Laten we nu de oppervlakte van deze kromme bepalen.
-
En je zult zien dat deze andere
-
krommen, lopend langs de assen, veel en veel
-
makkelijk zijn, maar we moeten andere
-
parametriseringen hiervoor vinden.
-
Dus we nemen deze kromme hier, laten we
-
een parametrisering hiervoor maken
-
Eigenlijk, weet je wat?
-
Laat ik dit in de volgende video voortzetten, want ik merk
-
dat ik wat over de tijd heen ga.
-
Ik ga de volgende twee muren doen en dan tellen we ze allemaal bij elkaar op.
