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이 문제는 2003년도 AIME 시험에서 가져왔습니다
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미국 수학 경시대회에 출제된 이 문제는
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시험 첫 번째 문제였습니다
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세 자연수의 곱 N은 그 수들의 합의 6배와 같고
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그 중 한 자연수는 나머지 두 자연수의 합과 크기가 같다
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N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하세요
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우리는 세 양의 정수를 구해야 합니다
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이 세 자연수를 각각 a, b, c 라고 합시다
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셋 다 모두 양수이고, 정수입니다
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N은 이 세 자연수의 곱입니다
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그래서 a x b x c = N이고
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N은 세 자연수의 합의 6배와 같습니다
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다른 색깔로 한 번 풀어봅시다
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이건 세 자연수의 곱입니다
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세 자연수의 곱 N은 각 자연수의
합의 6배와 같으므로
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세 자연수 합의 6배
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6 곱하기 a + b + c
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그리고 세 자연수 중 하나는 다른 두 자연수의 합과 같습니다
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c를 a 더하기 b라고 합시다
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이렇게 가정을 해도 문제 푸는데는 지장이 없습니다
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그리고 어떤 수가 또 다른 어떤 수보다 크거나
작다라고 말하지 않아서 괜찮습니다
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아무튼 a + b = c 라고 가정해봅시다
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세 자연수 중의 하나는 다른 두 수의 합과 같으므로
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c는 a와 b의 합과 같습니다
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N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구해야 합니다
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그럼 우리가 지금 가지고 있는 정보들을 이용해보면
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숫자들 사이의 관계와 제약을 알 수도 있으니까
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문제를 풀 수 있는 방법들을 다 시도해보죠
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우리는 a + b = c 라는 것을 알고 있습니다
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그래서 c를 a + b로 쓸 수 있어요
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a x b x c에서 a x b는 ab가 되고
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c는 a + b로 바꿔 쓸 수 있습니다
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그리고 이 식은 a + b + c를 6배 한 것과 같습니다
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6 곱하기 a + b + c
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c는 a + b로 쓸 수있으므로
c를 a + b로 써줍니다
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6 곱하기 a + b + a + b가 되는데
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6 곱하기 2a + 2b와 같습니다
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a와 b가 두 개씩 있고 앞에
같은 숫자 2가 있기 때문에
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2를 빼줍니다. 그러면 6 곱하기 2 해서
12 곱하기 a + b가 됩니다
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좌변은 ab 곱하기 a + b이기 때문에
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식은 ab 곱하기 a + b는 12 곱하기 a + b가 됩니다
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우리는 여기서 양 변을 (a + b)로 나눌 수 있습니다
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식의 모든 숫자가 양수가 되려면
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a + b 는 0이 될 수 없습니다
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만약 a + b가 0이라면
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양 변을 0으로 나누어 주는 것이 되서
수 많은 답이 나오기 때문에 a + b는 0이 될 수 없습니다
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그래서 식의 양변을 a + b로 나누면 ab = 12 입니다
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따라서 범위는 a x b = 12로 줄여집니다
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하지만 곱해서 12가 되는 양의 정수들은 매우 많죠
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그러니 일일이 곱해 봅시다
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몇 가지 곱셈을 해보죠
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a, b, c
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우리는 이 셋의 곱을 구해야 합니다
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여기에 써보겠습니다
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a, b, c
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a가 1이면 b는 12이고
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c는 둘의 합이기 때문에 13이 됩니다
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따라서 1 x 12 x 13 = 12 x (12 + 1) 이고
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144 + 12로 156 입니다
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그리고 계산해보면 156은
6 곱하기 a + b와 값이 같습니다
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a + b = 26이고
6 x 26 = 156이죠
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따라서 a가 1이고
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b가 12인 것은 맞았습니다
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왜냐하면 여기서 a x b가 12라고 했으니까요
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그럼 이제 곱해서 12가 되는 숫자들을 찹아봅시다
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2 x 6
둘의 합은 8
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그리고 a, b, c의 곱을 구해보면 2 x 6 = 12
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12 x 8 = 96으로
96입니다
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이번엔 3과 4를 해봅시다
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3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12
3 곱하기 4는 12 곱하기 7
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a + b는 항상 12가 되야하므로
여기에 12를 곱해줍니다
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12 x 7 = 84
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a나 b 중 하나가 12를 넘을 수 없습니다
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왜냐하면 두 수중 하나가 12를 넘으면 다른 하나가
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정수가 아니거나 분수인 수로 나와야 되기 때문이에요
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그리고 모든 수가 양수여야하기 때문에
음수가 있어서도 안됩니다
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자, 이제 우리는 양의 정수인 값들을 구했고
이들의 곱은 모두 12입니다
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문제에서 N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하라고 했으니
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여기 있는 것들이 N이 될 수 있는 모든 값들입니다
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N은 저 정수들의 곱이므로
이 수들을 더해 봅시다
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6 + 6 =12
12 + 4 = 16
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1 + 5 = 6
6 + 9 = 15
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15 + 8 = 23
2 + 1 = 3
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따라서 답은 336입니다