Burada birkaç kareköklü ifade görüyoruz.
-
ve benim yapacağım şey de bu ifadelerin üstünden geçip, onları sadeleştirmek olacak.
-
Daha sonra da bunların rasyonel mi irrasyonel mi oldukları hakkında konuşacağız.
-
Öyleyse A ile başlayalım.
A, 25'in kareköküne eşittir.
Bu da 5 çarpı 5'in kareköküdür
ve bunun da 5'e eşit olduğunu görüyoruz
Şimdi pozitif kareköke odaklanıyoruz.
B'yi ele alırsak,
-
elimizde 24'ün karekökü var.
Yapmak istediğimiz şey bu sayıyı asal çarpanlarına ayırmak.
-
24'ü asal çarpanlarına ayırırsak,
Bu, 2 çarpı 12'ye eşittir
ve 12'yi 2 ile 6'yı çarparak elde ederiz.
6 da 2 ile 3'ün çarpımına eşittir.
Demek oluyor ki ,24'ün karekökü
2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 3'ün kareköküne eşittir.
-
Karşımızda bir tam kare var.
Yani bunu yeniden yazabiliriz.
Bu, 2 çarpı 2'nin kareköküyle 2 çarpı 3'ün karekökünün çarpımı ile aynı şey.
-
Bunun 4'ün karekökü, yani 2 olduğunu görüyoruz
-
Çünkü 4'ün karekökü 2'ye eşittir.
Bunu daha fazla sadeleştiremeyiz.
Burada kendisiyle çarpılmış başka sayı görmüyoruz.
O yüzden bu, 6'nın karekökü olacak.
Hatta bunu 2'nin karekökü çarpı
3'ün karekökü olarak yazabiliriz.
Sayıların rasyonel olup olmadığı hakkında konuşacağımı söylemiştim.
-
Bu rasyonel bir sayıdır.
A bölümü iki tamsayının birbirine oranı olarak gösterilebilir.
Yani 5/1.
Bu da rasyonel bir sayıdır.
Fakat bu irrasyoneldir.
Bunu bu videoda ispatlamayacağım.
Ama irrasyonel sayıların çarpımı olan her şey
Ve herhangi bir asal sayının karekökü irrasyonel kabul edilir.
Bunu burada kanıtlamıyorum.
Bu 2'nin karekökü çarpı 3'ün karekökü.
Yani 6'nın karekökü.
Zaten bunu irrasyonel yapan da budur
ve herhangi bir kesir olarak ifade edemem.
Bunu, burada yaptığım gibi,
bir tam sayı bölü başka bir tam sayı olarak ifade edemem.
Ve bunu da burada kanıtlamayacağım.
Sadece size biraz alıştırmayla beraber
bunu yapmanın daha hızlı bir yolunu gösteriyorum
Daha sonra diyebileceksiniz ki, 4 içeri girer ve tam bir karedir
-
4'ü dışarı çıkarırız,
-
4'ün karekökü 2 ve 6'yı içeride bıraktığımızda 2 kök 6 elde ederiz.
-
Bunu yakında daha kızlı yapabileceksiniz ama
önce bunu sistematik olarak yapmak istiyorum.
C bölümüne geçelim
20'nin karekökü.
Aynı işlemi yapıyoruz, 20, 2 çarpı 10; 10 da 2 çarpı 5 eder.
Yani bu da, 2 çarpı 2 çarpı 5'in kareköküne eşittir.
-
2 çarpı 2'nin karekökü 2 olacaktır
-
Bu da ikisinin karekökünün çarpımı olur.
-
Yani 2 çarpı 5'in karekökü.
Ve yine, biraz pratik ile bunu kafanızdan yapabilirdiniz
-
20'nin karekökü 4 çarpı 5.
ve bildiniz gibi 4'ün karekökü 2'ye eşit.
5'i kök içinde bırakıyoruz.
Şimdi D bölümüne geçelim.
200'ün karekökünü bulmalıyız.
Aynı işlemi uyguluyoruz.
Şimdi, bunu asal çarpanlarına ayıracağız.
200, 2 çarpı 100'e eşittir, 100'ü 2 çarpı 50
50'yi 2 çarpı 25, 25'i de 5 çarpı 5 olarak ayırabiliriz.
Yani bunu yeniden yazabiliriz.
-
Bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kareköküne eşittir.
-
Sonuç olarak burada iki ayrı tam kare görüyoruz.
-
Eğer bütün aşamaları yazarsam bu,
2 çarpı 2'nin karekökü çarpı kök 2 çarpı 5 çarpı 5'in karekökü olacaktır
-
2 kere 2'nin karekökü iki.
2'nin karekökü, 2'nin karekökü olarak kalıyor.
5 çarpı 5'in karekökü 25'in kareköküne eşit olduğundan
bu da 5 ediyor.
Bunları yeniden düzenleyebilirsiniz
2 çarpı 5 eşittir 10.
10 kök 2.
Yani bu da irrasyonel bir sayı.
Bunu tam sayısı, payı veya paydası olan bir kesir olarak ifade edemezsiniz.
-
Ve eğer bu sayıyı ifade etmeye çalışsaydınız,
hiç tekrarlamadan sonsuza kadar giderdi.
Sıra E bölümünde.
2000'in karekökü.
-
Bölüm E, 2000'in karekökü.
Şu ana kadar yaptığımız işlemin aynısı.
Tekrar asal çarpanlarına ayırıyoruz.
200'ü 2 çarpı 1000, 1000'i 2 çarpı 500, 500'ü 2 çarpı 250,
250'yi 2 çarpı 125, 125'i 2 çarpı 25,
25'i de 5 çarpı 5 olarak açabiliriz.
Böylelikle çarpanlara ayırmayı tamamlamış olduk.
Yani bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kökü olur.
-
Elimizde 4 adet 2 ve 3 adet 5 var.
Şimdi bu neye eşit olacak?
Gördüğünüz gibi bu ikisini 4 olarak yazabilirim.
-
Yani elimizde tekrarlayan bir 4 var.
bu da, 4 çarpı 4'ün karekökü ile,
5 çarpı 5 çarpı 5'in karekökünün çarpımına eşit.
-
Bunun burada 4 olduğu açık
Bunu da 5 olarak kök dışına alabiliriz.
Ve 5'in kareköküyle çarpıyoruz.
Sonuç olarak 4 çarpı 5, 20 olduğundan, 20 kök 5 elde ediyoruz.
Ve tekrar, bu da irrasyonel bir sayıdır.
Şimdi F'ye geçelim
Elimizde 1/4'ün karekökü var,
bunu 1'in karekökü bölü 4'ün karekökü olarak da görebiliriz.
Bu da 1/2'ye eşit olur.
Bu da kesinlikle rasyonel bir sayıdır.
Bir kesir olarak ifade edilebiliyor
Yani rasyonel olduğu açık.
G Bölümünde 9/4'ün karekökünü görüyoruz.
Aynı mantık.
Bu 9'un karekökü bölü 4'ün kareköküne eşit,
o da 3/2 oluyor.
Bölüm H'de
0.16'nın karekökü var.
Bunu tam anladıysanız kafanızdan yapabilirsiniz,
yani 0.4'le 0.4 'ü çarptığımızda bunu elde ederiz diyebilmelisiniz.
-
Ama bu çok açık olmadıysa,
size bunu yapmanın daha sistematik bir yolunu göstereceğim.
Şimdi, bunu 16/100'ün karekökü olarak yazabiliriz.
-
Yani 0.16.
Sonuç olarak elimizde 16'nın karekökü bölü 100'ün karekökü,
yani 4/10 var, bu da 0.4'e eşit.
Buna benzer birkaç tane daha yapalım.
-
Bölüm I, 0.1'in kareköküydü ki o da 1/10'un kareköküne eşit.
Bunu da 1'in karekökü bölü 10'un karekökü olarak yazabiliriz.
-
10, 2 çarpı 5 olduğundan bunu ayırmak pek işimize yaramayacak.
-
O zaman 10'un karekökünü öylece bırakıyoruz.
Çoğu matematik öğretmeni paydada köklü sayı
bırakmanızdan hoşlanmaz.
Ama ben şimdiden size bunun irrasyonel olduğunu söyleyebilirim.
Deneseniz bile bu sonsuza kadar gider.
Hesap makinenizde deneyebilirsiniz
sayıların hiç tekrarlanmayacağını göreceksiniz.
Sizin hesap makineniz yaklaşık bir değer verecektir.
Çünkü kesin bir değer verebilmek için sonsuz sayıda rakamınızın olması gerekir.
-
Ama bunu rasyonel yapmak istiyorsanız,
size gösterebilirim.
Paydadaki köklü sayıdan kurtulmak istiyorsanız,
bunu 10'un karekökü bölü 10'un karekökü ile çarpabilirsiniz.
-
Bu sadece bir 1.
Yani 10'un karekökünü bölü 10 elde ediyorsunuz.
Bunlar eşit değerler ama ikisi de irrasyonel.
-
İrrasyonel bir sayı alın, 10'a bölün, elinizde
hala irrasyonel bir sayı olacaktır.
Sıra J bölümünde.
0.01'in karekökünü görüyoruz.
Bu, 1/100'in kareköküyle aynı şey.
O da 1'in karekökü bölü 100'ün kareköküne eşit.
Bunu da 1/10 yani 0.1 olarak yazabiliriz.
Tekrar, bunun rasyonel olduğunu görüyoruz.
Karşımızda bir kesir var.
Bu da rasyonel bir ifade.
Bir kesir olarak da ifade edilebiliyor.