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Temos aqui muitas de expressões radicais...
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expressões de raiz quadrada
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E o que vamos fazer é passar por todas elas
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tentando simplificá-las
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E ao mesmo tempo vamos olhar quais delas tem como resultados número racionais
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ou números irracionais
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Vamos começar com a expressão A
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A é igual à raiz quadrada de 25
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Isto é o memos que dizer que é igual à raiz quadrada de 5 vezes 5
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Que é igual a 5
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Nós estamos olhando para uma raiz quadrada de números positivos
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Agora vejamos B
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Eu vou fazer numa cor diferente para a raiz principal
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ou seja quando dizemos uma raiz quadrada do número positivo
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B, temos a raiz quadrada de 24
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Assim, o que você precisa fazer é a fatoração em números
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primos, deste número aqui a direita.
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24, vamos fazer a fatoração em números primos
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24 é 2 vezes 12
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12 é 2 vezes 6
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6 é 2 vezes 3
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Portanto a raiz quadrada de 24 é a mesma coisa que
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a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3.
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O que é o mesmo que 24
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Podemos ver que temos um quadrado perfeito aqui...
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e assim podemos reescrever isto neste formato
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Isto é o mesmo que raiz quadrada de 2 vezes 2
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raiz quadrada de 2 vezes 3
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E isto é 2
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Isto é a raiz quadrada de 4
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A raiz quadrada de 4 é 2
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E agora não podemos simplificar mais.
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Não podemos ver dois números multiplicados por eles mesmos aqui
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Assim isto será vezes a raiz de 6
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Oi ainda podemos escrever como raiz quadrada de dois vezes a
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raiz quadrada de 3
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Vamos ver agora quando os números
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são racionais ou não
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Isto é racional
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Esta parte A pode ser expressa como a razão entre 2 inteiros
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OU seja, 5/1
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Isto é racional
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Isto é irracional
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Eu não vou entrar em detalhes neste vídeo,
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Mas, qualquer número que é produto de números irracionais
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e a raiz quadrada de qualquer número primo é irracional
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Eu não estou provando isto aqui e agora
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Isto é a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 3
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Aqui temos a raiz quadrada de 6
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e isso é um número irracional
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Não podemos expressar este valor como nenhum tipo de fração
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Não se pode expressar como um número inteiro sobre outro
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núemero inteiro como eu fiz aqui.
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E Eu não estou provando isto aqui
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Estou apenas dando um pouco de prática
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e uma forma rápida de fazer estes cálculos.
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Vc pode estar dizendo - Ei, 4 vai para este
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4 é um quadrado perfeito
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Vamos deixar o 4 fora.
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Isto é 4 vezes 6
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A raiz quadrada de 4 é 2, deixe o 6 dentro e você
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terá chegado a 2 raiz quadrada de 6
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Você vai pegar o jeito, eventualmente, mas eu quero
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fazer isto primeiro de uma forma sistemática
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Vamos examinar a expressão C
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Raiz quadrada de 20
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De novo, 20 é duas v ezes10 que por sua vez é 2 vezes 5.
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Isto é a mesma coisa que raiz quadrada de 2 vezes 2
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vezes 5
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Outra vez, a raiz quadrada de 2 vezes 2 é
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exatamente 2
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Portanto será a raiz quadrada deste vezes
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a raiz quadrada daquele
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2 vezes a raiz quadrada de 5
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E novamente, você provavelmente já pode fazer o calculo de cabeça
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com um pouco de prática
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A raiz quadrada de 20 é 4 vezes 5
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A raiz quadrada de 4 é 2
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E deixamos o 5 no radical
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Vamos ver a expressão D
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Temos que encontrar a raiz quadrada de 200
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Mesmo processo.
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Fazemos a fatoração
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e temos 2 vezes 100, que é 2 vezes 50, que é 2 vezes
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25, que é 5 vezes 5
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E podemos reescrever ...
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(ops vou puxar a tela para direita só um pouco)
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isto é igual a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2
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vezes 5 vezes 5.
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Temos um quadrado perfeito aqui e temos
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outro quadrado perfeito aqui.
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Assim, se eu quiser escrever todas as etapas teremos
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a raiz quadrada de 2 vezes 2, vezes a raiz quadrada de 2
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vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5.
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A raiz quadrada de 2 vezes 2 é igual a 2
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A raiz quadrada de 2 é só a raiz quadrada de 2.
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E a raiz quadrada de 5 vezes 5, que é a raiz quadrada de 25
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é igual a 5.
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Rearranjando estes números temos:
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2 vezes 5 é igual a 10
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10 raiz quadrada de 2.
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E novamente este número é irracional
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Você não pode expressá-lo na forma de uma fração entre dois números inteiros,
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ou seja, um numerador e um denominador
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E se você tentar expressar este número, ele
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irá seguindo e seguindo, sem fim e sem repetição.
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Vamos ver agora a expressão E
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Raiz quadrada de 2000
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Eu vou fazer isto aqui mais embaixo
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Parte E - raiz quadrada de 2000
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O mesmo processo que fizemos até agora...
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Começamos pela fatoração em números primos...
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Aqui está 2 vezes 1000, que é 2 vezes 500, que é 2 vezes
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250, que é 2 vezes 125, que é 5 vezes 25,
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que é 5 vezes 5.
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Pronto!
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Portanto isso será igual a rais quadrada de 2 vezes
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(Vou colocar entre parenteses) - (2 vezes 2), vezes
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(2 vezes 2), vezes (2 vezes 2), vezes (5 vezes 5)
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vezes (5 vezes 5), certo?
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Nós temos 1,2,3,4, 2's e depois 3 5's vezes 5.
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Isto será igual a?
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Bem, uma coisa vc já pode ver, eu posso escrever isto
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assim - isto é 4 e isto é 4
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portanto temos um 4 repetido
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e portanto isto é a mesma coisa que a raiz quadrada de 4 vezes 4
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vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5 vezes a
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raiz quadrada de 5.
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Aqui o valor é 4
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Aqui o valor é 5
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e agora vezes raiz quadrada de 5
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Portanto 4 vezes 5 é 20 raiz quadrada de 5
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E novamente este é um número irracional.
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Vamos fazer o exercício F
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A raiz quadrada de 1/4, você já pode ver que é a mesma coisa
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que a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de 4
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que é igual a 1/2
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e por sua vez é um número racional
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Ele pode ser expresso como uma fração
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portanto é certamente racional.
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O exercício G é raiz quadrada de 9/4
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É a mesma lógica
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isto é igual a raiz quadrada de 9 sobre a raiz quadrada
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de 4, que é igual a 3/2
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Exercício H
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A Raiz quadrada de 0.16
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Bem agora você até pode fazer de cabeça direto...
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veja que se multiplicarmos 0,4 vezes
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0.4 teremos este resultado.
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Mas novamente eu vou mostrar um modo sistemático de fazer isto
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que já é obvio para você
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Isto é a mesma coisa que a raiz quadrada
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de 16/100 OK?
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Isto é o que 0.16 é ...
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ou seja a raiz quadrada de 16 sobre a
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raiz quadrada de 100, a qual é igual a 4/10 que é igual a 0.4
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Vamos fazer mais alguns exercícios...
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OK?
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Exercício I - raiz quadrada de 0,1 que é igual
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a raiz quadrada de 1/10, que é igual a raiz quadrada de 1
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sobre a raiz quadrada de 10, que é igual a 1 sobre
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a raiz quadrada de 10 --10 é exatamente 2 vezes 5
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Isso não nos ajuda muito...
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Isso é exatamente a raiz quadrada de 10 como já vimos
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Muitos professores de matemática não gostam que você deixe este radical
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no denominador
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Novamente, eu posso dizer que este é um número irracional.
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Você pode seguir pegando outros números...
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Você pode tentar na sua calculadora
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e eles nunca se repetem
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Sua calculadora dará sempre uma aproximação
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Pois para conseguir o valor exato
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Ela teria que fornecer infinitos digitos.
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Mas se você quiser racionalizar isto
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apenas para mostrar
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Se você quiser ficar livre do radical no denominador...
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Você pode multiplicar pela raiz quadrada de 10 sobre
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a raiz quadrada de 10, certo?
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Que é 1.
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Assim você tem raiz quadrada de 10/10
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Que são expressões equivalentes, mas ambas ...
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são irracionais.
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Se você pega um número irracional e divide ele por 10, você continua
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tendo um número irracional
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Vamos fazer o J?
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Temos a raiz quadrada de 0.01
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Que é o mesmo que raiz quadrada de 1/100
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Que é igual a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de
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100 que é igual q 1/10 ou 0,1
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Novamente um número racional.
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pois pode ser escrito na forma de uma fração
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Este aqui também é racional
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E pode ser expresso na forma de uma fração
