-
Burada birkaç kareköklü ifade görüyoruz.
-
-
-
ve benim yapacağım şey de bu ifadelerin üstünden geçip, onları sadeleştirmek olacak.
-
-
-
Daha sonra da bunların rasyonel mi irrasyonel mi oldukları hakkında konuşacağız.
-
-
-
Öyleyse A ile başlayalım.
-
A, 25'in kareköküne eşittir.
-
Bu da 5 çarpı 5'in kareköküdür
-
ve bunun da 5'e eşit olduğunu görüyoruz
-
Şimdi pozitif kareköke odaklanıyoruz.
-
B'yi ele alırsak,
-
-
-
-
-
elimizde 24'ün karekökü var.
-
Yapmak istediğimiz şey bu sayıyı asal çarpanlarına ayırmak.
-
-
-
24'ü asal çarpanlarına ayırırsak,
-
Bu, 2 çarpı 12'ye eşittir
-
ve 12'yi 2 ile 6'yı çarparak elde ederiz.
-
6 da 2 ile 3'ün çarpımına eşittir.
-
Demek oluyor ki ,24'ün karekökü
-
2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 3'ün kareköküne eşittir.
-
-
-
Karşımızda bir tam kare var.
-
Yani bunu yeniden yazabiliriz.
-
Bu, 2 çarpı 2'nin kareköküyle 2 çarpı 3'ün karekökünün çarpımı ile aynı şey.
-
-
-
Bunun 4'ün karekökü, yani 2 olduğunu görüyoruz
-
-
-
Çünkü 4'ün karekökü 2'ye eşittir.
-
Bunu daha fazla sadeleştiremeyiz.
-
Burada kendisiyle çarpılmış başka sayı görmüyoruz.
-
O yüzden bu, 6'nın karekökü olacak.
-
Hatta bunu 2'nin karekökü çarpı
-
3'ün karekökü olarak yazabiliriz.
-
Sayıların rasyonel olup olmadığı hakkında konuşacağımı söylemiştim.
-
-
-
Bu rasyonel bir sayıdır.
-
A bölümü iki tamsayının birbirine oranı olarak gösterilebilir.
-
Yani 5/1.
-
Bu da rasyonel bir sayıdır.
-
Fakat bu irrasyoneldir.
-
Bunu bu videoda ispatlamayacağım.
-
Ama irrasyonel sayıların çarpımı olan her şey
-
Ve herhangi bir asal sayının karekökü irrasyonel kabul edilir.
-
Bunu burada kanıtlamıyorum.
-
Bu 2'nin karekökü çarpı 3'ün karekökü.
-
Yani 6'nın karekökü.
-
Zaten bunu irrasyonel yapan da budur
-
ve herhangi bir kesir olarak ifade edemem.
-
Bunu, burada yaptığım gibi,
-
bir tam sayı bölü başka bir tam sayı olarak ifade edemem.
-
Ve bunu da burada kanıtlamayacağım.
-
Sadece size biraz alıştırmayla beraber
-
bunu yapmanın daha hızlı bir yolunu gösteriyorum
-
Daha sonra diyebileceksiniz ki, 4 içeri girer ve tam bir karedir
-
-
-
4'ü dışarı çıkarırız,
-
-
-
4'ün karekökü 2 ve 6'yı içeride bıraktığımızda 2 kök 6 elde ederiz.
-
-
-
Bunu yakında daha kızlı yapabileceksiniz ama
-
önce bunu sistematik olarak yapmak istiyorum.
-
C bölümüne geçelim
-
20'nin karekökü.
-
Aynı işlemi yapıyoruz, 20, 2 çarpı 10; 10 da 2 çarpı 5 eder.
-
Yani bu da, 2 çarpı 2 çarpı 5'in kareköküne eşittir.
-
-
-
2 çarpı 2'nin karekökü 2 olacaktır
-
-
-
Bu da ikisinin karekökünün çarpımı olur.
-
-
-
Yani 2 çarpı 5'in karekökü.
-
Ve yine, biraz pratik ile bunu kafanızdan yapabilirdiniz
-
-
-
20'nin karekökü 4 çarpı 5.
-
ve bildiniz gibi 4'ün karekökü 2'ye eşit.
-
5'i kök içinde bırakıyoruz.
-
Şimdi D bölümüne geçelim.
-
200'ün karekökünü bulmalıyız.
-
Aynı işlemi uyguluyoruz.
-
Şimdi, bunu asal çarpanlarına ayıracağız.
-
200, 2 çarpı 100'e eşittir, 100'ü 2 çarpı 50
-
50'yi 2 çarpı 25, 25'i de 5 çarpı 5 olarak ayırabiliriz.
-
Yani bunu yeniden yazabiliriz.
-
-
-
Bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kareköküne eşittir.
-
-
-
Sonuç olarak burada iki ayrı tam kare görüyoruz.
-
-
-
Eğer bütün aşamaları yazarsam bu,
-
2 çarpı 2'nin karekökü çarpı kök 2 çarpı 5 çarpı 5'in karekökü olacaktır
-
-
-
2 kere 2'nin karekökü iki.
-
2'nin karekökü, 2'nin karekökü olarak kalıyor.
-
5 çarpı 5'in karekökü 25'in kareköküne eşit olduğundan
-
bu da 5 ediyor.
-
Bunları yeniden düzenleyebilirsiniz
-
2 çarpı 5 eşittir 10.
-
10 kök 2.
-
Yani bu da irrasyonel bir sayı.
-
Bunu tam sayısı, payı veya paydası olan bir kesir olarak ifade edemezsiniz.
-
-
-
Ve eğer bu sayıyı ifade etmeye çalışsaydınız,
-
hiç tekrarlamadan sonsuza kadar giderdi.
-
Sıra E bölümünde.
-
2000'in karekökü.
-
-
-
Bölüm E, 2000'in karekökü.
-
Şu ana kadar yaptığımız işlemin aynısı.
-
Tekrar asal çarpanlarına ayırıyoruz.
-
200'ü 2 çarpı 1000, 1000'i 2 çarpı 500, 500'ü 2 çarpı 250,
-
250'yi 2 çarpı 125, 125'i 2 çarpı 25,
-
25'i de 5 çarpı 5 olarak açabiliriz.
-
Böylelikle çarpanlara ayırmayı tamamlamış olduk.
-
Yani bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kökü olur.
-
-
-
-
-
-
-
Elimizde 4 adet 2 ve 3 adet 5 var.
-
Şimdi bu neye eşit olacak?
-
Gördüğünüz gibi bu ikisini 4 olarak yazabilirim.
-
-
-
Yani elimizde tekrarlayan bir 4 var.
-
bu da, 4 çarpı 4'ün karekökü ile,
-
5 çarpı 5 çarpı 5'in karekökünün çarpımına eşit.
-
-
-
Bunun burada 4 olduğu açık
-
Bunu da 5 olarak kök dışına alabiliriz.
-
Ve 5'in kareköküyle çarpıyoruz.
-
Sonuç olarak 4 çarpı 5, 20 olduğundan, 20 kök 5 elde ediyoruz.
-
Ve tekrar, bu da irrasyonel bir sayıdır.
-
Şimdi F'ye geçelim
-
Elimizde 1/4'ün karekökü var,
-
bunu 1'in karekökü bölü 4'ün karekökü olarak da görebiliriz.
-
Bu da 1/2'ye eşit olur.
-
Bu da kesinlikle rasyonel bir sayıdır.
-
Bir kesir olarak ifade edilebiliyor
-
Yani rasyonel olduğu açık.
-
G Bölümünde 9/4'ün karekökünü görüyoruz.
-
Aynı mantık.
-
Bu 9'un karekökü bölü 4'ün kareköküne eşit,
-
o da 3/2 oluyor.
-
Bölüm H'de
-
0.16'nın karekökü var.
-
Bunu tam anladıysanız kafanızdan yapabilirsiniz,
-
yani 0.4'le 0.4 'ü çarptığımızda bunu elde ederiz diyebilmelisiniz.
-
-
-
Ama bu çok açık olmadıysa,
-
size bunu yapmanın daha sistematik bir yolunu göstereceğim.
-
Şimdi, bunu 16/100'ün karekökü olarak yazabiliriz.
-
-
-
Yani 0.16.
-
Sonuç olarak elimizde 16'nın karekökü bölü 100'ün karekökü,
-
yani 4/10 var, bu da 0.4'e eşit.
-
Buna benzer birkaç tane daha yapalım.
-
-
-
Bölüm I, 0.1'in kareköküydü ki o da 1/10'un kareköküne eşit.
-
Bunu da 1'in karekökü bölü 10'un karekökü olarak yazabiliriz.
-
-
-
10, 2 çarpı 5 olduğundan bunu ayırmak pek işimize yaramayacak.
-
-
-
O zaman 10'un karekökünü öylece bırakıyoruz.
-
Çoğu matematik öğretmeni paydada köklü sayı
-
bırakmanızdan hoşlanmaz.
-
Ama ben şimdiden size bunun irrasyonel olduğunu söyleyebilirim.
-
Deneseniz bile bu sonsuza kadar gider.
-
Hesap makinenizde deneyebilirsiniz
-
sayıların hiç tekrarlanmayacağını göreceksiniz.
-
Sizin hesap makineniz yaklaşık bir değer verecektir.
-
Çünkü kesin bir değer verebilmek için sonsuz sayıda rakamınızın olması gerekir.
-
-
-
Ama bunu rasyonel yapmak istiyorsanız,
-
size gösterebilirim.
-
Paydadaki köklü sayıdan kurtulmak istiyorsanız,
-
bunu 10'un karekökü bölü 10'un karekökü ile çarpabilirsiniz.
-
-
-
Bu sadece bir 1.
-
Yani 10'un karekökünü bölü 10 elde ediyorsunuz.
-
Bunlar eşit değerler ama ikisi de irrasyonel.
-
-
-
İrrasyonel bir sayı alın, 10'a bölün, elinizde
-
hala irrasyonel bir sayı olacaktır.
-
Sıra J bölümünde.
-
0.01'in karekökünü görüyoruz.
-
Bu, 1/100'in kareköküyle aynı şey.
-
O da 1'in karekökü bölü 100'ün kareköküne eşit.
-
Bunu da 1/10 yani 0.1 olarak yazabiliriz.
-
Tekrar, bunun rasyonel olduğunu görüyoruz.
-
Karşımızda bir kesir var.
-
Bu da rasyonel bir ifade.
-
Bir kesir olarak da ifade edilebiliyor.
