0:00:00.000,0:00:04.700
이 문제는 2003년도 AIME 시험에서 가져왔습니다

0:00:04.700,0:00:08.340
미국 수학 경시대회에 출제된 이 문제는

0:00:08.340,0:00:10.658
시험 첫 번째 문제였습니다

0:00:10.658,0:00:15.600
세 자연수의 곱 N은 그 수들의 합의 6배와 같고

0:00:15.600,0:00:20.180
그 중 한 자연수는 나머지 두 자연수의 합과 크기가 같다

0:00:20.180,0:00:24.160
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하세요

0:00:24.160,0:00:27.400
우리는 세 양의 정수를 구해야 합니다

0:00:27.400,0:00:34.580
이 세 자연수를 각각 a, b, c 라고 합시다

0:00:34.580,0:00:37.670
셋 다 모두 양수이고, 정수입니다

0:00:37.670,0:00:41.110
N은 이 세 자연수의 곱입니다

0:00:41.110,0:00:47.670
그래서 a x b x c = N이고

0:00:47.670,0:00:50.670
N은 세 자연수의 합의 6배와 같습니다

0:00:50.670,0:00:53.120
다른 색깔로 한 번 풀어봅시다

0:00:53.120,0:00:56.550
이건 세 자연수의 곱입니다

0:00:56.550,0:01:04.430
세 자연수의 곱 N은 각 자연수의 [br]합의 6배와 같으므로

0:01:04.430,0:01:07.650
세 자연수 합의 6배

0:01:07.650,0:01:11.140
6 곱하기 a + b + c

0:01:11.140,0:01:17.690
그리고 세 자연수 중 하나는 다른 두 자연수의 합과 같습니다

0:01:17.690,0:01:22.260
c를 a 더하기 b라고 합시다

0:01:22.260,0:01:25.600
이렇게 가정을 해도 문제 푸는데는 지장이 없습니다

0:01:25.600,0:01:29.850
그리고 어떤 수가 또 다른 어떤 수보다 크거나[br]작다라고 말하지 않아서 괜찮습니다

0:01:29.850,0:01:32.270
아무튼 a + b = c 라고 가정해봅시다

0:01:32.270,0:01:35.610
세 자연수 중의 하나는 다른 두 수의 합과 같으므로

0:01:35.610,0:01:38.960
c는 a와 b의 합과 같습니다

0:01:38.960,0:01:42.783
N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구해야 합니다

0:01:42.783,0:01:47.100
그럼 우리가 지금 가지고 있는 정보들을 이용해보면

0:01:47.100,0:01:50.820
숫자들 사이의 관계와 제약을 알 수도 있으니까

0:01:50.820,0:01:53.830
문제를 풀 수 있는 방법들을 다 시도해보죠

0:01:53.830,0:01:58.150
우리는 a + b = c 라는 것을 알고 있습니다

0:01:58.150,0:02:02.970
그래서 c를 a + b로 쓸 수 있어요

0:02:02.970,0:02:09.220
a x b x c에서 a x b는 ab가 되고

0:02:09.220,0:02:14.520
c는 a + b로 바꿔 쓸 수 있습니다

0:02:14.520,0:02:22.850
그리고 이 식은 a + b + c를 6배 한 것과 같습니다

0:02:22.850,0:02:27.810
6 곱하기 a + b + c

0:02:27.810,0:02:33.960
c는 a + b로 쓸 수있으므로 [br]c를 a + b로 써줍니다

0:02:33.960,0:02:38.270
6 곱하기 a + b + a + b가 되는데

0:02:38.270,0:02:44.010
6 곱하기 2a + 2b와 같습니다

0:02:44.010,0:02:50.030
a와 b가 두 개씩 있고 앞에 [br]같은 숫자 2가 있기 때문에

0:02:50.030,0:02:55.100
2를 빼줍니다. 그러면 6 곱하기 2 해서 [br]12 곱하기 a + b가 됩니다

0:02:55.100,0:03:01.300
좌변은 ab 곱하기 a + b이기 때문에

0:03:01.300,0:03:07.750
식은 ab 곱하기 a + b는 12 곱하기 a + b가 됩니다

0:03:07.750,0:03:12.050
우리는 여기서 양 변을 (a + b)로 나눌 수 있습니다

0:03:12.050,0:03:16.440
식의 모든 숫자가 양수가 되려면

0:03:16.440,0:03:19.440
a + b 는 0이 될 수 없습니다

0:03:19.440,0:03:22.340
만약 a + b가 0이라면

0:03:22.340,0:03:28.840
양 변을 0으로 나누어 주는 것이 되서 [br]수 많은 답이 나오기 때문에 a + b는 0이 될 수 없습니다

0:03:28.840,0:03:34.130
그래서 식의 양변을 a + b로 나누면 ab = 12 입니다

0:03:34.130,0:03:40.850
따라서 범위는 a x b = 12로 줄여집니다

0:03:40.850,0:03:45.490
하지만 곱해서 12가 되는 양의 정수들은 매우 많죠

0:03:45.490,0:03:48.350
그러니 일일이 곱해 봅시다

0:03:48.350,0:03:50.620
몇 가지 곱셈을 해보죠

0:03:50.620,0:03:57.050
a, b, c

0:03:57.050,0:03:59.980
우리는 이 셋의 곱을 구해야 합니다

0:03:59.980,0:04:01.716
여기에 써보겠습니다

0:04:01.716,0:04:03.800
a, b, c

0:04:03.800,0:04:06.590
a가 1이면 b는 12이고

0:04:06.590,0:04:11.720
c는 둘의 합이기 때문에 13이 됩니다

0:04:11.720,0:04:18.050
따라서 1 x 12 x 13 = 12 x (12 + 1) 이고

0:04:18.050,0:04:21.866
144 + 12로 156 입니다

0:04:21.866,0:04:27.430
그리고 계산해보면 156은 [br]6 곱하기 a + b와 값이 같습니다

0:04:27.430,0:04:32.440
a + b = 26이고 [br]6 x 26 = 156이죠

0:04:32.440,0:04:34.680
따라서 a가 1이고

0:04:34.680,0:04:36.788
b가 12인 것은 맞았습니다

0:04:36.788,0:04:39.820
왜냐하면 여기서 a x b가 12라고 했으니까요

0:04:39.820,0:04:42.957
그럼 이제 곱해서 12가 되는 숫자들을 찹아봅시다

0:04:42.957,0:04:45.187
2 x 6[br]둘의 합은 8

0:04:45.187,0:04:50.400
그리고 a, b, c의 곱을 구해보면 2 x 6 = 12

0:04:50.400,0:04:55.330
12 x 8 = 96으로[br]96입니다

0:04:55.330,0:04:58.870
이번엔 3과 4를 해봅시다

0:04:58.870,0:05:06.910
3 + 4 = 7, 3 x 4 = 12[br]3 곱하기 4는 12 곱하기 7

0:05:06.910,0:05:12.380
a + b는 항상 12가 되야하므로 [br]여기에 12를 곱해줍니다

0:05:12.380,0:05:16.740
12 x 7 = 84

0:05:16.740,0:05:19.730
a나 b 중 하나가 12를 넘을 수 없습니다

0:05:19.730,0:05:22.450
왜냐하면 두 수중 하나가 12를 넘으면 다른 하나가

0:05:22.450,0:05:26.700
정수가 아니거나 분수인 수로 나와야 되기 때문이에요

0:05:26.700,0:05:31.760
그리고 모든 수가 양수여야하기 때문에 [br]음수가 있어서도 안됩니다

0:05:31.760,0:05:36.040
자, 이제 우리는 양의 정수인 값들을 구했고[br]이들의 곱은 모두 12입니다

0:05:36.040,0:05:40.100
문제에서 N이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하라고 했으니

0:05:40.100,0:05:43.910
여기 있는 것들이 N이 될 수 있는 모든 값들입니다

0:05:43.910,0:05:47.600
N은 저 정수들의 곱이므로 [br]이 수들을 더해 봅시다

0:05:47.600,0:05:52.040
6 + 6 =12[br]12 + 4 = 16

0:05:52.040,0:05:58.880
1 + 5 = 6[br]6 + 9 = 15

0:05:58.880,0:06:01.880
15 + 8 = 23 [br]2 + 1 = 3

0:06:01.880,0:06:07.189
따라서 답은 336입니다