1
00:00:00,000 --> 00:00:04,700
이 문제는 2003년도 AIME 시험에서 가져왔습니다

2
00:00:04,700 --> 00:00:08,340
미국 수학 경시대회에 출제된 이 문제는

3
00:00:08,340 --> 00:00:10,658
시험 첫 번째 문제였습니다

4
00:00:10,658 --> 00:00:15,600
세 자연수의 곱 N은 그 수들의 합의 6배와 같고

5
00:00:15,600 --> 00:00:20,180
그 중 한 자연수는 나머지 두 자연수의 합과 크기가 같다

6
00:00:20,180 --> 00:00:24,160
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하세요

7
00:00:24,160 --> 00:00:27,400
우리는 세 양의 정수를 구해야 합니다

8
00:00:27,400 --> 00:00:34,580
이 세 자연수를 각각 a, b, c 라고 합시다

9
00:00:34,580 --> 00:00:37,670
셋 다 모두 양수이고, 정수입니다

10
00:00:37,670 --> 00:00:41,110
N은 이 세 자연수의 곱입니다

11
00:00:41,110 --> 00:00:47,670
그래서 a x b x c = N이고

12
00:00:47,670 --> 00:00:50,670
N은 세 자연수의 합의 6배와 같습니다

13
00:00:50,670 --> 00:00:53,120
다른 색깔로 한 번 풀어봅시다

14
00:00:53,120 --> 00:00:56,550
이건 세 자연수의 곱입니다

15
00:00:56,550 --> 00:01:04,430
세 자연수의 곱 N은 각 자연수의 
합의 6배와 같으므로

16
00:01:04,430 --> 00:01:07,650
세 자연수 합의 6배

17
00:01:07,650 --> 00:01:11,140
6 곱하기 a + b + c

18
00:01:11,140 --> 00:01:17,690
그리고 세 자연수 중 하나는 다른 두 자연수의 합과 같습니다

19
00:01:17,690 --> 00:01:22,260
c를 a 더하기 b라고 합시다

20
00:01:22,260 --> 00:01:25,600
이렇게 가정을 해도 문제 푸는데는 지장이 없습니다

21
00:01:25,600 --> 00:01:29,850
그리고 어떤 수가 또 다른 어떤 수보다 크거나
작다라고 말하지 않아서 괜찮습니다

22
00:01:29,850 --> 00:01:32,270
아무튼 a + b = c 라고 가정해봅시다

23
00:01:32,270 --> 00:01:35,610
세 자연수 중의 하나는 다른 두 수의 합과 같으므로

24
00:01:35,610 --> 00:01:38,960
c는 a와 b의 합과 같습니다

25
00:01:38,960 --> 00:01:42,783
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구해야 합니다

26
00:01:42,783 --> 00:01:47,100
그럼 우리가 지금 가지고 있는 정보들을 이용해보면

27
00:01:47,100 --> 00:01:50,820
숫자들 사이의 관계와 제약을 알 수도 있으니까

28
00:01:50,820 --> 00:01:53,830
문제를 풀 수 있는 방법들을 다 시도해보죠

29
00:01:53,830 --> 00:01:58,150
우리는 a + b = c 라는 것을 알고 있습니다

30
00:01:58,150 --> 00:02:02,970
그래서 c를 a + b로 쓸 수 있어요

31
00:02:02,970 --> 00:02:09,220
a x b x c에서 a x b는 ab가 되고

32
00:02:09,220 --> 00:02:14,520
c는 a + b로 바꿔 쓸 수 있습니다

33
00:02:14,520 --> 00:02:22,850
그리고 이 식은 a + b + c를 6배 한 것과 같습니다

34
00:02:22,850 --> 00:02:27,810
6 곱하기 a + b + c

35
00:02:27,810 --> 00:02:33,960
c는 a + b로 쓸 수있으므로 
c를 a + b로 써줍니다

36
00:02:33,960 --> 00:02:38,270
6 곱하기 a + b + a + b가 되는데

37
00:02:38,270 --> 00:02:44,010
6 곱하기 2a + 2b와 같습니다

38
00:02:44,010 --> 00:02:50,030
a와 b가 두 개씩 있고 앞에 
같은 숫자 2가 있기 때문에

39
00:02:50,030 --> 00:02:55,100
2를 빼줍니다. 그러면 6 곱하기 2 해서 
12 곱하기 a + b가 됩니다

40
00:02:55,100 --> 00:03:01,300
좌변은 ab 곱하기 a + b이기 때문에

41
00:03:01,300 --> 00:03:07,750
식은 ab 곱하기 a + b는 12 곱하기 a + b가 됩니다

42
00:03:07,750 --> 00:03:12,050
우리는 여기서 양 변을 (a + b)로 나눌 수 있습니다

43
00:03:12,050 --> 00:03:16,440
식의 모든 숫자가 양수가 되려면

44
00:03:16,440 --> 00:03:19,440
a + b 는 0이 될 수 없습니다

45
00:03:19,440 --> 00:03:22,340
만약 a + b가 0이라면

46
00:03:22,340 --> 00:03:28,840
양 변을 0으로 나누어 주는 것이 되서 
수 많은 답이 나오기 때문에 a + b는 0이 될 수 없습니다

47
00:03:28,840 --> 00:03:34,130
그래서 식의 양변을 a + b로 나누면 ab = 12 입니다

48
00:03:34,130 --> 00:03:40,850
따라서 범위는 a x b = 12로 줄여집니다

49
00:03:40,850 --> 00:03:45,490
하지만 곱해서 12가 되는 양의 정수들은 매우 많죠

50
00:03:45,490 --> 00:03:48,350
그러니 일일이 곱해 봅시다

51
00:03:48,350 --> 00:03:50,620
몇 가지 곱셈을 해보죠

52
00:03:50,620 --> 00:03:57,050
a, b, c

53
00:03:57,050 --> 00:03:59,980
우리는 이 셋의 곱을 구해야 합니다

54
00:03:59,980 --> 00:04:01,716
여기에 써보겠습니다

55
00:04:01,716 --> 00:04:03,800
a, b, c

56
00:04:03,800 --> 00:04:06,590
a가 1이면 b는 12이고

57
00:04:06,590 --> 00:04:11,720
c는 둘의 합이기 때문에 13이 됩니다

58
00:04:11,720 --> 00:04:18,050
따라서 1 x 12 x 13 = 12 x (12 + 1) 이고

59
00:04:18,050 --> 00:04:21,866
144 + 12로 156 입니다

60
00:04:21,866 --> 00:04:27,430
그리고 계산해보면 156은 
6 곱하기 a + b와 값이 같습니다

61
00:04:27,430 --> 00:04:32,440
a + b = 26이고 
6 x 26 = 156이죠

62
00:04:32,440 --> 00:04:34,680
따라서 a가 1이고

63
00:04:34,680 --> 00:04:36,788
b가 12인 것은 맞았습니다

64
00:04:36,788 --> 00:04:39,820
왜냐하면 여기서 a x b가 12라고 했으니까요

65
00:04:39,820 --> 00:04:42,957
그럼 이제 곱해서 12가 되는 숫자들을 찹아봅시다

66
00:04:42,957 --> 00:04:45,187
2 x 6
둘의 합은 8

67
00:04:45,187 --> 00:04:50,400
그리고 a, b, c의 곱을 구해보면 2 x 6 = 12

68
00:04:50,400 --> 00:04:55,330
12 x 8 = 96으로
96입니다

69
00:04:55,330 --> 00:04:58,870
이번엔 3과 4를 해봅시다

70
00:04:58,870 --> 00:05:06,910
3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12
3 곱하기 4는 12 곱하기 7

71
00:05:06,910 --> 00:05:12,380
a + b는 항상 12가 되야하므로 
여기에 12를 곱해줍니다

72
00:05:12,380 --> 00:05:16,740
12 x 7 = 84

73
00:05:16,740 --> 00:05:19,730
a나 b 중 하나가 12를 넘을 수 없습니다

74
00:05:19,730 --> 00:05:22,450
왜냐하면 두 수중 하나가 12를 넘으면 다른 하나가

75
00:05:22,450 --> 00:05:26,700
정수가 아니거나 분수인 수로 나와야 되기 때문이에요

76
00:05:26,700 --> 00:05:31,760
그리고 모든 수가 양수여야하기 때문에 
음수가 있어서도 안됩니다

77
00:05:31,760 --> 00:05:36,040
자, 이제 우리는 양의 정수인 값들을 구했고
이들의 곱은 모두 12입니다

78
00:05:36,040 --> 00:05:40,100
문제에서 N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하라고 했으니

79
00:05:40,100 --> 00:05:43,910
여기 있는 것들이 N이 될 수 있는 모든 값들입니다

80
00:05:43,910 --> 00:05:47,600
N은 저 정수들의 곱이므로 
이 수들을 더해 봅시다

81
00:05:47,600 --> 00:05:52,040
6 + 6 =12
12 + 4 = 16

82
00:05:52,040 --> 00:05:58,880
1 + 5 = 6
6 + 9 = 15

83
00:05:58,880 --> 00:06:01,880
15 + 8 = 23 
2 + 1 = 3

84
00:06:01,880 --> 00:06:07,189
따라서 답은 336입니다