0:00:00.000,0:00:11.182
Mám tenhle příklad, který byl v AIME Exam v roce 2003, to znamená "Americká matematická zkouška na požádání", a tohle byl první příklad v té zkoušce.

0:00:11.182,0:00:19.455
Součin N tří přirozených čísel je 6krát větší než jejich součet, a jeden z činitelů je součtem druhých dvou.

0:00:19.455,0:00:23.560
Najděte součet všech možných hodnot N.

0:00:23.560,0:00:26.798
Takže budeme se zabývat třemi přirozenými čísly.

0:00:26.798,0:00:30.698
Takže tady máme tři kladná celá čísla.

0:00:30.698,0:00:36.011
Máme tedy tři přirozená čísla, označme je a, b a c.

0:00:36.011,0:00:37.649
Jsou kladná a jsou to celá čísla.

0:00:37.649,0:00:40.989
Součin N těchto tří celých kladných čísel.

0:00:40.989,0:00:47.840
Takže a krát b krát c se rovná N je 6krát jejich součet.

0:00:47.840,0:00:50.457
Tohle se rovná 6krát jejich součtu.

0:00:50.457,0:00:52.479
Napíšu to jinou barvou.

0:00:52.479,0:00:54.394
Tohle je jejich součin.

0:00:54.394,0:01:02.099
Takže součin N tří přirozených čísel je 6krát jejich součet.

0:01:02.099,0:01:05.799
Takže tohle se rovná 6krát součet těchto čísel.

0:01:05.799,0:01:13.004
a + b + c, a jedno z čísel je součet druhých dvou.

0:01:13.004,0:01:19.379
Jedno z čísel je součet druhých dvou.

0:01:19.379,0:01:23.533
Řeknu si tedy, že c bude součet a a b.

0:01:23.533,0:01:25.387
Na tom nezáleží. Jsou to jen označení

0:01:25.387,0:01:28.217
a my si neřekli, které číslo je větší a které menší.

0:01:28.217,0:01:34.877
Takže si napíšeme, že a + b = c. Jedno z čísel se rovná součtu ostatních dvou čísel.

0:01:34.877,0:01:41.781
c je součtem a plus b. Najděte součet všech možných hodnot N.

0:01:41.781,0:01:46.773
Teď se pokusme probrat těmi informacemi, které tu máme.

0:01:46.773,0:01:53.614
Možná se nám podaří najít nějaký vztah nebo omezení těch našich čísel a pak si můžeme projít všechny možnosti.

0:01:53.614,0:01:56.677
Víme, že a + b = c.

0:01:56.677,0:02:02.292
Takže můžeme nahradit c, nahradit za "a + b".

0:02:02.292,0:02:08.680
Tenhle výraz, ten napíšeme jako ab, což je a krát b krát c.

0:02:08.680,0:02:14.964
Ale místo c napíšu a + b.

0:02:14.964,0:02:24.691
A to se rovná 6 krát a + b + c.

0:02:24.691,0:02:27.410
A tak, znovu,

0:02:27.410,0:02:31.068
nahradím c za "a + b".

0:02:31.068,0:02:33.451
A pak to zjednoduším.

0:02:33.451,0:02:37.689
Na pravé straně máme 6(a+b+a+b).

0:02:37.689,0:02:45.285
To je to stejné jako 6(2a+2b), stačí sečíst ty a a b.

0:02:45.285,0:02:49.044
Můžeme vytknout 2. Je to to stejné, jako když vytknete 2.

0:02:49.044,0:02:53.313
6krát 2 je 12krát (a+b).

0:02:53.313,0:03:01.466
Levá strana je pořád a krát b nebo ab krát (a+b).

0:03:01.466,0:03:07.445
Takže ab(a+b) se musí rovnat 12(a+b).

0:03:07.445,0:03:09.630
Tohle je docela zajímavé.

0:03:09.630,0:03:12.415
Obě strany můžeme vydělit (a+b).

0:03:12.415,0:03:16.539
Víme, že a+b se nebude rovnat, nemůže se rovnat 0.

0:03:16.539,0:03:19.077
Všechna tato čísla musí být kladná čísla.

0:03:19.077,0:03:23.402
Takže vydělíme obě strany a důvod, proč říkám, že kdyby to byla nula...

0:03:23.402,0:03:27.435
Dělení nulou by nám dalo nedefinovaný výsledek.

0:03:27.435,0:03:33.614
Takže vydělíme obě strany (a+b) a dostaneme ab=12.

0:03:33.614,0:03:38.356
Takže všechny požadavky, které nám zadali, nás přivedly k tomuto.

0:03:38.356,0:03:41.589
Součin a a b je roven 12.