Temos aqui muitas de expressões radicais...
expressões de raiz quadrada
E o que vamos fazer é passar por todas elas
tentando simplificá-las
E ao mesmo tempo vamos olhar quais delas tem como resultados número racionais
ou números irracionais
Vamos começar com a expressão A
A é igual à raiz quadrada de 25
Isto é o memos que dizer que é igual à raiz quadrada de 5 vezes 5
Que é igual a 5
Nós estamos olhando para uma raiz quadrada de números positivos
Agora vejamos B
Eu vou fazer numa cor diferente para a raiz principal
ou seja quando dizemos uma raiz quadrada do número positivo
B, temos a raiz quadrada de 24
Assim, o que você precisa fazer é a fatoração em números
primos, deste número aqui a direita.
24, vamos fazer a fatoração em números primos
24 é 2 vezes 12
12 é 2 vezes 6
6 é 2 vezes 3
Portanto a raiz quadrada de 24 é a mesma coisa que
a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3.
O que é o mesmo que 24
Podemos ver que temos um quadrado perfeito aqui...
e assim podemos reescrever isto neste formato
Isto é o mesmo que raiz quadrada de 2 vezes 2
raiz quadrada de 2 vezes 3
E isto é 2
Isto é a raiz quadrada de 4
A raiz quadrada de 4 é 2
E agora não podemos simplificar mais.
Não podemos ver dois números multiplicados por eles mesmos aqui
Assim isto será vezes a raiz de 6
Oi ainda podemos escrever como raiz quadrada de dois vezes a
raiz quadrada de 3
Vamos ver agora quando os números
são racionais ou não
Isto é racional
Esta parte A pode ser expressa como a razão entre 2 inteiros
OU seja, 5/1
Isto é racional
Isto é irracional
Eu não vou entrar em detalhes neste vídeo,
Mas, qualquer número que é produto de números irracionais
e a raiz quadrada de qualquer número primo é irracional
Eu não estou provando isto aqui e agora
Isto é a raiz quadrada de 2 vezes a raiz quadrada de 3
Aqui temos a raiz quadrada de 6
e isso é um número irracional
Não podemos expressar este valor como nenhum tipo de fração
Não se pode expressar como um número inteiro sobre outro
núemero inteiro como eu fiz aqui.
E Eu não estou provando isto aqui
Estou apenas dando um pouco de prática
e uma forma rápida de fazer estes cálculos.
Vc pode estar dizendo - Ei, 4 vai para este
4 é um quadrado perfeito
Vamos deixar o 4 fora.
Isto é 4 vezes 6
A raiz quadrada de 4 é 2, deixe o 6 dentro e você
terá chegado a 2 raiz quadrada de 6
Você vai pegar o jeito, eventualmente, mas eu quero
fazer isto primeiro de uma forma sistemática
Vamos examinar a expressão C
Raiz quadrada de 20
De novo, 20 é duas v ezes10 que por sua vez é 2 vezes 5.
Isto é a mesma coisa que raiz quadrada de 2 vezes 2
vezes 5
Outra vez, a raiz quadrada de 2 vezes 2 é
exatamente 2
Portanto será a raiz quadrada deste vezes
a raiz quadrada daquele
2 vezes a raiz quadrada de 5
E novamente, você provavelmente já pode fazer o calculo de cabeça
com um pouco de prática
A raiz quadrada de 20 é 4 vezes 5
A raiz quadrada de 4 é 2
E deixamos o 5 no radical
Vamos ver a expressão D
Temos que encontrar a raiz quadrada de 200
Mesmo processo.
Fazemos a fatoração
e temos 2 vezes 100, que é 2 vezes 50, que é 2 vezes
25, que é 5 vezes 5
E podemos reescrever ...
(ops vou puxar a tela para direita só um pouco)
isto é igual a raiz quadrada de 2 vezes 2 vezes 2
vezes 5 vezes 5.
Temos um quadrado perfeito aqui e temos
outro quadrado perfeito aqui.
Assim, se eu quiser escrever todas as etapas teremos
a raiz quadrada de 2 vezes 2, vezes a raiz quadrada de 2
vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5.
A raiz quadrada de 2 vezes 2 é igual a 2
A raiz quadrada de 2 é só a raiz quadrada de 2.
E a raiz quadrada de 5 vezes 5, que é a raiz quadrada de 25
é igual a 5.
Rearranjando estes números temos:
2 vezes 5 é igual a 10
10 raiz quadrada de 2.
E novamente este número é irracional
Você não pode expressá-lo na forma de uma fração entre dois números inteiros,
ou seja, um numerador e um denominador
E se você tentar expressar este número, ele
irá seguindo e seguindo, sem fim e sem repetição.
Vamos ver agora a expressão E
Raiz quadrada de 2000
Eu vou fazer isto aqui mais embaixo
Parte E - raiz quadrada de 2000
O mesmo processo que fizemos até agora...
Começamos pela fatoração em números primos...
Aqui está 2 vezes 1000, que é 2 vezes 500, que é 2 vezes
250, que é 2 vezes 125, que é 5 vezes 25,
que é 5 vezes 5.
Pronto!
Portanto isso será igual a rais quadrada de 2 vezes
(Vou colocar entre parenteses) - (2 vezes 2), vezes
(2 vezes 2), vezes (2 vezes 2), vezes (5 vezes 5)
vezes (5 vezes 5), certo?
Nós temos 1,2,3,4, 2's e depois 3 5's vezes 5.
Isto será igual a?
Bem, uma coisa vc já pode ver, eu posso escrever isto
assim - isto é 4 e isto é 4
portanto temos um 4 repetido
e portanto isto é a mesma coisa que a raiz quadrada de 4 vezes 4
vezes a raiz quadrada de 5 vezes 5 vezes a
raiz quadrada de 5.
Aqui o valor é 4
Aqui o valor é 5
e agora vezes raiz quadrada de 5
Portanto 4 vezes 5 é 20 raiz quadrada de 5
E novamente este é um número irracional.
Vamos fazer o exercício F
A raiz quadrada de 1/4, você já pode ver que é a mesma coisa
que a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de 4
que é igual a 1/2
e por sua vez é um número racional
Ele pode ser expresso como uma fração
portanto é certamente racional.
O exercício G é raiz quadrada de 9/4
É a mesma lógica
isto é igual a raiz quadrada de 9 sobre a raiz quadrada
de 4, que é igual a 3/2
Exercício H
A Raiz quadrada de 0.16
Bem agora você até pode fazer de cabeça direto...
veja que se multiplicarmos 0,4 vezes
0.4 teremos este resultado.
Mas novamente eu vou mostrar um modo sistemático de fazer isto
que já é obvio para você
Isto é a mesma coisa que a raiz quadrada
de 16/100 OK?
Isto é o que 0.16 é ...
ou seja a raiz quadrada de 16 sobre a
raiz quadrada de 100, a qual é igual a 4/10 que é igual a 0.4
Vamos fazer mais alguns exercícios...
OK?
Exercício I - raiz quadrada de 0,1 que é igual
a raiz quadrada de 1/10, que é igual a raiz quadrada de 1
sobre a raiz quadrada de 10, que é igual a 1 sobre
a raiz quadrada de 10 --10 é exatamente 2 vezes 5
Isso não nos ajuda muito...
Isso é exatamente a raiz quadrada de 10 como já vimos
Muitos professores de matemática não gostam que você deixe este radical
no denominador
Novamente, eu posso dizer que este é um número irracional.
Você pode seguir pegando outros números...
Você pode tentar na sua calculadora
e eles nunca se repetem
Sua calculadora dará sempre uma aproximação
Pois para conseguir o valor exato
Ela teria que fornecer infinitos digitos.
Mas se você quiser racionalizar isto
apenas para mostrar
Se você quiser ficar livre do radical no denominador...
Você pode multiplicar pela raiz quadrada de 10 sobre
a raiz quadrada de 10, certo?
Que é 1.
Assim você tem raiz quadrada de 10/10
Que são expressões equivalentes, mas ambas ...
são irracionais.
Se você pega um número irracional e divide ele por 10, você continua
tendo um número irracional
Vamos fazer o J?
Temos a raiz quadrada de 0.01
Que é o mesmo que raiz quadrada de 1/100
Que é igual a raiz quadrada de 1 sobre a raiz quadrada de
100 que é igual q 1/10 ou 0,1
Novamente um número racional.
pois pode ser escrito na forma de uma fração
Este aqui também é racional
E pode ser expresso na forma de uma fração