Laten we een functie nemen van x en y; f van x
is gelijk aan x plus y-kwadraat.
Als ik dat wil tekenen, eens zien of ik
een goede poging kan wagen
Dat is mijn y-as... Ik ga wat in perspectief tekenen
dit is mijn x-as... Ik kan de negatieve x- en y-as,
ik zou het in die richting kunnen doen... dit hier is mijn x-as
En als ik dit zou uittekenen als y 0 was, het wordt
gewoon een... laat ik het in geel tekenen.. het wordt gewoon een
rechte lijn die er ongeveer zo uit ziet.
En voor elk gegeven eigenlijk, gaan we
een parabool in y krijgen
Y gaat er ongeveer zo uit zien
Ik ga gewoon erheen in het positieve kwadrant
Het gaat er ongeveer zo uitzien.
Het zal eigenlijk, als je naar negatieve waarden van y gaat,
je zult de andere helft van de parabool zien, maar ik ga me niet
te veel zorgen er over maken
Dus je gaat dit oppervlak krijgen.
Het ziet er ongeveer zo uit.
Misschien probeer ik het nog eens te tekenen
Maar dit is ons plafond, waar we weer mee aan de haal gaan.
En ik ga een pad krijgen in het xy-vlak
Ik ga beginnen bij punt 2 komma 0. X is
gelijk aan 2, y is 0
En ik ga lopen, net als we in de vorige video deden,
Ik ga over een cirkel lopen, maar dit keer
is de radius van de cirkel 2.
Ga tegen de klok in bij die cirkel.
Dit is op het xy-vlak, gewoon om het
goed te visualiseren.
Dus dit hier is een punt 0, 2.
En ik ga terugkomen langs de y-as.
Dit is mijn pad; ik ga terugkomen langs de y as.
en dan ga ik hier linksaf en dan ga ik
hier weer linksaf en kom ik terug langs de x-as
Ik heb het getekend in deze twee groen-tinten.
Dat is mijn omtrek.
En wat ik wil doen: ik wil de oppervlakte berekenen
van dit kleine gebouw in feite, dat een dak heeft van
xy is gelijk aan x plus y-kwadraat. En ik wil
de oppervlakte van de muren ervan berekenen.
Dus je hebt deze muur hier, waarvan de basis de x-as is.
Dan heb je deze muur, die langs de kromme ligt.
Het gaat er uit zien als een of andere funky muur
aan die kromme zijde daar.
Ik ga mijn uiterste best doen om te.. het wordt
helemaal omhoog buigen op die manier en vervolgens langs de y-as
Het gaat een soort halve parabool-muur hebben precies hier
Ik ga de achterste muur langs de y-as plaatsen
Dat doe ik in het oranje, of nee, ik ga magenta gebruiken
Dat is de achterste muur, langs de y-as.
Dan heb je deze voorste muur, langs de x-as.
En je hebt dit gekke golvende gordijn of muur. Dat doe ik
misschien in het blauw... die loopt langs deze kromme hier,
dit deel van de cirkel met radius 2.
Dus hopelijk snap je die visualisatie.
Het is iets moeilijker; ik gebruik geen enkel grafisch
programma op dit moment
Maar ik wil de oppervlakte vinden, de
opgetelde oppervlakte van deze drie muren.
En in heel simpele notatie kunnen we zeggen, nou, dat het oppervlak
van die muren... van deze muur, plus die muur, plus die muur
gaat gelijk zijn aan de lijn-integraal langs deze
kromme, of langs deze omtrek... hoe je het ook wilt noemen
van f van xy... dus dat is x plus y-kwadraat.. ds, waar ds
gewoon een korte lengte langs onze omtrek is.
En aangezien dit een gesloten lus is, noemen we dit
een gesloten lijn interval.
En we zien soms deze notatie.
Je zult deze vaak in natuurkunde boeken tegenkomen
En we zullen er veel meer behandelen/
En we gaan een cirkel zetten op het interval teken
En dat betekent niet meer dan dat de omtrek, waar we mee bezig zijn,
een gesloten omtrek is; we komen terug bij het punt waar we begonnen.
Maar hoe lossen we dit nu op?
Een goed begin is, om gewoon
de omtrek zelf te vinden.
En voor het gemak; we gaan het in drie stukken verdelen.
en eigenlijk de drie aparte
lijn-integralen berekenen.
Want, weet je, dit is niet echt een continue omtrek.
Dus het eerste deel...
Laten we dit eerste deel doen van de kromme, waar we
langs de cirkel met radius 2 lopen.
En dat is best makkelijk te samen te stellen als we x hebben. Laat ik..
elk deel van de omtrek in een andere kleur doen. Dus als ik,
dit deel van de omtrek oranje kleur... als we zeggen dat x gelijk is aan 2 maal
de cosinus van t en y is gelijk aan 2 maal de sinus van t en als we zeggen dat
t... en dit is alleen maar voortbouwen op wat we in
de vorige video zagen... als we zeggen dat t... en dat dit is van t is
groter dan of gelijk aan 0 en is kleiner dan of gelijk aan pi
gedeeld door 2... t gaat in feite de hoek zijn, die
we langs de cirkel lopen.
Dit zal eigenlijk het pad omschrijven.
En als je weet... hoe ik dit het opgebouwd is een klein beetje
verwarrend, misschien goed om de video over parametrische
vergelijkingen te bekijken.
Dus, dit is het eerste deel van ons pad.
Dus als we alleen maar het oppervlak van die muur daar willen vinden,
weten we dat we dx, dt en
dy, dt moeten vinden
Dus laten we dat gelijk maar doen.
Als we zeggen dat dx, dt gelijk gaat zijn aan min 2 maal sinus t,
dy, dt gaat gelijk zijn aan 2 maal cosinus t, niet meer dan
de afgeleiden hiervan
Dat hebben we al vaak genoeg gezien
Dus als we de oppervlakte van deze oranje muur willen, kunnen we
de integraal nemen... en als iets hiervan verwarrend is; er zijn
twee videos voor deze, waarin we deze formule afleiden
... maar we kunnen de integraal van t is 0
tot aan pi gedeeld door twee onze functie van x plus y-kwadraat en
dan keer de ds.
Dus x plus y-kwadraat geeft een hoogte van
elke blokje.
En dan willen we de breedte van elk blokje hebben,
wat ds is, maar we weten dat we ds kunnen herschrijven als
de wortel... even wat ruimte creëren daar... van dx van de
afgeleide van x met betrekking to t-kwadraat.. dus dat is min 2
maal sinus t-kwadraat... plus de afgeleide van y met
betrekking tot t-kwadraat, dt.
Dit geeft ons het oranje deel, en dan kunnen we ons buigen
over de twee andere muren.
En hoe kunnen we dit vereenvoudigen?
Nou, dit gaat gelijk zijn aan de integraal van 0 tot pi
gedeeld door 2 van x plus y-kwadraat
En eigenlijk, laat ik alles in t uitdrukken.
Dus x is 2 maal cosinus t
Laat me dat noteren.
Dus het is 2 maal cosinus t plus y, wat gelijk is aan 2 maal sinus t en we gaan
alles kwadrateren.
En dan dat alles maal deze gestoorde radicaal
Op dit moment lijkt het op een moeilijke primitieve of een integraal
om op te lossen, maar we gaan zien dat het niet zo erg is.
Dit gaat gelijk zijn aan 4 maal sinus-kwadraat t plus
4 cosinus-kwadraat t.
We kunnen door 4 delen
Niet de dt vergeten.
Dit hier... laat me deze uitdrukking vereenvoudigen
zodat ik het niet steeds moet herschrijven
Dit is hetzelfde als de wortel van van 4 maal
sinus-kwadraat t plus cosinus-kwadraat t.
We weten wel wat dat is: gewoon 1.
Dus dit hele ding vereenvoudigt gewoon tot de
wortel van 4, wat gewoon 2 is.
Dus dit hele ding vereenvoudigt tot 2, wat fijn is
voor het oplossen van onze primitieve
Dat maakt het een stuk makkelijker
Dus dit hele ding vereenvoudigt tot... Ik doe het aan deze kant
Ik wil niet teveel ruimte verspillen; ik heb nog twee muren
om uit te werken... de integraal van t is gelijk aan 0 tot aan pi gedeeld door 2
Ik wil dit heel duidelijk maken.
Ik heb gewoon gekozen voor de makkelijkste parametrisering
van x en y, die ik maar kon.
Maar ik had net zo goed een andere parametrisering kunnen kiezen
maar dan had ik t moeten aanpassen daaraan.
Dus zolang je consistent te werk gaat,
zou het allemaal moeten goedkomen.
Er is niet alleen maar 1 parametrisering voor deze kromme;
het hangt af van hoe snel je wilt gaan
langs de kromme.
Bekijk de video's over parametric functions (parametrische functies) als je
wat meer diepgang daarover wilt.
In ieder geval, dit ding vereenvoudigt.
We hebben een 2 hier; 2 maal cosinus t,
dat is 4 maal cosinus t.
En dan hebben we hier 2 maal sinus t-kwadraat.
Dus dat is 4 maal sinus-kwadraat t
En dan moeten we weer met deze twee vermenigvuldigen
dus dat geeft ons 8.
8 maal sinus-kwadraat t, dt.
En dan weet je, sinus-kwadraat t; dat lijkt
moeilijk om een primitieve voor te vinden, maar we
weten nog dat sinus-kwadraat van.. alles eigenlijk... we kunnen zeggen
sinus-kwadraat u is gelijk aan de helft van
1 min cosinus 2 u.
Dus we kunnen deze term opnieuw gebruiken.
Ik kan de t hier proberen; sinus-kwadraat t is gelijk aan
1/2 maal 1 min cosinus 2t
Laat me dat zo herschrijven, want dat zal het heel wat
makkelijker maken om de integraal op te lossen.
Dus we krijgen de integraal van 0 tot aan pi gedeeld door 2... en eigenlijk
kan ik het opdelen, nou ja, ik ga het niet opdelen... van 4 cosinus t
plus 8 maal dit ding.
8 maal dit ding, dit is het zelfde ding als
sinus-kwadraat t.
Dus 8 maal dit... 8 maal 1/2 is 4.. 4 maal 1 min cosinus
2t... gewoon een beetje trigonometrie gebruiken hier... en
van dat alles: dt.
Nu, hier zou je makkelijk de primitieve
van moeten kunnen vinden
Laten we gewoon primitiveren.
De primitieve hiervan is de primitieve van cosinus t
dat is gewoon sinus t.
De afgeleide van sinus is cosinus.
Dus dit wordt 4 sinus t... de scalars beïnvloeden
niks.. en dan, nou late me deze 4 overhevelen.
Dus dit is 4 maal 1, wat 4 is; min 4 maal cosinus 2t.
Dus de primitieve van 4 is 4t... plus 4t.. en dan
de primitieve van -4 cosinus 2 t
Eens zien, dat wordt sinus 2t.
De afgeleide van sinus 2t is: 2 maal cosinus 2 t.
We hebben hier een min-teken nodig en we zetten een 2
daar en nu zou het moeten uitkomen.
Wat is de afgeleide van -2 sinus t?
Neem de afgeleide van het binnenstuk 2 maal
min 2 is min 4
En de afgeleide van sinus 2t in termen van 2t
is cosinus 2t.
Dus daar heb je het; we hebben onze primitieve berekend.
Nu evalueren we het vanaf 0 tot een halve pi.
En wat krijgen we?
We krijgen 4 sinus... laat me dit opschrijven, want ik wil niet
te veel overslaan... sinus een halve pi plus 4 maal een halve pi
dat is gewoon 2 pi min 2 maal sinus 2 maal pi gedeeld door 2 sinus pi
en dan dat alles min dit allemaal, bekeken bij 0
Dat is eigenlijk best makkelijk, want
sinus 0 is 0
4 keer 0 is 0 en sinus 2 maal 0, dat is ook 0.
Dus alles met de nullen komt mooi uit.
En wat hebben we dan hier?
Sinus een halve pi... uit het hoofd, de sinus van 90 graden denk ik;
hetzelfde.. dat is 1
En dan de sinus van pi is nul, dat is 180 graden.
Dus dit hele stuk valt weg.
Dus we hebben over: 4 plus 2 pi.
Dus zo waren we in staat het oppervlak van
deze eerste golvende muur hier te berekenen, en eerlijk gezegd
dat is het moeilijkste deel.
Laten we nu de oppervlakte van deze kromme bepalen.
En je zult zien dat deze andere
krommen, lopend langs de assen, veel en veel
makkelijk zijn, maar we moeten andere
parametriseringen hiervoor vinden.
Dus we nemen deze kromme hier, laten we
een parametrisering hiervoor maken
Eigenlijk, weet je wat?
Laat ik dit in de volgende video voortzetten, want ik merk
dat ik wat over de tijd heen ga.
Ik ga de volgende twee muren doen en dan tellen we ze allemaal bij elkaar op.