2003 AIME II Problem 1

Mám tenhle příklad, který byl v AIME Exam v roce 2003, to znamená "Americká matematická zkouška na požádání", a tohle byl první příklad v té zkoušce.

Součin N tří přirozených čísel je 6krát větší než jejich součet, a jeden z činitelů je součtem druhých dvou.

Najděte součet všech možných hodnot N.

Takže budeme se zabývat třemi přirozenými čísly.

Takže tady máme tři kladná celá čísla.

Máme tedy tři přirozená čísla, označme je a, b a c.

Jsou kladná a jsou to celá čísla.

Součin N těchto tří celých kladných čísel.

Takže a krát b krát c se rovná N je 6krát jejich součet.

Tohle se rovná 6krát jejich součtu.

Napíšu to jinou barvou.

Tohle je jejich součin.

Takže součin N tří přirozených čísel je 6krát jejich součet.

Takže tohle se rovná 6krát součet těchto čísel.

a + b + c, a jedno z čísel je součet druhých dvou.

Jedno z čísel je součet druhých dvou.

Řeknu si tedy, že c bude součet a a b.

Na tom nezáleží. Jsou to jen označení

a my si neřekli, které číslo je větší a které menší.

Takže si napíšeme, že a + b = c. Jedno z čísel se rovná součtu ostatních dvou čísel.

c je součtem a plus b. Najděte součet všech možných hodnot N.

Teď se pokusme probrat těmi informacemi, které tu máme.

Možná se nám podaří najít nějaký vztah nebo omezení těch našich čísel a pak si můžeme projít všechny možnosti.

Víme, že a + b = c.

Takže můžeme nahradit c, nahradit za "a + b".

Tenhle výraz, ten napíšeme jako ab, což je a krát b krát c.

Ale místo c napíšu a + b.

A to se rovná 6 krát a + b + c.

A tak, znovu,

nahradím c za "a + b".

A pak to zjednoduším.

Na pravé straně máme 6(a+b+a+b).

To je to stejné jako 6(2a+2b), stačí sečíst ty a a b.

Můžeme vytknout 2. Je to to stejné, jako když vytknete 2.

6krát 2 je 12krát (a+b).

Levá strana je pořád a krát b nebo ab krát (a+b).

Takže ab(a+b) se musí rovnat 12(a+b).

Tohle je docela zajímavé.

Obě strany můžeme vydělit (a+b).

Víme, že a+b se nebude rovnat, nemůže se rovnat 0.

Všechna tato čísla musí být kladná čísla.

Takže vydělíme obě strany a důvod, proč říkám, že kdyby to byla nula...

Dělení nulou by nám dalo nedefinovaný výsledek.

Takže vydělíme obě strany (a+b) a dostaneme ab=12.

Takže všechny požadavky, které nám zadali, nás přivedly k tomuto.

Součin a a b je roven 12.