이 문제는 2003년도 AIME 시험에서 가져왔습니다
미국 수학 경시대회에 출제된 이 문제는
시험 첫 번째 문제였습니다
세 자연수의 곱 N은 그 수들의 합의 6배와 같고
그 중 한 자연수는 나머지 두 자연수의 합과 크기가 같다
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하세요
우리는 세 양의 정수를 구해야 합니다
이 세 자연수를 각각 a, b, c 라고 합시다
셋 다 모두 양수이고, 정수입니다
N은 이 세 자연수의 곱입니다
그래서 a x b x c = N이고
N은 세 자연수의 합의 6배와 같습니다
다른 색깔로 한 번 풀어봅시다
이건 세 자연수의 곱입니다
세 자연수의 곱 N은 각 자연수의 합의 6배와 같으므로
세 자연수 합의 6배
6 곱하기 a + b + c
그리고 세 자연수 중 하나는 다른 두 자연수의 합과 같습니다
c를 a 더하기 b라고 합시다
이렇게 가정을 해도 문제 푸는데는 지장이 없습니다
그리고 어떤 수가 또 다른 어떤 수보다 크거나 작다라고 말하지 않아서 괜찮습니다
아무튼 a + b = c 라고 가정해봅시다
세 자연수 중의 하나는 다른 두 수의 합과 같으므로
c는 a와 b의 합과 같습니다
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구해야 합니다
그럼 우리가 지금 가지고 있는 정보들을 이용해보면
숫자들 사이의 관계와 제약을 알 수도 있으니까
문제를 풀 수 있는 방법들을 다 시도해보죠
우리는 a + b = c 라는 것을 알고 있습니다
그래서 c를 a + b로 쓸 수 있어요
a x b x c에서 a x b는 ab가 되고
c는 a + b로 바꿔 쓸 수 있습니다
그리고 이 식은 a + b + c를 6배 한 것과 같습니다
6 곱하기 a + b + c
c는 a + b로 쓸 수있으므로 c를 a + b로 써줍니다
6 곱하기 a + b + a + b가 되는데
6 곱하기 2a + 2b와 같습니다
a와 b가 두 개씩 있고 앞에 같은 숫자 2가 있기 때문에
2를 빼줍니다. 그러면 6 곱하기 2 해서 12 곱하기 a + b가 됩니다
좌변은 ab 곱하기 a + b이기 때문에
식은 ab 곱하기 a + b는 12 곱하기 a + b가 됩니다
우리는 여기서 양 변을 (a + b)로 나눌 수 있습니다
식의 모든 숫자가 양수가 되려면
a + b 는 0이 될 수 없습니다
만약 a + b가 0이라면
양 변을 0으로 나누어 주는 것이 되서 수 많은 답이 나오기 때문에 a + b는 0이 될 수 없습니다
그래서 식의 양변을 a + b로 나누면 ab = 12 입니다
따라서 범위는 a x b = 12로 줄여집니다
하지만 곱해서 12가 되는 양의 정수들은 매우 많죠
그러니 일일이 곱해 봅시다
몇 가지 곱셈을 해보죠
a, b, c
우리는 이 셋의 곱을 구해야 합니다
여기에 써보겠습니다
a, b, c
a가 1이면 b는 12이고
c는 둘의 합이기 때문에 13이 됩니다
따라서 1 x 12 x 13 = 12 x (12 + 1) 이고
144 + 12로 156 입니다
그리고 계산해보면 156은 6 곱하기 a + b와 값이 같습니다
a + b = 26이고 6 x 26 = 156이죠
따라서 a가 1이고
b가 12인 것은 맞았습니다
왜냐하면 여기서 a x b가 12라고 했으니까요
그럼 이제 곱해서 12가 되는 숫자들을 찹아봅시다
2 x 6 둘의 합은 8
그리고 a, b, c의 곱을 구해보면 2 x 6 = 12
12 x 8 = 96으로 96입니다
이번엔 3과 4를 해봅시다
3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12 3 곱하기 4는 12 곱하기 7
a + b는 항상 12가 되야하므로 여기에 12를 곱해줍니다
12 x 7 = 84
a나 b 중 하나가 12를 넘을 수 없습니다
왜냐하면 두 수중 하나가 12를 넘으면 다른 하나가
정수가 아니거나 분수인 수로 나와야 되기 때문이에요
그리고 모든 수가 양수여야하기 때문에 음수가 있어서도 안됩니다
자, 이제 우리는 양의 정수인 값들을 구했고 이들의 곱은 모두 12입니다
문제에서 N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하라고 했으니
여기 있는 것들이 N이 될 수 있는 모든 값들입니다
N은 저 정수들의 곱이므로 이 수들을 더해 봅시다
6 + 6 =12 12 + 4 = 16
1 + 5 = 6 6 + 9 = 15
15 + 8 = 23 2 + 1 = 3
따라서 답은 336입니다