Chứng minh hàm số có điểm uốn dựa vào giải tích

Ta có thể chứng minh một hàm số có điểm uốn hay không bằng cách tìm xem tại đâu đạo hàm bậc 2 đổi dấu.

Tự luyện tập bài học này trên KhanAcademyh.org ngay bây giờ:
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-justification-with-second-derivative/e/justification-using-second-derivative?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-justification-with-second-derivative/v/inflection-points-graphically-given-derivative?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivatives-analyze-functions/ab-justification-with-second-derivative/v/calculus-based-justification-using-second-derivative-max?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Đăng kí kênh AP Giải tích AB của Khan Academy:
https://www.youtube.com/channel/UCyoj0ZF4uw8VTFbmlfOVPuw?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Hàm số khả vi 2 lần g,

và đạo hàm bậc 2 g phẩy phẩy được minh họa bằng đồ thị.

Và bạn có thể thấy ở ngay đây.

Mình đang làm một bài viết,

trên Khan Academy, có tên là,

Chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm bậc 2.

Vậy ta có hàm số g ở đây.

Và ta có đạo hàm, không phải bậc 1,

mà là bậc 2 của nó,

được tô bằng màu nâu.

Tiếp theo, đề bài nói,

đề cho ta biết rằng,

4 học sinh được yêu cầu đưa ra,

lời chứng minh hợp lí dựa trên giải tích,

cho việc g có điểm uốn tại x bằng -2.

Từ trực giác của ta, ta thấy rằng,

điều này đúng.

Vậy x bằng -2, giờ ta hãy nhớ lại,

điểm uốn là gì.

Nó là điểm mà ta thay đổi từ lồi,

thành lõm.

Hoặc, từ lõm, thành lồi.

Hay một cách khác để nghĩ về nó,

là liên tưởng đến trường hợp,

khi hệ số góc của ta giảm rồi lại tăng,

hoặc tăng rồi giảm.

Khi ta nhìn vào đây, ta thấy,

hệ số góc đang giảm, nó dương,

nhưng nó đang giảm, giảm về 0.

Rồi nó tiếp tục giảm,

và bây giờ nó âm.

Nó tiếp tục giảm cho tới khi ta tới,

x bằng -2.

và rồi nó bắt đầu tăng trở lại,

nó bắt đầu ít âm hơn.

Có vẻ như nó là 0 ngay tại đây,

và rồi nó cứ tăng tiếp, nó trở nên,

dương hơn.

Vậy, đúng là tại x bằng -2,

ta đi từ lồi,

thành lõm.

Giờ, để chứng minh sử dụng giải tích,

ta có thể dựa vào đạo hàm bậc 2,

và xem xem là nó sẽ,

cắt trục x ở đâu.

Vì khi đạo hàm bậc 2 âm,

nghĩa là khi đó hệ số góc đang giảm,

và ta đang có đồ thị lồi.

Còn khi đạo hàm bậc 2 dương,

thì nghĩa là đạo hàm bậc 1,

đang tăng, và hệ số góc của hàm số g,

đang tăng, nghĩa là đồ thị lõm.

Vậy, để ý rằng, ta có đạo hàm bậc 2,

cắt trục x,

tại x bằng -2.

Sẽ là không đủ nếu nó chỉ bằng 0,

hoặc chạm vào trục x,

nó phải cắt truc x, phải cắt, để ta có,

một điểm uốn tại đó.

Với thông tin đó, ta hãy xem cách chứng minh,

của những học sinh, và xét xem,

nếu ta có thể,

đóng vai một giáo viên,

và nghĩ xem giáo viên sẽ nói gì,

cho từng cách chứng minh này.

Bạn đầu tiên nói rằng, đạo hàm bậc 2 của g,

thay đổi dấu khi x bằng với -2.

Chà, đó chính xác là những gì ta vừa nói tới.

Nếu đạo hàm bậc 2 đổi dấu,

trong trường hợp này, nó đi từ âm sang dương,

nghĩa là đạo hàm bậc 1 thay đổi từ,

giảm thành tăng.

Vậy cách chứng minh này là đúng, và nó có dựa trên,

giải tích.

Vậy, ở đây mình sẽ để là,

Chúc mừng bạn, bạn đã đúng rồi.

Nó cắt trục x.

Cách nói này khá mơ hồ.

Cái gì cắt trục x?

Mình sẽ thắc mắc,

bạn ấy đang nói về cái gì, hàm số,

hay là đạo hàm bậc 1,

hay đạo hàm bậc 2.

Vậy mình sẽ để là, hãy diễn đạt rõ ràng hơn.

Đây không được tính là cách chứng minh đúng.

Mình đọc sang cái khác nhé.

Đạo hàm bậc 2 của g,

tăng tại x bằng,

-2.

Đây không phải là cách giải thích đúng,

cho việc vì sao ta có điểm uốn tại đó.

Ví dụ nhé,

đạo hàm bậc 2 tăng,

tại x bằng -2.5.

Đạo hàm bậc 2 cũng tăng,

tại x bằng với,

-1.

Nhưng bạn không có điểm uốn,

tại những điểm đó.

Vậy mình nói, cái này không giải thích được,

vì sao g có điểm uốn.

Và câu trả lời của học sinh cuối,

tính lồi/lõm của đồ thị g,

thay đổi tại x bằng -2.

Điều này đúng,

nhưng nó không phải là cách chứng minh dựa vào giải tích.

Ta muốn sử dụng đạo hàm bậc 2 ở đây.