1 00:00:00,000 --> 00:00:04,480 Burada birkaç kareköklü ifade görüyoruz. 2 00:00:04,480 --> 00:00:05,110 - 3 00:00:05,110 --> 00:00:07,600 ve benim yapacağım şey de bu ifadelerin üstünden geçip, onları sadeleştirmek olacak. 4 00:00:07,600 --> 00:00:08,500 - 5 00:00:08,500 --> 00:00:11,240 Daha sonra da bunların rasyonel mi irrasyonel mi oldukları hakkında konuşacağız. 6 00:00:11,240 --> 00:00:13,390 - 7 00:00:13,390 --> 00:00:15,710 Öyleyse A ile başlayalım. 8 00:00:15,710 --> 00:00:20,440 A, 25'in kareköküne eşittir. 9 00:00:20,440 --> 00:00:26,560 Bu da 5 çarpı 5'in kareköküdür 10 00:00:26,560 --> 00:00:31,000 ve bunun da 5'e eşit olduğunu görüyoruz 11 00:00:31,000 --> 00:00:34,440 Şimdi pozitif kareköke odaklanıyoruz. 12 00:00:34,440 --> 00:00:37,060 B'yi ele alırsak, 13 00:00:37,060 --> 00:00:39,920 - 14 00:00:39,920 --> 00:00:42,250 - 15 00:00:42,250 --> 00:00:46,200 elimizde 24'ün karekökü var. 16 00:00:46,200 --> 00:00:47,960 Yapmak istediğimiz şey bu sayıyı asal çarpanlarına ayırmak. 17 00:00:47,960 --> 00:00:50,530 - 18 00:00:50,530 --> 00:00:53,560 24'ü asal çarpanlarına ayırırsak, 19 00:00:53,560 --> 00:00:56,250 Bu, 2 çarpı 12'ye eşittir 20 00:00:56,250 --> 00:00:59,720 ve 12'yi 2 ile 6'yı çarparak elde ederiz. 21 00:00:59,720 --> 00:01:03,430 6 da 2 ile 3'ün çarpımına eşittir. 22 00:01:03,430 --> 00:01:07,220 Demek oluyor ki ,24'ün karekökü 23 00:01:07,220 --> 00:01:15,320 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 3'ün kareköküne eşittir. 24 00:01:15,320 --> 00:01:18,080 - 25 00:01:18,080 --> 00:01:22,530 Karşımızda bir tam kare var. 26 00:01:22,530 --> 00:01:23,870 Yani bunu yeniden yazabiliriz. 27 00:01:23,870 --> 00:01:30,330 Bu, 2 çarpı 2'nin kareköküyle 2 çarpı 3'ün karekökünün çarpımı ile aynı şey. 28 00:01:30,330 --> 00:01:34,030 - 29 00:01:34,030 --> 00:01:35,890 Bunun 4'ün karekökü, yani 2 olduğunu görüyoruz 30 00:01:35,890 --> 00:01:37,010 - 31 00:01:37,010 --> 00:01:38,920 Çünkü 4'ün karekökü 2'ye eşittir. 32 00:01:38,920 --> 00:01:40,710 Bunu daha fazla sadeleştiremeyiz. 33 00:01:40,710 --> 00:01:44,520 Burada kendisiyle çarpılmış başka sayı görmüyoruz. 34 00:01:44,520 --> 00:01:47,940 O yüzden bu, 6'nın karekökü olacak. 35 00:01:47,940 --> 00:01:50,110 Hatta bunu 2'nin karekökü çarpı 36 00:01:50,110 --> 00:01:51,540 3'ün karekökü olarak yazabiliriz. 37 00:01:51,540 --> 00:01:53,210 Sayıların rasyonel olup olmadığı hakkında konuşacağımı söylemiştim. 38 00:01:53,210 --> 00:01:54,550 - 39 00:01:54,550 --> 00:01:56,460 Bu rasyonel bir sayıdır. 40 00:01:56,460 --> 00:02:03,630 A bölümü iki tamsayının birbirine oranı olarak gösterilebilir. 41 00:02:03,630 --> 00:02:05,920 Yani 5/1. 42 00:02:05,920 --> 00:02:07,340 Bu da rasyonel bir sayıdır. 43 00:02:07,340 --> 00:02:08,590 Fakat bu irrasyoneldir. 44 00:02:11,840 --> 00:02:14,060 Bunu bu videoda ispatlamayacağım. 45 00:02:14,060 --> 00:02:18,770 Ama irrasyonel sayıların çarpımı olan her şey 46 00:02:18,770 --> 00:02:24,920 Ve herhangi bir asal sayının karekökü irrasyonel kabul edilir. 47 00:02:24,920 --> 00:02:25,790 Bunu burada kanıtlamıyorum. 48 00:02:25,790 --> 00:02:29,060 Bu 2'nin karekökü çarpı 3'ün karekökü. 49 00:02:29,060 --> 00:02:30,365 Yani 6'nın karekökü. 50 00:02:30,365 --> 00:02:32,280 Zaten bunu irrasyonel yapan da budur 51 00:02:32,280 --> 00:02:35,910 ve herhangi bir kesir olarak ifade edemem. 52 00:02:35,910 --> 00:02:40,830 Bunu, burada yaptığım gibi, 53 00:02:40,830 --> 00:02:42,280 bir tam sayı bölü başka bir tam sayı olarak ifade edemem. 54 00:02:42,280 --> 00:02:43,250 Ve bunu da burada kanıtlamayacağım. 55 00:02:43,250 --> 00:02:45,910 Sadece size biraz alıştırmayla beraber 56 00:02:45,910 --> 00:02:47,010 bunu yapmanın daha hızlı bir yolunu gösteriyorum 57 00:02:47,010 --> 00:02:48,300 Daha sonra diyebileceksiniz ki, 4 içeri girer ve tam bir karedir 58 00:02:48,300 --> 00:02:49,770 - 59 00:02:49,770 --> 00:02:50,830 4'ü dışarı çıkarırız, 60 00:02:50,830 --> 00:02:52,120 - 61 00:02:52,120 --> 00:02:54,770 4'ün karekökü 2 ve 6'yı içeride bıraktığımızda 2 kök 6 elde ederiz. 62 00:02:54,770 --> 00:02:56,160 - 63 00:02:56,160 --> 00:02:58,990 Bunu yakında daha kızlı yapabileceksiniz ama 64 00:02:58,990 --> 00:03:01,590 önce bunu sistematik olarak yapmak istiyorum. 65 00:03:01,590 --> 00:03:03,820 C bölümüne geçelim 66 00:03:03,820 --> 00:03:06,610 20'nin karekökü. 67 00:03:06,610 --> 00:03:12,350 Aynı işlemi yapıyoruz, 20, 2 çarpı 10; 10 da 2 çarpı 5 eder. 68 00:03:12,350 --> 00:03:18,050 Yani bu da, 2 çarpı 2 çarpı 5'in kareköküne eşittir. 69 00:03:18,050 --> 00:03:20,740 - 70 00:03:20,740 --> 00:03:22,690 2 çarpı 2'nin karekökü 2 olacaktır 71 00:03:22,690 --> 00:03:25,120 - 72 00:03:25,120 --> 00:03:26,530 Bu da ikisinin karekökünün çarpımı olur. 73 00:03:26,530 --> 00:03:27,380 - 74 00:03:27,380 --> 00:03:29,400 Yani 2 çarpı 5'in karekökü. 75 00:03:29,400 --> 00:03:31,090 Ve yine, biraz pratik ile bunu kafanızdan yapabilirdiniz 76 00:03:31,090 --> 00:03:31,910 - 77 00:03:31,910 --> 00:03:34,920 20'nin karekökü 4 çarpı 5. 78 00:03:34,920 --> 00:03:36,550 ve bildiniz gibi 4'ün karekökü 2'ye eşit. 79 00:03:36,550 --> 00:03:39,080 5'i kök içinde bırakıyoruz. 80 00:03:39,080 --> 00:03:43,200 Şimdi D bölümüne geçelim. 81 00:03:43,200 --> 00:03:47,380 200'ün karekökünü bulmalıyız. 82 00:03:47,380 --> 00:03:48,350 Aynı işlemi uyguluyoruz. 83 00:03:48,350 --> 00:03:50,390 Şimdi, bunu asal çarpanlarına ayıracağız. 84 00:03:50,390 --> 00:03:56,310 200, 2 çarpı 100'e eşittir, 100'ü 2 çarpı 50 85 00:03:56,310 --> 00:04:01,030 50'yi 2 çarpı 25, 25'i de 5 çarpı 5 olarak ayırabiliriz. 86 00:04:01,030 --> 00:04:03,640 Yani bunu yeniden yazabiliriz. 87 00:04:03,640 --> 00:04:05,800 - 88 00:04:05,800 --> 00:04:15,030 Bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kareköküne eşittir. 89 00:04:15,030 --> 00:04:18,390 - 90 00:04:18,390 --> 00:04:20,730 Sonuç olarak burada iki ayrı tam kare görüyoruz. 91 00:04:20,730 --> 00:04:23,350 - 92 00:04:23,350 --> 00:04:25,290 Eğer bütün aşamaları yazarsam bu, 93 00:04:25,290 --> 00:04:31,170 2 çarpı 2'nin karekökü çarpı kök 2 çarpı 5 çarpı 5'in karekökü olacaktır 94 00:04:31,170 --> 00:04:35,120 - 95 00:04:35,120 --> 00:04:37,345 2 kere 2'nin karekökü iki. 96 00:04:37,345 --> 00:04:40,245 2'nin karekökü, 2'nin karekökü olarak kalıyor. 97 00:04:40,245 --> 00:04:43,680 5 çarpı 5'in karekökü 25'in kareköküne eşit olduğundan 98 00:04:43,680 --> 00:04:45,430 bu da 5 ediyor. 99 00:04:45,430 --> 00:04:46,880 Bunları yeniden düzenleyebilirsiniz 100 00:04:46,880 --> 00:04:48,830 2 çarpı 5 eşittir 10. 101 00:04:48,830 --> 00:04:50,730 10 kök 2. 102 00:04:50,730 --> 00:04:53,150 Yani bu da irrasyonel bir sayı. 103 00:04:53,150 --> 00:04:58,800 Bunu tam sayısı, payı veya paydası olan bir kesir olarak ifade edemezsiniz. 104 00:04:58,800 --> 00:05:00,850 - 105 00:05:00,850 --> 00:05:04,270 Ve eğer bu sayıyı ifade etmeye çalışsaydınız, 106 00:05:04,270 --> 00:05:08,610 hiç tekrarlamadan sonsuza kadar giderdi. 107 00:05:08,610 --> 00:05:10,790 Sıra E bölümünde. 108 00:05:10,790 --> 00:05:13,720 2000'in karekökü. 109 00:05:13,720 --> 00:05:15,660 - 110 00:05:15,660 --> 00:05:20,620 Bölüm E, 2000'in karekökü. 111 00:05:20,620 --> 00:05:23,950 Şu ana kadar yaptığımız işlemin aynısı. 112 00:05:23,950 --> 00:05:25,820 Tekrar asal çarpanlarına ayırıyoruz. 113 00:05:25,820 --> 00:05:35,680 200'ü 2 çarpı 1000, 1000'i 2 çarpı 500, 500'ü 2 çarpı 250, 114 00:05:35,680 --> 00:05:45,930 250'yi 2 çarpı 125, 125'i 2 çarpı 25, 115 00:05:45,930 --> 00:05:49,580 25'i de 5 çarpı 5 olarak açabiliriz. 116 00:05:49,580 --> 00:05:50,600 Böylelikle çarpanlara ayırmayı tamamlamış olduk. 117 00:05:50,600 --> 00:05:56,180 Yani bu, 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 2 çarpı 5 çarpı 5'in kökü olur. 118 00:05:56,180 --> 00:05:59,630 - 119 00:05:59,630 --> 00:06:06,350 - 120 00:06:06,350 --> 00:06:08,840 - 121 00:06:08,840 --> 00:06:15,390 Elimizde 4 adet 2 ve 3 adet 5 var. 122 00:06:15,390 --> 00:06:18,000 Şimdi bu neye eşit olacak? 123 00:06:18,000 --> 00:06:20,520 Gördüğünüz gibi bu ikisini 4 olarak yazabilirim. 124 00:06:20,520 --> 00:06:25,140 - 125 00:06:25,140 --> 00:06:27,510 Yani elimizde tekrarlayan bir 4 var. 126 00:06:27,510 --> 00:06:32,600 bu da, 4 çarpı 4'ün karekökü ile, 127 00:06:32,600 --> 00:06:37,330 5 çarpı 5 çarpı 5'in karekökünün çarpımına eşit. 128 00:06:37,330 --> 00:06:39,480 - 129 00:06:39,480 --> 00:06:42,310 Bunun burada 4 olduğu açık 130 00:06:42,310 --> 00:06:44,570 Bunu da 5 olarak kök dışına alabiliriz. 131 00:06:44,570 --> 00:06:47,070 Ve 5'in kareköküyle çarpıyoruz. 132 00:06:47,070 --> 00:06:52,070 Sonuç olarak 4 çarpı 5, 20 olduğundan, 20 kök 5 elde ediyoruz. 133 00:06:52,070 --> 00:06:54,290 Ve tekrar, bu da irrasyonel bir sayıdır. 134 00:06:58,290 --> 00:07:00,990 Şimdi F'ye geçelim 135 00:07:00,990 --> 00:07:16,850 Elimizde 1/4'ün karekökü var, 136 00:07:16,850 --> 00:07:21,250 bunu 1'in karekökü bölü 4'ün karekökü olarak da görebiliriz. 137 00:07:21,250 --> 00:07:24,180 Bu da 1/2'ye eşit olur. 138 00:07:24,180 --> 00:07:25,170 Bu da kesinlikle rasyonel bir sayıdır. 139 00:07:25,170 --> 00:07:27,400 Bir kesir olarak ifade edilebiliyor 140 00:07:27,400 --> 00:07:33,050 Yani rasyonel olduğu açık. 141 00:07:33,050 --> 00:07:39,380 G Bölümünde 9/4'ün karekökünü görüyoruz. 142 00:07:43,800 --> 00:07:44,600 Aynı mantık. 143 00:07:44,600 --> 00:07:48,160 Bu 9'un karekökü bölü 4'ün kareköküne eşit, 144 00:07:48,160 --> 00:07:52,910 o da 3/2 oluyor. 145 00:07:52,910 --> 00:07:56,960 Bölüm H'de 146 00:07:56,960 --> 00:08:02,720 0.16'nın karekökü var. 147 00:08:02,720 --> 00:08:05,250 Bunu tam anladıysanız kafanızdan yapabilirsiniz, 148 00:08:05,250 --> 00:08:07,670 yani 0.4'le 0.4 'ü çarptığımızda bunu elde ederiz diyebilmelisiniz. 149 00:08:07,670 --> 00:08:10,170 - 150 00:08:10,170 --> 00:08:14,190 Ama bu çok açık olmadıysa, 151 00:08:14,190 --> 00:08:16,040 size bunu yapmanın daha sistematik bir yolunu göstereceğim. 152 00:08:16,040 --> 00:08:18,330 Şimdi, bunu 16/100'ün karekökü olarak yazabiliriz. 153 00:08:18,330 --> 00:08:22,730 - 154 00:08:22,730 --> 00:08:24,840 Yani 0.16. 155 00:08:24,840 --> 00:08:28,740 Sonuç olarak elimizde 16'nın karekökü bölü 100'ün karekökü, 156 00:08:28,740 --> 00:08:37,010 yani 4/10 var, bu da 0.4'e eşit. 157 00:08:37,010 --> 00:08:39,260 Buna benzer birkaç tane daha yapalım. 158 00:08:39,260 --> 00:08:39,429 - 159 00:08:39,429 --> 00:08:46,180 Bölüm I, 0.1'in kareköküydü ki o da 1/10'un kareköküne eşit. 160 00:08:46,180 --> 00:08:50,840 Bunu da 1'in karekökü bölü 10'un karekökü olarak yazabiliriz. 161 00:08:50,840 --> 00:08:55,980 - 162 00:08:55,980 --> 00:08:59,890 10, 2 çarpı 5 olduğundan bunu ayırmak pek işimize yaramayacak. 163 00:08:59,890 --> 00:09:01,380 - 164 00:09:01,380 --> 00:09:04,920 O zaman 10'un karekökünü öylece bırakıyoruz. 165 00:09:04,920 --> 00:09:08,130 Çoğu matematik öğretmeni paydada köklü sayı 166 00:09:08,130 --> 00:09:08,870 bırakmanızdan hoşlanmaz. 167 00:09:08,870 --> 00:09:10,330 Ama ben şimdiden size bunun irrasyonel olduğunu söyleyebilirim. 168 00:09:13,940 --> 00:09:15,650 Deneseniz bile bu sonsuza kadar gider. 169 00:09:15,650 --> 00:09:16,850 Hesap makinenizde deneyebilirsiniz 170 00:09:16,850 --> 00:09:17,530 sayıların hiç tekrarlanmayacağını göreceksiniz. 171 00:09:17,530 --> 00:09:19,430 Sizin hesap makineniz yaklaşık bir değer verecektir. 172 00:09:19,430 --> 00:09:21,100 Çünkü kesin bir değer verebilmek için sonsuz sayıda rakamınızın olması gerekir. 173 00:09:21,100 --> 00:09:23,560 - 174 00:09:23,560 --> 00:09:25,770 Ama bunu rasyonel yapmak istiyorsanız, 175 00:09:25,770 --> 00:09:26,820 size gösterebilirim. 176 00:09:26,820 --> 00:09:28,620 Paydadaki köklü sayıdan kurtulmak istiyorsanız, 177 00:09:28,620 --> 00:09:32,090 bunu 10'un karekökü bölü 10'un karekökü ile çarpabilirsiniz. 178 00:09:32,090 --> 00:09:33,520 - 179 00:09:33,520 --> 00:09:34,910 Bu sadece bir 1. 180 00:09:34,910 --> 00:09:38,130 Yani 10'un karekökünü bölü 10 elde ediyorsunuz. 181 00:09:38,130 --> 00:09:40,630 Bunlar eşit değerler ama ikisi de irrasyonel. 182 00:09:40,630 --> 00:09:41,540 - 183 00:09:41,540 --> 00:09:43,870 İrrasyonel bir sayı alın, 10'a bölün, elinizde 184 00:09:43,870 --> 00:09:45,660 hala irrasyonel bir sayı olacaktır. 185 00:09:45,660 --> 00:09:46,930 Sıra J bölümünde. 186 00:09:49,520 --> 00:09:53,820 0.01'in karekökünü görüyoruz. 187 00:09:53,820 --> 00:09:57,570 Bu, 1/100'in kareköküyle aynı şey. 188 00:09:57,570 --> 00:10:00,680 O da 1'in karekökü bölü 100'ün kareköküne eşit. 189 00:10:00,680 --> 00:10:07,050 Bunu da 1/10 yani 0.1 olarak yazabiliriz. 190 00:10:07,050 --> 00:10:10,030 Tekrar, bunun rasyonel olduğunu görüyoruz. 191 00:10:10,030 --> 00:10:12,880 Karşımızda bir kesir var. 192 00:10:12,880 --> 00:10:14,185 Bu da rasyonel bir ifade. 193 00:10:14,185 --> 00:10:16,030 Bir kesir olarak da ifade edilebiliyor.