Xấp xỉ tuyến tính của của một hàm hữu tỉ | AP Giải tích AB | Khan Academy

Sal tìm một biểu thức tuyến tính xấp xỉ y=1/(x-1) tại x=-1. Cái này thực hiện bằng cách tìm phương trình của đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị tại x=-1, quá trình này được gọi là xấp xỉ tuyến tính.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-rules/ab-chain-rule/v/chain-rule-introduction?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-derivative-rules/ab-rational-func-diff/v/rational-functions-differentiation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB

AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Có những trường hợp mà

bạn có một hàm số nào đó,

cái này rõ ràng là một hàm phi tuyến tính.

F(x) bằng 1/(x-1),

đây là đồ thị hay ít nhất là một phần đồ thị

của nó.

Nhưng đây là nơi bạn muốn xấp xỉ nó với một hàm tuyến tính

nhất là tại một giá trị nhất định,

và chúng ta sẽ muốn

tìm một xấp xỉ, để mình viết nó ra đây,

mình sẽ muốn tìm một xấp xỉ,

thật ra để rõ hơn, mình muốn tìm

một xấp xỉ tuyến tính

nên mình sẽ xấp xỉ nó với một đường thẳng.

Mình muốn tìm một xấp xỉ tuyến tính

của f, và bạn cần biết

nơi bạn sẽ xấp xỉ nó,

gần x bằng âm 1.

Thế điều đó có nghĩa gì?

Hãy nhìn vào đồ thị ở đây,

trên đường cong này, khi x bằng âm 1,

f(-1) bằng âm 1/2,

ở ngay đây này, để mình dùng màu khác nhé,

nó ở ngay đây này và cái ta muốn làm là

xấp xỉ nó với một đường thẳng gần đó.

Và thứ ta nên làm

là ta sẽ xấp xỉ nó

với một phương trình tiếp tuyến.

Đường tiếp tuyến sẽ nhìn

như thế này và ta có thể thấy,

khi ta đi càng xa

x bằng âm 1,

thì xấp xỉ sẽ càng tệ hơn,

nhưng nếu ta ở gần x bằng âm 1,

xấp xỉ tuyến tính của bạn

sẽ rất chính xác hay ít nhất trong ví dụ này

nó là một xấp xỉ tuyến tính rất tốt.

Nên khi đề bài nói bạn hãy tìm xấp xỉ tuyến tính

của f ở gần x bằng âm 1

hay cái nào dưới đây là xấp xỉ tốt nhất

và tất cả đáp án là đường thẳng,

thì thật ra là họ đang yêu cầu bạn tìm

phương trình tiếp tuyến tại x bằng âm 1.

Vậy mình cùng làm nhé!

Để tìm phương trình tiếp tuyến,

phương trình của nó sẽ là y bằng mx cộng b

với m là hệ số góc và b là giao điểm với trục y.

Sẽ có cách khác để bạn nghĩ về nó.

Bạn có thể nghĩ về nó dưới dạng điểm và độ dốc,

sẽ là y trừ y1, với y1

thuộc đường thẳng đó, bằng với hệ số góc nhân

x trừ x1 tương ứng, nên điểm (x1, y1)

sẽ thuộc đường thẳng đó.

Thật ra, mình thích viết dạng điểm và độ dốc

thế này, (y trừ y1) trên (x trừ x1)

bằng b vì cái này chính là

ý tưởng ban đầu.

Nhìn xem, nếu x1 và y1 thuộc đường thẳng,

hệ số góc giữa bất kì điểm nào trên đường thẳng

và điểm đó cũng sẽ là hệ số góc của bạn.

Vậy ta có thể nghĩ về nó theo những cách này.

Trước hết, hãy tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến

và khi đó đạo hàm sẽ rất có ích đấy.

Để mình viết lại f(x),

mình sẽ viết nó là x trừ 1

mũ âm 1,

nó sẽ rõ hơn khi ta dùng công thức đạo hàm lũy thừa

và một chút quy tắc đạo hàm hợp,

nên đạo hàm của f theo x sẽ bằng

đạo hàm của x trừ 1 mũ âm 1

theo x trừ 1, nó sẽ là,

mình sẽ dùng công thức đạo hàm lũy thừa ở đây,

nó sẽ là âm 1 nhân (x trừ 1) mũ âm 2

và rồi ta nhân với

đạo hàm của x trừ 1 theo x,

nó sẽ chỉ là 1, đúng không.

Đạo hàm của x theo x là 1,

đạo hàm của âm 1 theo x là 0,

nên ta có thể nhân 1 ở đây nếu ta muốn

hay ta có thể không viết nó ra

vì nó sẽ không thay đổi giá trị.

Giờ hãy tính cái đó khi x bằng âm 1.

f phẩy của âm 1 bằng,

mình có thể viết là

âm 1 trên

(âm 1 trừ 1) bình phương, nó là âm 2

dưới đây, nên sẽ là âm 1/4.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là,

mình có thể viết cách này, m bằng âm 1/4,

và giờ ta chỉ phải viết

phương trình của nó ra thôi.

Ta đã biết x1 và y1

thuộc đường thẳng, thật ra ta sẽ muốn dùng

điểm với x bằng âm 1

nên ta biết điểm (âm 1, ),

ta có thể thế nó vào đây,

f(âm 1) là âm 1/2

1 trên âm 1 trừ 1 là âm 1/2.

Nên ta biết cái này là (-1, -1/2),

nó sẽ nằm trên đường cong và cả đường thẳng,

nó là điểm tiếp tuyến và

đường cong cắt nhau.

Nên ta có thể dùng những cái này

để viết phương trình của đường thẳng,

ta có thể nói,

y trừ y1, là trừ âm 1/2

sẽ bằng

hệ số góc, âm 1/4,

mình chỉ đang dùng dạng điểm và độ dốc,

bằng hệ số góc nhân x trừ x1,

x trừ tọa độ x mà ta đã biết,

là trừ âm 1.

Và để mình viết tất cả bằng màu trắng,

cái này sẽ là y cộng 1/2 bằng,

ở đây là cộng 1,

nên mình có thể nhân phân phối âm 1/4.

Nó sẽ là âm 1/4 x trừ 1/4 trừ 1/4

và rồi mình có thể trừ 1/2 cho cả 2 vế

nên mình sẽ được y bằng âm 1/4 x

và rồi nếu mình đang trừ 1/4

mình sẽ trừ thêm 1/4 nữa, nên sẽ là âm 3/4

âm 3/4.

Nó thật sự gần với cái mình đã vẽ ở đây,

cái này cắt trục y tại âm 3/4.

Vậy bạn làm xong rồi đó, đường thẳng này,

hay bạn có thể nói, phương trình này

sẽ là một xấp xỉ rất tốt,

thực sự rất tốt cho một xấp xỉ tuyến tính

của hàm số phi tuyến tính này tại x bằng âm 1.

Bạn có thể tự hỏi tại soa họ không hỏi mình

tìm phương trình tiếp tuyến

tại x bằng âm 1, họ có thể làm vậy

nhưng ở đây cần thêm một chút xử lý nhận thức,

rằng mình có thể dùng phương trình

tiếp tuyến để xấp xỉ

hàm số này tại x bằng âm 1.