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Calculus based justification for an inflection point

  • 0:01 - 0:03
    두 번 미분할 수 있는
    함수 g와
  • 0:03 - 0:07
    이계도함수 g''의
    그래프를 그렸습니다
  • 0:07 - 0:09
    여기에 보이죠
  • 0:09 - 0:11
    이계도함수를
    이용해 정의하기라는
  • 0:11 - 0:12
    칸아카데미의 글을 통해
  • 0:12 - 0:15
    설명을 드리는 것입니다
  • 0:15 - 0:16
    여기 함수 g를 봅시다
  • 0:16 - 0:18
    이는 일계도함수가 아니라
  • 0:18 - 0:20
    이계도함수입니다
  • 0:20 - 0:21
    갈색으로 표시했죠
  • 0:21 - 0:24
    해당 글에서는
  • 0:24 - 0:25
    해당 글에서는
  • 0:25 - 0:27
    네 명의 학생이
    함수 g가 x = -2에서
  • 0:27 - 0:30
    변곡점을 가지는
  • 0:30 - 0:36
    미적분학적 증명을
    하라고 합니다
  • 0:36 - 0:37
    이는 직감적으로
  • 0:37 - 0:39
    맞다고 생각이 됩니다
  • 0:39 - 0:40
    x = -2일 경우
  • 0:40 - 0:42
    변곡점이 무엇인지
    복습해봅시다
  • 0:42 - 0:44
    이는 오목성이 아래에서
  • 0:44 - 0:46
    위로 변하는 점입니다
  • 0:46 - 0:48
    혹은 위에서 아래로 변하죠
  • 0:48 - 0:50
    다른 말로 설명하면
  • 0:50 - 0:52
    기울기가 감소에서 증가로
  • 0:52 - 0:54
    혹은 증가에서 감소로
  • 0:54 - 0:56
    변하는 점입니다
  • 0:56 - 0:58
    여기서 이를 확인하면
  • 0:58 - 1:01
    기울기가
    줄어들며 양수입니다
  • 1:01 - 1:03
    하지만 줄어들며
    0에 도달합니다
  • 1:03 - 1:05
    계속 줄어들며
  • 1:05 - 1:07
    음수가 됩니다
  • 1:07 - 1:08
    x = -2에 도달할 때까지
  • 1:08 - 1:09
    감소합니다
  • 1:09 - 1:11
    그 다음 다시 증가합니다
  • 1:11 - 1:13
    그다음 음수가
    될 때까지 계속 감소합니다
  • 1:13 - 1:15
    여기 0에 도달한 뒤
  • 1:15 - 1:17
    계속 증가합니다
  • 1:17 - 1:19
    계속 증가하며
    양수에 도달합니다
  • 1:19 - 1:22
    결국 x = -2일 경우
  • 1:22 - 1:24
    오목성이 위에서
  • 1:24 - 1:26
    아래로 바뀝니다
  • 1:26 - 1:29
    미적분학적 정의에 따르면
  • 1:29 - 1:31
    이계도함수에선
  • 1:31 - 1:34
    이계도함수가 x축을
  • 1:34 - 1:35
    가로지르는
    부분을 봐야합니다
  • 1:35 - 1:38
    왜냐하면
    이계도함수가 음수이면
  • 1:38 - 1:40
    기울기가 감소합니다
  • 1:40 - 1:42
    오목성이 아래쪽이죠
  • 1:42 - 1:44
    이계도함수가 양수라면
  • 1:44 - 1:46
    일계도함수가
    증가하는 것이고
  • 1:46 - 1:49
    원래 함수의 기울기가
  • 1:49 - 1:51
    증가하며 오목성이
    위를 향합니다
  • 1:51 - 1:54
    따라서 x = -2에
  • 1:54 - 1:56
    이계도함수가 x축을
  • 1:56 - 1:58
    가로지르게 됩니다
  • 1:58 - 2:01
    0에 도달하거나
  • 2:01 - 2:02
    x축에 닿는 것이
    다가 아닙니다
  • 2:02 - 2:04
    임계점을 찾으려면
  • 2:04 - 2:06
    x축을 가로지르는
    점을 찾아야 합니다
  • 2:06 - 2:09
    다음이 주어진 경우의
  • 2:09 - 2:11
    학생들의 정의를 보고
  • 2:11 - 2:13
    선생님이 된 기분으로
  • 2:13 - 2:15
    각 정의에 따라
  • 2:15 - 2:16
    선생님이 정의에 대해
  • 2:16 - 2:18
    뭐라고 할지 생각해 봅시다
  • 2:18 - 2:20
    첫 번째 학생은
    g의 도함수는
  • 2:20 - 2:23
    x = -2에서 부호를
    바꾼다고 합니다
  • 2:23 - 2:26
    방금 저희가 말한 내용이죠
  • 2:26 - 2:29
    이계도함수가 부호를 바꾼다면
  • 2:29 - 2:31
    음수에서 양수로 바뀌며
  • 2:31 - 2:33
    일계도함수는
  • 2:33 - 2:36
    감소에서 증가로 바뀝니다
  • 2:36 - 2:39
    그리고 이는 미적분학적
  • 2:39 - 2:41
    정의에 해당합니다
  • 2:41 - 2:43
    따라서 지금까지는
    맞게 풀었다는
  • 2:43 - 2:45
    이 보기를 첫 번째
    학생에게 주겠습니다
  • 2:45 - 2:47
    x축을 가로지릅니다
  • 2:47 - 2:49
    이 증명은 애매하네요
  • 2:49 - 2:51
    어떤 것이 x축을
    가로지르나요?
  • 2:51 - 2:52
    만약 학생이 이와
    같은 증명을 적었다면
  • 2:52 - 2:53
    어떤 것인지
  • 2:53 - 2:54
    일계도함수인지
  • 2:54 - 2:56
    이계도함수인지 물을 것입니다
  • 2:56 - 2:58
    따라서 더 명확히
    표현하라고 할 것입니다
  • 2:58 - 3:01
    이 정의는 올바르지 않습니다
  • 3:01 - 3:03
    다른 보기를 봅시다
  • 3:03 - 3:05
    이계도함수 g는
  • 3:05 - 3:08
    x = -2일 경우
  • 3:08 - 3:10
    증가합니다
  • 3:10 - 3:12
    이 증명은 임계점이
  • 3:12 - 3:13
    왜 여기에 있는지
    증명하지 않습니다
  • 3:13 - 3:15
    예를 들어
  • 3:15 - 3:17
    이계도함수는
    x = -2.5일 경우
  • 3:17 - 3:20
    증가합니다
  • 3:20 - 3:22
    이계도함수는
  • 3:22 - 3:23
    x = -1일 경우도
  • 3:23 - 3:24
    증가합니다
  • 3:24 - 3:26
    하지만 이 부분에서
  • 3:26 - 3:27
    임계점을 가지지 않습니다
  • 3:27 - 3:29
    따라서 이는 g가
  • 3:29 - 3:31
    왜 임계점을 가지는지
    설명하지 않습니다
  • 3:31 - 3:34
    마지막 학생은
  • 3:34 - 3:36
    g의 그래프의 오목성이
  • 3:36 - 3:37
    x = -2일 경우
    바뀐다고 합니다
  • 3:37 - 3:39
    이는 참입니다
  • 3:39 - 3:42
    하지만 미적분학적
    증명이 아니죠
  • 3:42 - 3:46
    여기선 이계도함수를
    사용해야 합니다
Title:
Calculus based justification for an inflection point
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
03:47

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