0:00:00.570,0:00:05.480 Laten we een functie nemen van x en y; f van x 0:00:05.480,0:00:08.470 is gelijk aan x plus y-kwadraat. 0:00:08.470,0:00:11.400 Als ik dat wil tekenen, eens zien of ik 0:00:11.400,0:00:13.100 een goede poging kan wagen 0:00:13.100,0:00:16.590 Dat is mijn y-as... Ik ga wat in perspectief tekenen 0:00:16.590,0:00:21.440 dit is mijn x-as... Ik kan de negatieve x- en y-as, 0:00:21.440,0:00:24.180 ik zou het in die richting kunnen doen... dit hier is mijn x-as 0:00:24.180,0:00:27.150 En als ik dit zou uittekenen als y 0 was, het wordt 0:00:27.150,0:00:29.720 gewoon een... laat ik het in geel tekenen.. het wordt gewoon een 0:00:29.720,0:00:32.310 rechte lijn die er ongeveer zo uit ziet. 0:00:32.310,0:00:34.050 En voor elk gegeven eigenlijk, gaan we 0:00:34.050,0:00:36.010 een parabool in y krijgen 0:00:36.010,0:00:39.230 Y gaat er ongeveer zo uit zien 0:00:39.230,0:00:40.335 Ik ga gewoon erheen in het positieve kwadrant 0:00:40.335,0:00:41.780 Het gaat er ongeveer zo uitzien. 0:00:44.980,0:00:47.090 Het zal eigenlijk, als je naar negatieve waarden van y gaat, 0:00:47.090,0:00:48.905 je zult de andere helft van de parabool zien, maar ik ga me niet 0:00:48.905,0:00:50.370 te veel zorgen er over maken 0:00:50.370,0:00:51.980 Dus je gaat dit oppervlak krijgen. 0:00:51.980,0:00:53.190 Het ziet er ongeveer zo uit. 0:00:53.190,0:00:55.140 Misschien probeer ik het nog eens te tekenen 0:00:55.140,0:00:57.930 Maar dit is ons plafond, waar we weer mee aan de haal gaan. 0:00:57.930,0:01:03.340 En ik ga een pad krijgen in het xy-vlak 0:01:03.340,0:01:08.660 Ik ga beginnen bij punt 2 komma 0. X is 0:01:08.660,0:01:10.430 gelijk aan 2, y is 0 0:01:10.430,0:01:13.670 En ik ga lopen, net als we in de vorige video deden, 0:01:13.670,0:01:16.380 Ik ga over een cirkel lopen, maar dit keer 0:01:16.380,0:01:18.630 is de radius van de cirkel 2. 0:01:18.630,0:01:20.650 Ga tegen de klok in bij die cirkel. 0:01:20.650,0:01:22.610 Dit is op het xy-vlak, gewoon om het 0:01:22.610,0:01:24.040 goed te visualiseren. 0:01:24.040,0:01:26.500 Dus dit hier is een punt 0, 2. 0:01:26.500,0:01:30.055 En ik ga terugkomen langs de y-as. 0:01:30.055,0:01:35.640 Dit is mijn pad; ik ga terugkomen langs de y as. 0:01:35.640,0:01:38.220 en dan ga ik hier linksaf en dan ga ik 0:01:38.220,0:01:40.640 hier weer linksaf en kom ik terug langs de x-as 0:01:44.930,0:01:46.540 Ik heb het getekend in deze twee groen-tinten. 0:01:46.540,0:01:48.680 Dat is mijn omtrek. 0:01:48.680,0:01:52.830 En wat ik wil doen: ik wil de oppervlakte berekenen 0:01:52.830,0:01:56.260 van dit kleine gebouw in feite, dat een dak heeft van 0:01:56.260,0:02:00.020 xy is gelijk aan x plus y-kwadraat. En ik wil 0:02:00.020,0:02:01.620 de oppervlakte van de muren ervan berekenen. 0:02:01.620,0:02:05.705 Dus je hebt deze muur hier, waarvan de basis de x-as is. 0:02:05.705,0:02:09.250 Dan heb je deze muur, die langs de kromme ligt. 0:02:09.250,0:02:14.490 Het gaat er uit zien als een of andere funky muur 0:02:14.490,0:02:16.410 aan die kromme zijde daar. 0:02:16.410,0:02:19.550 Ik ga mijn uiterste best doen om te.. het wordt 0:02:19.550,0:02:25.510 helemaal omhoog buigen op die manier en vervolgens langs de y-as 0:02:28.270,0:02:32.240 Het gaat een soort halve parabool-muur hebben precies hier 0:02:32.240,0:02:34.150 Ik ga de achterste muur langs de y-as plaatsen 0:02:34.150,0:02:38.400 Dat doe ik in het oranje, of nee, ik ga magenta gebruiken 0:02:38.400,0:02:41.530 Dat is de achterste muur, langs de y-as. 0:02:41.530,0:02:45.660 Dan heb je deze voorste muur, langs de x-as. 0:02:45.660,0:02:50.230 En je hebt dit gekke golvende gordijn of muur. Dat doe ik 0:02:50.230,0:02:55.020 misschien in het blauw... die loopt langs deze kromme hier, 0:02:55.020,0:02:56.740 dit deel van de cirkel met radius 2. 0:02:56.740,0:02:58.890 Dus hopelijk snap je die visualisatie. 0:02:58.890,0:03:00.670 Het is iets moeilijker; ik gebruik geen enkel grafisch 0:03:00.670,0:03:01.680 programma op dit moment 0:03:01.680,0:03:03.900 Maar ik wil de oppervlakte vinden, de 0:03:03.900,0:03:06.270 opgetelde oppervlakte van deze drie muren. 0:03:06.270,0:03:09.390 En in heel simpele notatie kunnen we zeggen, nou, dat het oppervlak 0:03:09.390,0:03:16.430 van die muren... van deze muur, plus die muur, plus die muur 0:03:16.430,0:03:22.570 gaat gelijk zijn aan de lijn-integraal langs deze 0:03:22.570,0:03:26.020 kromme, of langs deze omtrek... hoe je het ook wilt noemen 0:03:26.020,0:03:32.820 van f van xy... dus dat is x plus y-kwadraat.. ds, waar ds 0:03:32.820,0:03:35.220 gewoon een korte lengte langs onze omtrek is. 0:03:35.220,0:03:37.450 En aangezien dit een gesloten lus is, noemen we dit 0:03:37.450,0:03:38.500 een gesloten lijn interval. 0:03:38.500,0:03:40.560 En we zien soms deze notatie. 0:03:43.080,0:03:44.480 Je zult deze vaak in natuurkunde boeken tegenkomen 0:03:44.480,0:03:45.870 En we zullen er veel meer behandelen/ 0:03:45.870,0:03:47.330 En we gaan een cirkel zetten op het interval teken 0:03:47.330,0:03:50.060 En dat betekent niet meer dan dat de omtrek, waar we mee bezig zijn, 0:03:50.060,0:03:53.750 een gesloten omtrek is; we komen terug bij het punt waar we begonnen. 0:03:53.750,0:03:55.770 Maar hoe lossen we dit nu op? 0:03:55.770,0:03:57.660 Een goed begin is, om gewoon 0:03:57.660,0:03:58.630 de omtrek zelf te vinden. 0:03:58.630,0:04:00.830 En voor het gemak; we gaan het in drie stukken verdelen. 0:04:00.830,0:04:03.040 en eigenlijk de drie aparte 0:04:03.040,0:04:04.290 lijn-integralen berekenen. 0:04:04.290,0:04:08.770 Want, weet je, dit is niet echt een continue omtrek. 0:04:08.770,0:04:10.050 Dus het eerste deel... 0:04:10.050,0:04:11.980 Laten we dit eerste deel doen van de kromme, waar we 0:04:11.980,0:04:15.640 langs de cirkel met radius 2 lopen. 0:04:15.640,0:04:20.770 En dat is best makkelijk te samen te stellen als we x hebben. Laat ik.. 0:04:20.770,0:04:25.850 elk deel van de omtrek in een andere kleur doen. Dus als ik, 0:04:25.850,0:04:30.920 dit deel van de omtrek oranje kleur... als we zeggen dat x gelijk is aan 2 maal 0:04:30.920,0:04:39.440 de cosinus van t en y is gelijk aan 2 maal de sinus van t en als we zeggen dat 0:04:39.440,0:04:42.680 t... en dit is alleen maar voortbouwen op wat we in 0:04:42.680,0:04:46.960 de vorige video zagen... als we zeggen dat t... en dat dit is van t is 0:04:46.960,0:04:54.170 groter dan of gelijk aan 0 en is kleiner dan of gelijk aan pi 0:04:54.170,0:04:58.270 gedeeld door 2... t gaat in feite de hoek zijn, die 0:04:58.270,0:05:00.200 we langs de cirkel lopen. 0:05:00.200,0:05:02.040 Dit zal eigenlijk het pad omschrijven. 0:05:02.040,0:05:03.820 En als je weet... hoe ik dit het opgebouwd is een klein beetje 0:05:03.820,0:05:05.980 verwarrend, misschien goed om de video over parametrische 0:05:05.980,0:05:07.860 vergelijkingen te bekijken. 0:05:07.860,0:05:09.360 Dus, dit is het eerste deel van ons pad. 0:05:09.360,0:05:14.080 Dus als we alleen maar het oppervlak van die muur daar willen vinden, 0:05:14.080,0:05:15.940 weten we dat we dx, dt en 0:05:15.940,0:05:17.670 dy, dt moeten vinden 0:05:17.670,0:05:19.970 Dus laten we dat gelijk maar doen. 0:05:19.970,0:05:28.770 Als we zeggen dat dx, dt gelijk gaat zijn aan min 2 maal sinus t, 0:05:28.770,0:05:34.495 dy, dt gaat gelijk zijn aan 2 maal cosinus t, niet meer dan 0:05:34.495,0:05:35.840 de afgeleiden hiervan 0:05:35.840,0:05:37.350 Dat hebben we al vaak genoeg gezien 0:05:37.350,0:05:41.290 Dus als we de oppervlakte van deze oranje muur willen, kunnen we 0:05:41.290,0:05:43.675 de integraal nemen... en als iets hiervan verwarrend is; er zijn 0:05:43.675,0:05:47.400 twee videos voor deze, waarin we deze formule afleiden 0:05:47.400,0:05:51.170 ... maar we kunnen de integraal van t is 0 0:05:51.170,0:05:59.260 tot aan pi gedeeld door twee onze functie van x plus y-kwadraat en 0:05:59.260,0:06:01.610 dan keer de ds. 0:06:01.610,0:06:03.570 Dus x plus y-kwadraat geeft een hoogte van 0:06:03.570,0:06:04.550 elke blokje. 0:06:04.550,0:06:06.360 En dan willen we de breedte van elk blokje hebben, 0:06:06.360,0:06:10.690 wat ds is, maar we weten dat we ds kunnen herschrijven als 0:06:10.690,0:06:18.930 de wortel... even wat ruimte creëren daar... van dx van de 0:06:18.930,0:06:24.310 afgeleide van x met betrekking to t-kwadraat.. dus dat is min 2 0:06:24.310,0:06:29.160 maal sinus t-kwadraat... plus de afgeleide van y met 0:06:29.160,0:06:36.660 betrekking tot t-kwadraat, dt. 0:06:36.660,0:06:39.050 Dit geeft ons het oranje deel, en dan kunnen we ons buigen 0:06:39.050,0:06:41.820 over de twee andere muren. 0:06:41.820,0:06:43.410 En hoe kunnen we dit vereenvoudigen? 0:06:43.410,0:06:49.670 Nou, dit gaat gelijk zijn aan de integraal van 0 tot pi 0:06:49.670,0:06:55.000 gedeeld door 2 van x plus y-kwadraat 0:06:55.000,0:06:59.180 En eigenlijk, laat ik alles in t uitdrukken. 0:06:59.180,0:07:01.250 Dus x is 2 maal cosinus t 0:07:01.250,0:07:02.910 Laat me dat noteren. 0:07:02.910,0:07:13.310 Dus het is 2 maal cosinus t plus y, wat gelijk is aan 2 maal sinus t en we gaan 0:07:13.310,0:07:14.830 alles kwadrateren. 0:07:14.830,0:07:18.780 En dan dat alles maal deze gestoorde radicaal 0:07:18.780,0:07:22.880 Op dit moment lijkt het op een moeilijke primitieve of een integraal 0:07:22.880,0:07:24.780 om op te lossen, maar we gaan zien dat het niet zo erg is. 0:07:24.780,0:07:30.380 Dit gaat gelijk zijn aan 4 maal sinus-kwadraat t plus 0:07:30.380,0:07:34.380 4 cosinus-kwadraat t. 0:07:34.380,0:07:37.020 We kunnen door 4 delen 0:07:37.020,0:07:39.450 Niet de dt vergeten. 0:07:39.450,0:07:41.820 Dit hier... laat me deze uitdrukking vereenvoudigen 0:07:41.820,0:07:43.260 zodat ik het niet steeds moet herschrijven 0:07:43.260,0:07:47.820 Dit is hetzelfde als de wortel van van 4 maal 0:07:47.820,0:07:52.650 sinus-kwadraat t plus cosinus-kwadraat t. 0:07:52.650,0:07:54.800 We weten wel wat dat is: gewoon 1. 0:07:54.800,0:07:56.516 Dus dit hele ding vereenvoudigt gewoon tot de 0:07:56.516,0:07:58.650 wortel van 4, wat gewoon 2 is. 0:07:58.650,0:08:02.120 Dus dit hele ding vereenvoudigt tot 2, wat fijn is 0:08:02.120,0:08:04.290 voor het oplossen van onze primitieve 0:08:04.290,0:08:05.860 Dat maakt het een stuk makkelijker 0:08:05.860,0:08:09.620 Dus dit hele ding vereenvoudigt tot... Ik doe het aan deze kant 0:08:09.620,0:08:12.320 Ik wil niet teveel ruimte verspillen; ik heb nog twee muren 0:08:12.320,0:08:16.760 om uit te werken... de integraal van t is gelijk aan 0 tot aan pi gedeeld door 2 0:08:16.760,0:08:17.660 Ik wil dit heel duidelijk maken. 0:08:17.660,0:08:20.700 Ik heb gewoon gekozen voor de makkelijkste parametrisering 0:08:20.700,0:08:22.080 van x en y, die ik maar kon. 0:08:22.080,0:08:23.630 Maar ik had net zo goed een andere parametrisering kunnen kiezen 0:08:23.630,0:08:25.250 maar dan had ik t moeten aanpassen daaraan. 0:08:25.250,0:08:28.200 Dus zolang je consistent te werk gaat, 0:08:28.200,0:08:29.020 zou het allemaal moeten goedkomen. 0:08:29.020,0:08:32.290 Er is niet alleen maar 1 parametrisering voor deze kromme; 0:08:32.290,0:08:34.130 het hangt af van hoe snel je wilt gaan 0:08:34.130,0:08:35.140 langs de kromme. 0:08:35.140,0:08:39.450 Bekijk de video's over parametric functions (parametrische functies) als je 0:08:39.450,0:08:40.900 wat meer diepgang daarover wilt. 0:08:40.900,0:08:41.860 In ieder geval, dit ding vereenvoudigt. 0:08:41.860,0:08:44.400 We hebben een 2 hier; 2 maal cosinus t, 0:08:44.400,0:08:47.720 dat is 4 maal cosinus t. 0:08:47.720,0:08:52.500 En dan hebben we hier 2 maal sinus t-kwadraat. 0:08:52.500,0:08:54.430 Dus dat is 4 maal sinus-kwadraat t 0:08:58.390,0:09:01.230 En dan moeten we weer met deze twee vermenigvuldigen 0:09:01.230,0:09:02.970 dus dat geeft ons 8. 0:09:02.970,0:09:07.750 8 maal sinus-kwadraat t, dt. 0:09:07.750,0:09:10.040 En dan weet je, sinus-kwadraat t; dat lijkt 0:09:10.040,0:09:12.840 moeilijk om een primitieve voor te vinden, maar we 0:09:12.840,0:09:18.150 weten nog dat sinus-kwadraat van.. alles eigenlijk... we kunnen zeggen 0:09:18.150,0:09:21.660 sinus-kwadraat u is gelijk aan de helft van 0:09:21.660,0:09:24.290 1 min cosinus 2 u. 0:09:24.290,0:09:26.700 Dus we kunnen deze term opnieuw gebruiken. 0:09:26.700,0:09:30.380 Ik kan de t hier proberen; sinus-kwadraat t is gelijk aan 0:09:30.380,0:09:33.540 1/2 maal 1 min cosinus 2t 0:09:33.540,0:09:35.050 Laat me dat zo herschrijven, want dat zal het heel wat 0:09:35.050,0:09:36.390 makkelijker maken om de integraal op te lossen. 0:09:36.390,0:09:40.530 Dus we krijgen de integraal van 0 tot aan pi gedeeld door 2... en eigenlijk 0:09:40.530,0:09:45.080 kan ik het opdelen, nou ja, ik ga het niet opdelen... van 4 cosinus t 0:09:45.080,0:09:51.550 plus 8 maal dit ding. 0:09:51.550,0:09:53.350 8 maal dit ding, dit is het zelfde ding als 0:09:53.350,0:09:55.020 sinus-kwadraat t. 0:09:55.020,0:10:02.250 Dus 8 maal dit... 8 maal 1/2 is 4.. 4 maal 1 min cosinus 0:10:02.250,0:10:05.590 2t... gewoon een beetje trigonometrie gebruiken hier... en 0:10:05.590,0:10:07.390 van dat alles: dt. 0:10:07.390,0:10:09.430 Nu, hier zou je makkelijk de primitieve 0:10:09.430,0:10:10.800 van moeten kunnen vinden 0:10:10.800,0:10:11.980 Laten we gewoon primitiveren. 0:10:11.980,0:10:16.500 De primitieve hiervan is de primitieve van cosinus t 0:10:16.500,0:10:18.610 dat is gewoon sinus t. 0:10:18.610,0:10:20.150 De afgeleide van sinus is cosinus. 0:10:20.150,0:10:25.050 Dus dit wordt 4 sinus t... de scalars beïnvloeden 0:10:25.050,0:10:28.470 niks.. en dan, nou late me deze 4 overhevelen. 0:10:28.470,0:10:34.640 Dus dit is 4 maal 1, wat 4 is; min 4 maal cosinus 2t. 0:10:34.640,0:10:39.630 Dus de primitieve van 4 is 4t... plus 4t.. en dan 0:10:39.630,0:10:43.880 de primitieve van -4 cosinus 2 t 0:10:43.880,0:10:45.970 Eens zien, dat wordt sinus 2t. 0:10:51.590,0:10:58.900 De afgeleide van sinus 2t is: 2 maal cosinus 2 t. 0:10:58.900,0:11:01.660 We hebben hier een min-teken nodig en we zetten een 2 0:11:01.660,0:11:03.420 daar en nu zou het moeten uitkomen. 0:11:03.420,0:11:05.740 Wat is de afgeleide van -2 sinus t? 0:11:05.740,0:11:07.240 Neem de afgeleide van het binnenstuk 2 maal 0:11:07.240,0:11:09.400 min 2 is min 4 0:11:09.400,0:11:11.740 En de afgeleide van sinus 2t in termen van 2t 0:11:11.740,0:11:13.280 is cosinus 2t. 0:11:13.280,0:11:15.830 Dus daar heb je het; we hebben onze primitieve berekend. 0:11:15.830,0:11:19.260 Nu evalueren we het vanaf 0 tot een halve pi. 0:11:22.000,0:11:23.420 En wat krijgen we? 0:11:23.420,0:11:27.210 We krijgen 4 sinus... laat me dit opschrijven, want ik wil niet 0:11:27.210,0:11:34.100 te veel overslaan... sinus een halve pi plus 4 maal een halve pi 0:11:34.100,0:11:42.040 dat is gewoon 2 pi min 2 maal sinus 2 maal pi gedeeld door 2 sinus pi 0:11:42.040,0:11:48.620 en dan dat alles min dit allemaal, bekeken bij 0 0:11:48.620,0:11:50.580 Dat is eigenlijk best makkelijk, want 0:11:50.580,0:11:52.670 sinus 0 is 0 0:11:52.670,0:11:56.490 4 keer 0 is 0 en sinus 2 maal 0, dat is ook 0. 0:11:56.490,0:11:59.190 Dus alles met de nullen komt mooi uit. 0:11:59.190,0:12:00.350 En wat hebben we dan hier? 0:12:00.350,0:12:05.770 Sinus een halve pi... uit het hoofd, de sinus van 90 graden denk ik; 0:12:05.770,0:12:09.320 hetzelfde.. dat is 1 0:12:09.320,0:12:11.980 En dan de sinus van pi is nul, dat is 180 graden. 0:12:11.980,0:12:13.670 Dus dit hele stuk valt weg. 0:12:13.670,0:12:17.440 Dus we hebben over: 4 plus 2 pi. 0:12:17.440,0:12:23.290 Dus zo waren we in staat het oppervlak van 0:12:23.290,0:12:25.520 deze eerste golvende muur hier te berekenen, en eerlijk gezegd 0:12:25.520,0:12:26.710 dat is het moeilijkste deel. 0:12:26.710,0:12:29.760 Laten we nu de oppervlakte van deze kromme bepalen. 0:12:29.760,0:12:31.220 En je zult zien dat deze andere 0:12:31.220,0:12:33.830 krommen, lopend langs de assen, veel en veel 0:12:33.830,0:12:35.760 makkelijk zijn, maar we moeten andere 0:12:35.760,0:12:37.480 parametriseringen hiervoor vinden. 0:12:37.480,0:12:43.390 Dus we nemen deze kromme hier, laten we 0:12:43.390,0:12:44.590 een parametrisering hiervoor maken 0:12:44.590,0:12:45.490 Eigenlijk, weet je wat? 0:12:45.490,0:12:48.630 Laat ik dit in de volgende video voortzetten, want ik merk 0:12:48.630,0:12:49.920 dat ik wat over de tijd heen ga. 0:12:49.920,0:12:53.110 Ik ga de volgende twee muren doen en dan tellen we ze allemaal bij elkaar op.