Function Inverse Example 1

Function Inverse Example 1

.

لدينا f(x) = - x + 4، و (f(x

تم تمثيله بيانياً هنا على المحور الديكارتي

دعونا نحاول ايجاد معكوس f

ولايجاد المعكوس، ما ارغب بفعله هو ان اضع y

اضع المتغير (y = f(x، او يمكن ان نكتب y

= 4x + 4-

والآن، قمنا بايجاد y عن طريق x

وحتى نجد المعكوس، نقوم بعكس ذلك

نجد قيمة x عن طريق y

اذاً دعونا نطرح 4 من كلا الطرفين

فنحصل على y - 4 = -x

ومن ثم لنجد x، يمكننا ان نضرب طرفي

المعادلة بـ -1

وبهذا نحصل على y + 4 = x-

او لأننا اعتدنا دائماً على كتابة المتغير المستقل

على الجانب الايسر، يمكننا ان نعيد كتابتها لتصبح x

= y + 4-

او لكتابتها بطريقة اخرى يمكننا ان نقول ان f

عبارة عن معكوس y = -y + 4

اذاً هذا هو معكوس الاقتران، وقد قمنا بكتابته

بصورة اقتران y، لكن يمكننا اعادة تسمية الـ y ليصبح x

اذاً هذا الاقتران x

لنقم بهذا اذاً

اذا قمنا باعادة تسمية y ليصبح x، سنحصل على f معكوس x

= x +4-

هذان الاقترانان متطابقان

هنا، قمنا باستخدام y كمتغير مستقل، او

كمتغير مدخل

هنا قمنا فقط باستخدام x، لكنهما اقترانين متطايقين

الآن، دعونا نقوم بتمثيل الاقتران العكسي

ونرى كيف يمكنه ان يرتبط بهذا

هنا

فاذا نظرت اليه، فإنه يبدو

متطابقاً تماماً

انه x + 4-

انه نفس الاقتران بالضبط

دعونا نرى اذاً، اذا كان لدينا --تقاطع الـ y هو 4، سيكون

الشيئ نفسه

الاقتران عبارة عن معكوسه

فاذا قمنا بتمثيله، فسنضعه

اعلى هذا

اعلى هذا

ولهذا، يوجد العديد من الطرق للتفكير بهذا

في العرض الاول على الاقتران العكسي، تحدثت عن كيف

ان الاقتران ومعكوسه --انهم عبارة عن انعكاس

على الخط y = x

اين يقع الخط y = x هنا؟

حسناً، الخط y = x يبدو هكذا

الخط y = x يبدو هكذا

و x + 4- عامودياً على y

= x، اذاً عندما تقوم بعكسه، فأنت بالتالي

تقلبه، لكنه سيكون نفس الخط

انه عبارة عن انعكاسه

الآن، دعوني اتأكد من ان هذا منطقياً

عندما نتعامل مع الاقتران النموذجي

هنا، اذا ادخلت 2، فستتربط مع 2

واذا ادخلت 4، فسترتبط مع 0

ماذا سيحدث لو ذهبت في الاتجاه الآخر؟

اذا قمت بادخال 2، حسناً، 2 ترتبط مع 2 بأي

طريقة، اذاً هذا منطقياً

بالنسبة للاقتران بشكله المألوف، 4 سترتبط مع 0

اما بالنبة للاقتران العكسي، فإن 0 سيرتبط مع 4

اذاً هذا منطقي جداً

دعونا نفكر به بطريقة اخرى

بالنسبة للاقتران المألوف --دعوني اكتبه بشكل موضح في الاسفل

ربما سيكون هذا واضحاً لكم، لكن في حال انه

لم يكن كذلك، فهذا سيساعدكم

دعوني اختار (f(5

f(5) = -1

او يمكن ان نقول، ان الاقتران f يربطنا من 5 الى -1

الآن، ماذا يفعل f العكسي؟

كم يساوي f العكسي (-1)؟

f العكسي (-1) = 5

f العكسي (-1) = 5

او يمكن ان نقول ان f يربطنا من -1 الى 5

مرة اخرى اذاً، اذا كنت تفكر بالمجموعات، فهي

عبارة عن المجالات والنطاقات التي لدينا

لنفترض اذاً ان هذا هو مجال f، وهذا

هو نطاق f

سيأخذنا f من 5 الى -1

هذا ما يفعله الاقتران f

وكما نرى فإن f العكسي يأخذنا للخلف اي من -1 الى 5

f العكسي يأخذنا للخلف اي من -1 الى 5

كما هو مفترض

دعونا نقوم بحل واحد آخر

لدي هنا g(x) = -2x - 1

اذاً كما في المسألة الاخيرة، افضل ان اضع y = هذا

اذاً كما قلنا (y = g(x، ما يساوي

2x - 1-

الآن سنقوم بايجاد قيمة x

y + 1 = 2x

قمت فط باضافة 1 لكلا الطرفين

الآن يمكننا ان نقسم طرفي المعادلة على -2

وبهذا ستحصل على y / 2 - 1/ 2 = x-، او

يمكننا ان نكتب x = -y / 2 - 1/ 2، او

يمكن ان نكتب f العكسي بصورة اقتران y =

y / 2 - 1/ 2-، او يمكننا اعادة تسمية y لتصبح x

ويمكن ان نقول ان f العكسي --اوه، دعوني اكون حذراً هنا

لا يجب ان يكون هذا f

فالاقتران الاصلي كان g ، دعوني اكون واضحاً

ذاك هو g معكوس y = -y / 2 - 1 / 2

لأننا قد بدأنا بـ (g(x وليس (f(x

تأكدوا من ان مفهومنا صحيح

او يمكن اعادة تسمية الـ y ونقول ان g العكسي (x) =

x / 2 - 1 / 2-

دعونا نقوم بتمثيله الآن

تقاطع الـ y فيه يساوي 1/2

انه هنا

وميله يساوي -1/2

ميله يساوي -1/2

دعونا نرى، اذا بدأنا من 1/2، وتحركنا

الى 1 في الاتجاه الموجب، فسيتحرك للأسفل بمقدار النصف

واذا تحركنا الى 1 مرة اخرى، فسيتجه للاسفل بمقدار النصف مرة اخرى

واذا عدنا الى الوراء --سيتحرك هكذا

اذاً الخط، سأبذل قصارى جهدي لرسمه

سيبدو هكذا

سأستمر وسيبدو هكذا، و

سأستمر بالذهاب في كلا الاتجاهين

والآن دعونا نرى اذا كان هذا الانعكاس يقع بالفعل على y

= x.
y = x يبدو هكذا، ويمكنك ان ترى

انهما انعكاس

اذا قمت بعكس هذا، اذا قمت بعكس الخط الازرق هذا

فسيصبح الخط البرتقالي هذا

لكن الفكرة العامة، انك --الاقتران

في الاصل موضح، ان نقوم بايجاد y اعتماداً على x

اي نستخدم الجبر

ان نجد x اعتماداً على y، وهذا هو الاقتران العكسي

بصورة اقتران y، ويمكنك اعادة تسميته

باقتران x