-
-
Her har jeg en haug
med radikale uttrykk,
-
eller, kvadratrots-uttrykk.
-
Og det jeg skal gjøre
er å gå igjennom dem,
-
og forenkle dem.
-
Og så skal vi drøfte om de er
rasjonelle eller irrasjonelle tall.
-
Så la oss begynne med a).
-
a) er kvadratroten til 25.
-
Det er det samme som
kvadratroten til 5 ganger 5,
-
som helt klart blir 5.
-
Vi fokuserer på den
positive kvadratroten her.
-
La oss gjøre b).
-
Jeg gjør den i en annen farge.
-
Den positive kvadratroten.
-
b), vi har kvadratroten til 24.
-
Så det du vil gjøre er å
faktorisere ut primtallene.
-
Så 24, la oss faktorisere primtallene.
-
Dette er 2 ganger 12.
-
12 er 2 ganger 6.
-
6 er 2 ganger 3.
-
Så kvadratroten til 24,
er det samme som
-
kvadratroten til 2 ganger
2 ganger 2 ganger 3.
-
Det er det samme som 24.
-
Vi ser at vi har et perfekt kvadrat der.
-
Så vi kan skrive om dette.
-
Det er det samme som
kvadratroten til 2 ganger 2
-
ganger kvadratroten til 2 ganger 3.
-
Dette er helt klart 2.
-
Kvadratroten til 4 er 2.
-
Og dette kan vi ikke forenkle mer.
-
Vi ser ikke noe tall
ganget med seg selv her.
-
Så dette blir ganger
kvadratroten til 6.
-
Eller, vi kan til og med skrive
det som kvadratroten til 2
-
ganger kvadratroten til 3.
-
Jeg sa jeg skulle snakke om
ting er rasjonelle eller ikke.
-
Dette er rasjonelt.
-
Del a) kan uttrykkes som
forholdet mellom to heltall.
-
Nemlig 5 over 1.
-
Dette er rasjonelt.
-
Dette er irrasjonelt.
-
Jeg skal ikke bevise det
i denne videoen, men
-
alt som er et produkt
av irrasjonelle tall,
-
og kvadratrøtter av
primtall er irrasjonelle.
-
Jeg beviser det ikke her.
-
Dette er kvadratroten til
2 ganger kvadratroten til 3,
-
det er det kvadratroten til 6 er.
-
Og det er det som
gjør det irrasjonelt.
-
Jeg kan ikke uttrykke
dette som en brøk.
-
Jeg kan ikke skrive dette som
et heltall over et annet heltall.
-
Som jeg gjorde der. Og
jeg beviser det ikke her,
-
jeg bare gir deg litt øvelse.
-
En kjappere måte å gjøre det på,
-
er å si at 4 går opp i dette,
og 4 er et perfekt kvadrat.
-
La meg ta 4 ut.
-
Dette er 4 ganger 6.
-
Kvadratroten til 4
er 2, la 6-eren bli,
-
og du ville fått 2 ganger
kvadratroten til 6.
-
Som du ville fått-- Du
får taket på det til slutt,
-
men jeg vil gjøre det
systematisk til å begynne med.
-
La oss gjøre del c).
-
Kvadratroten til 20.
-
Igjen, 20 er 2 ganger 10,
som er 2 ganger 5.
-
Så dette er det samme
som kvadratroten til
-
2 ganger 2, ganger 5.
-
Kvadratroten til 2 ganger 2 blir 2.
-
Så det blir 2--
-
Det blir kvadratroten til dette
ganger kvadratroten til det.
-
2 ganger kvadratroten til 5.
-
Og du kan sikkert ta det
i hodet, med litt øvelse.
-
Kvadratroten til--
20 er 4 ganger 5.
-
Kvadratroten til 4 er 2.
-
Og du lar 5-eren stå
under kvadratrot-tegnet.
-
La oss gjøre del d).
-
Vi må finne kvadratroten til 200.
-
Samme prosess.
-
La oss finne primtallsfaktorene.
-
Så det er 2 ganger 100,
som er 2 ganger 50,
-
som er 2 ganger 25,
som er 5 ganger 5.
-
Så dette her kan vi skrive om--
-
La meg rulle litt til høyre.
-
Dette er lik kvadratroten
til 2 ganger 2 ganger 2
-
ganger 5 ganger 5.
-
Vi har et perfekt kvadrat der,
-
og vi har enda et
perfekt kvadrat der.
-
Så hvis jeg vil skrive
alle stegene, blir dette
-
kvadratroten til 2 ganger 2,
ganger kvadratroten til 2,
-
ganger kvadratroten til 5 ganger 5.
-
Kvadratroten til 2 ganger 2 er 2.
-
Kvadratroten til 2 er
bare kvadratroten til 2.
-
Kvadratroten til 5 ganger 5,
det er kvadratroten til 25.
-
Det blir bare 5.
-
Du kan omorganisere disse.
-
2 ganger 5 er 10.
-
10 kvadratrøtter av 2.
-
Og igjen, dette er irrasjonelt.
-
Du kan ikke skrive dette som en
brøk med heltall i teller og nevner.
-
Og prøver du å skrive dette tallet,
-
vil det bare fortsette og
fortsette, og aldri gjenta seg.
-
La oss gjøre del e).
-
Kvadratroten til 2000.
-
Jeg tar den her nede.
-
Del e).
-
Kvadratroten til 2000.
-
Akkurat samme fremgangsmåte som før.
-
La oss faktorisere primtall.
-
Det er 2 ganger 1000,
som er 2 ganger 500,
-
som er 2 ganger 250,
som er 2 ganger 125,
-
som er 5 ganger 25,
som er 5 ganger 5.
-
Og vi er ferdige.
-
Så dette er lik kvadratroten til
-
2 ganger 2, i parenteser,
-
ganger 2 ganger 2,
ganger 5 ganger 5,
-
ganger 5 ganger 5,
-
Vi har en, to, tre, fire
2-ere, og tre 5-ere.
-
Ganger 5.
-
Nå, hva blir dette?
-
Vel, en ting du kanskje ser, er at
-
dette er en 4-er,
dette er en 4-er.
-
Så vi har 4 to ganger.
-
Så dette er det samme som
kvadratroten til 4 ganger 4,
-
ganger kvadratroten til 5 ganger 5,
-
ganger kvadratroten til 5.
-
Så dette her er 4,
-
dette her er 5,
-
ganget med kvadratroten til 5.
-
Så 4 ganger 5 er 20 kvadratrøtter av 5.
-
Og igjen, dette er et irrasjonelt tall.
-
Irrasjonelt.
-
La oss gjøre f).
-
Kvadratroten til 1/4.
-
f), kvadratroten til 1/4.
-
Dette kan vi se på som
kvadratroten til 1,
-
over kvadratroten til 4.
-
Som er lik 1/2.
-
Som helt klart er rasjonelt.
-
Det kan skrives som en brøk.
-
Så det er helt klart et rasjonelt tall.
-
Del g).
-
Del g), er kvadratroten til 9/4.
-
Kvadratroten til 9 over 4.
-
Samme logikk.
-
Dette er lik kvadratroten til
9 over kvadratroten til 4.
-
Som er lik 3/2.
-
La oss ta del h).
-
Kvadratroten til 0,16.
-
Du kunne tatt denne i hodet
-
hvis du visste at 0,4
ganger 0,4 er lik 0,16.
-
Men jeg skal vise deg en mer
systematisk måte å gjøre det på,
-
hvis det ikke var åpenbart.
-
Dette er det samme som
-
kvadratroten til 16 over 100.
-
Det er det 0,16 er.
-
Så det er lik kvadratroten til
16 over kvadratroten til 100.
-
Som er lik 4 over 10,
som er lik 0,4.
-
La oss gjøre et par til.
-
Del i), er kvadratroten
til 0,1, som er lik
-
kvadratroten til 1over 10.
-
Som er lik kvadratroten til 1
over kvadratroten til 10,
-
som er lik 1 over--
-
Kvadratroten til 10--
10 er bare 2 ganger 5,
-
så det hjelper oss ikke.
-
Det blir bare kvadratroten til 10 der.
-
Mange mattelærere liker ikke at du lar
-
kvadratrot-tegnet stå i nevneren.
-
Men jeg kan si deg
at dette er irrasjonelt.
-
Irrasjonelt.
-
Du vil bare fortsette å få nye tall--
Du kan prøve det på kalkulatoren.
-
Det vil aldri gjenta seg,
-
og kalkulatoren vil bare
gi deg en tilnærming.
-
Det eksakte svaret krever
et uendelig antall siffer.
-
Men hvis du vil
rasjonalisere dette--
-
Bare for å vise deg.
-
Hvis du vil bli kvitt
kvadratrot-tegnet i
-
nevneren, kan du gange det med
-
kvadratroten til 10 over
kvadratroten til 10.
-
Dette er bare 1.
-
Da får du kvadratroten til 10 over 10.
-
Disse er like uttrykk, men
-
begge er irrasjonelle.
-
Deler du et irrasjonelt tall på 10,
har du fortsatt et irrasjonelt tall.
-
La oss ta j).
-
Kvadratroten til 0,01.
-
det er det samme som
kvadratroten til 1 over 100.
-
Som er lik kvadratroten til
1 over kvadratroten til 100.
-
Som er lik 1 over 10, eller 0,1.
-
Igjen, dette er helt
klart et rasjonelt tall.
-
Det er skrevet som en brøk.
-
Dette tallet her oppe
var også rasjonelt.
-
Det kan skrives som en brøk.
