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2003 AIME II Problem 1

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    이 문제는 2003년도 AIME 시험에서 가져왔습니다
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    미국 수학 경시대회에 출제된 이 문제는
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    시험 첫 번째 문제였습니다
  • 0:11 - 0:16
    세 자연수의 곱 N은 그 수들의 합의 6배와 같고
  • 0:16 - 0:20
    그 중 한 자연수는 나머지 두 자연수의 합과 크기가 같다
  • 0:20 - 0:24
    N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하세요
  • 0:24 - 0:27
    우리는 세 양의 정수를 구해야 합니다
  • 0:27 - 0:35
    이 세 자연수를 각각 a, b, c 라고 합시다
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    셋 다 모두 양수이고, 정수입니다
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    N은 이 세 자연수의 곱입니다
  • 0:41 - 0:48
    그래서 a x b x c = N이고
  • 0:48 - 0:51
    N은 세 자연수의 합의 6배와 같습니다
  • 0:51 - 0:53
    다른 색깔로 한 번 풀어봅시다
  • 0:53 - 0:57
    이건 세 자연수의 곱입니다
  • 0:57 - 1:04
    세 자연수의 곱 N은 각 자연수의
    합의 6배와 같으므로
  • 1:04 - 1:08
    세 자연수 합의 6배
  • 1:08 - 1:11
    6 곱하기 a + b + c
  • 1:11 - 1:18
    그리고 세 자연수 중 하나는 다른 두 자연수의 합과 같습니다
  • 1:18 - 1:22
    c를 a 더하기 b라고 합시다
  • 1:22 - 1:26
    이렇게 가정을 해도 문제 푸는데는 지장이 없습니다
  • 1:26 - 1:30
    그리고 어떤 수가 또 다른 어떤 수보다 크거나
    작다라고 말하지 않아서 괜찮습니다
  • 1:30 - 1:32
    아무튼 a + b = c 라고 가정해봅시다
  • 1:32 - 1:36
    세 자연수 중의 하나는 다른 두 수의 합과 같으므로
  • 1:36 - 1:39
    c는 a와 b의 합과 같습니다
  • 1:39 - 1:43
    N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구해야 합니다
  • 1:43 - 1:47
    그럼 우리가 지금 가지고 있는 정보들을 이용해보면
  • 1:47 - 1:51
    숫자들 사이의 관계와 제약을 알 수도 있으니까
  • 1:51 - 1:54
    문제를 풀 수 있는 방법들을 다 시도해보죠
  • 1:54 - 1:58
    우리는 a + b = c 라는 것을 알고 있습니다
  • 1:58 - 2:03
    그래서 c를 a + b로 쓸 수 있어요
  • 2:03 - 2:09
    a x b x c에서 a x b는 ab가 되고
  • 2:09 - 2:15
    c는 a + b로 바꿔 쓸 수 있습니다
  • 2:15 - 2:23
    그리고 이 식은 a + b + c를 6배 한 것과 같습니다
  • 2:23 - 2:28
    6 곱하기 a + b + c
  • 2:28 - 2:34
    c는 a + b로 쓸 수있으므로
    c를 a + b로 써줍니다
  • 2:34 - 2:38
    6 곱하기 a + b + a + b가 되는데
  • 2:38 - 2:44
    6 곱하기 2a + 2b와 같습니다
  • 2:44 - 2:50
    a와 b가 두 개씩 있고 앞에
    같은 숫자 2가 있기 때문에
  • 2:50 - 2:55
    2를 빼줍니다. 그러면 6 곱하기 2 해서
    12 곱하기 a + b가 됩니다
  • 2:55 - 3:01
    좌변은 ab 곱하기 a + b이기 때문에
  • 3:01 - 3:08
    식은 ab 곱하기 a + b는 12 곱하기 a + b가 됩니다
  • 3:08 - 3:12
    우리는 여기서 양 변을 (a + b)로 나눌 수 있습니다
  • 3:12 - 3:16
    식의 모든 숫자가 양수가 되려면
  • 3:16 - 3:19
    a + b 는 0이 될 수 없습니다
  • 3:19 - 3:22
    만약 a + b가 0이라면
  • 3:22 - 3:29
    양 변을 0으로 나누어 주는 것이 되서
    수 많은 답이 나오기 때문에 a + b는 0이 될 수 없습니다
  • 3:29 - 3:34
    그래서 식의 양변을 a + b로 나누면 ab = 12 입니다
  • 3:34 - 3:41
    따라서 범위는 a x b = 12로 줄여집니다
  • 3:41 - 3:45
    하지만 곱해서 12가 되는 양의 정수들은 매우 많죠
  • 3:45 - 3:48
    그러니 일일이 곱해 봅시다
  • 3:48 - 3:51
    몇 가지 곱셈을 해보죠
  • 3:51 - 3:57
    a, b, c
  • 3:57 - 4:00
    우리는 이 셋의 곱을 구해야 합니다
  • 4:00 - 4:02
    여기에 써보겠습니다
  • 4:02 - 4:04
    a, b, c
  • 4:04 - 4:07
    a가 1이면 b는 12이고
  • 4:07 - 4:12
    c는 둘의 합이기 때문에 13이 됩니다
  • 4:12 - 4:18
    따라서 1 x 12 x 13 = 12 x (12 + 1) 이고
  • 4:18 - 4:22
    144 + 12로 156 입니다
  • 4:22 - 4:27
    그리고 계산해보면 156은
    6 곱하기 a + b와 값이 같습니다
  • 4:27 - 4:32
    a + b = 26이고
    6 x 26 = 156이죠
  • 4:32 - 4:35
    따라서 a가 1이고
  • 4:35 - 4:37
    b가 12인 것은 맞았습니다
  • 4:37 - 4:40
    왜냐하면 여기서 a x b가 12라고 했으니까요
  • 4:40 - 4:43
    그럼 이제 곱해서 12가 되는 숫자들을 찹아봅시다
  • 4:43 - 4:45
    2 x 6
    둘의 합은 8
  • 4:45 - 4:50
    그리고 a, b, c의 곱을 구해보면 2 x 6 = 12
  • 4:50 - 4:55
    12 x 8 = 96으로
    96입니다
  • 4:55 - 4:59
    이번엔 3과 4를 해봅시다
  • 4:59 - 5:07
    3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12
    3 곱하기 4는 12 곱하기 7
  • 5:07 - 5:12
    a + b는 항상 12가 되야하므로
    여기에 12를 곱해줍니다
  • 5:12 - 5:17
    12 x 7 = 84
  • 5:17 - 5:20
    a나 b 중 하나가 12를 넘을 수 없습니다
  • 5:20 - 5:22
    왜냐하면 두 수중 하나가 12를 넘으면 다른 하나가
  • 5:22 - 5:27
    정수가 아니거나 분수인 수로 나와야 되기 때문이에요
  • 5:27 - 5:32
    그리고 모든 수가 양수여야하기 때문에
    음수가 있어서도 안됩니다
  • 5:32 - 5:36
    자, 이제 우리는 양의 정수인 값들을 구했고
    이들의 곱은 모두 12입니다
  • 5:36 - 5:40
    문제에서 N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하라고 했으니
  • 5:40 - 5:44
    여기 있는 것들이 N이 될 수 있는 모든 값들입니다
  • 5:44 - 5:48
    N은 저 정수들의 곱이므로
    이 수들을 더해 봅시다
  • 5:48 - 5:52
    6 + 6 =12
    12 + 4 = 16
  • 5:52 - 5:59
    1 + 5 = 6
    6 + 9 = 15
  • 5:59 - 6:02
    15 + 8 = 23
    2 + 1 = 3
  • 6:02 - 6:07
    따라서 답은 336입니다
Title:
2003 AIME II Problem 1
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:08

Korean subtitles

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