1
00:00:00,000 --> 00:00:11,182
Mám tenhle příklad, který byl v AIME Exam v roce 2003, to znamená "Americká matematická zkouška na požádání", a tohle byl první příklad v té zkoušce.

2
00:00:11,182 --> 00:00:19,455
Součin N tří přirozených čísel je 6krát větší než jejich součet, a jeden z činitelů je součtem druhých dvou.

3
00:00:19,455 --> 00:00:23,560
Najděte součet všech možných hodnot N.

4
00:00:23,560 --> 00:00:26,798
Takže budeme se zabývat třemi přirozenými čísly.

5
00:00:26,798 --> 00:00:30,698
Takže tady máme tři kladná celá čísla.

6
00:00:30,698 --> 00:00:36,011
Máme tedy tři přirozená čísla, označme je a, b a c.

7
00:00:36,011 --> 00:00:37,649
Jsou kladná a jsou to celá čísla.

8
00:00:37,649 --> 00:00:40,989
Součin N těchto tří celých kladných čísel.

9
00:00:40,989 --> 00:00:47,840
Takže a krát b krát c se rovná N je 6krát jejich součet.

10
00:00:47,840 --> 00:00:50,457
Tohle se rovná 6krát jejich součtu.

11
00:00:50,457 --> 00:00:52,479
Napíšu to jinou barvou.

12
00:00:52,479 --> 00:00:54,394
Tohle je jejich součin.

13
00:00:54,394 --> 00:01:02,099
Takže součin N tří přirozených čísel je 6krát jejich součet.

14
00:01:02,099 --> 00:01:05,799
Takže tohle se rovná 6krát součet těchto čísel.

15
00:01:05,799 --> 00:01:13,004
a + b + c, a jedno z čísel je součet druhých dvou.

16
00:01:13,004 --> 00:01:19,379
Jedno z čísel je součet druhých dvou.

17
00:01:19,379 --> 00:01:23,533
Řeknu si tedy, že c bude součet a a b.

18
00:01:23,533 --> 00:01:25,387
Na tom nezáleží. Jsou to jen označení

19
00:01:25,387 --> 00:01:28,217
a my si neřekli, které číslo je větší a které menší.

20
00:01:28,217 --> 00:01:34,877
Takže si napíšeme, že a + b = c. Jedno z čísel se rovná součtu ostatních dvou čísel.

21
00:01:34,877 --> 00:01:41,781
c je součtem a plus b. Najděte součet všech možných hodnot N.

22
00:01:41,781 --> 00:01:46,773
Teď se pokusme probrat těmi informacemi, které tu máme.

23
00:01:46,773 --> 00:01:53,614
Možná se nám podaří najít nějaký vztah nebo omezení těch našich čísel a pak si můžeme projít všechny možnosti.

24
00:01:53,614 --> 00:01:56,677
Víme, že a + b = c.

25
00:01:56,677 --> 00:02:02,292
Takže můžeme nahradit c, nahradit za "a + b".

26
00:02:02,292 --> 00:02:08,680
Tenhle výraz, ten napíšeme jako ab, což je a krát b krát c.

27
00:02:08,680 --> 00:02:14,964
Ale místo c napíšu a + b.

28
00:02:14,964 --> 00:02:24,691
A to se rovná 6 krát a + b + c.

29
00:02:24,691 --> 00:02:27,410
A tak, znovu,

30
00:02:27,410 --> 00:02:31,068
nahradím c za "a + b".

31
00:02:31,068 --> 00:02:33,451
A pak to zjednoduším.

32
00:02:33,451 --> 00:02:37,689
Na pravé straně máme 6(a+b+a+b).

33
00:02:37,689 --> 00:02:45,285
To je to stejné jako 6(2a+2b), stačí sečíst ty a a b.

34
00:02:45,285 --> 00:02:49,044
Můžeme vytknout 2. Je to to stejné, jako když vytknete 2.

35
00:02:49,044 --> 00:02:53,313
6krát 2 je 12krát (a+b).

36
00:02:53,313 --> 00:03:01,466
Levá strana je pořád a krát b nebo ab krát (a+b).

37
00:03:01,466 --> 00:03:07,445
Takže ab(a+b) se musí rovnat 12(a+b).

38
00:03:07,445 --> 00:03:09,630
Tohle je docela zajímavé.

39
00:03:09,630 --> 00:03:12,415
Obě strany můžeme vydělit (a+b).

40
00:03:12,415 --> 00:03:16,539
Víme, že a+b se nebude rovnat, nemůže se rovnat 0.

41
00:03:16,539 --> 00:03:19,077
Všechna tato čísla musí být kladná čísla.

42
00:03:19,077 --> 00:03:23,402
Takže vydělíme obě strany a důvod, proč říkám, že kdyby to byla nula...

43
00:03:23,402 --> 00:03:27,435
Dělení nulou by nám dalo nedefinovaný výsledek.

44
00:03:27,435 --> 00:03:33,614
Takže vydělíme obě strany (a+b) a dostaneme ab=12.

45
00:03:33,614 --> 00:03:38,356
Takže všechny požadavky, které nám zadali, nás přivedly k tomuto.

46
00:03:38,356 --> 00:03:41,589
Součin a a b je roven 12.